基于“六學課堂”教學范式的中學數學教學設計框架

◎ 海南省海口市教育研究培訓院 孫元勛

◎ 海南省海口海港學校 趙玲燕

中學數學“六學課堂”教學范式提出“應該學、人人學、做中學、自主學、交互學和深度學”，旨在促進中學數學教師在教學設計與實施上進一步落實以學生為本的教育理念。下面筆者以人教A版普通高中數學教科書必修第二冊6.3.1節“平面向量基本定理”教學為例，構建基于“六學課堂”教學范式的中學數學教學設計框架。

一、教學內容和內容解析

1.內容：平面向量基本定理。

2.內容解析。

（1）內容的本質：平面向量基本定理揭示了平面內任一向量與兩個不共線向量的聯系，是二維向量空間特征的表現，即平面內任一向量可以由兩個不共線的向量生成，這是將平面向量的運算化歸為數的運算的基礎。在同一平面內雖然存在無窮多個向量，但任意一個向量都可以表示成兩個不共線向量組成的基底的線性組合，這樣就可以利用這組基底表示這個平面內圖形的任意元素，從而可以通過代數運算解決平面幾何問題，使得問題的解決“程序化”。

（2）內容蘊含的數學思想方法：平面向量基本定理的發現過程蘊含著豐富的數學思想，如轉化思想、數形結合思想等。

（3）內容的上下位關系：平面向量基本定理是共線向量定理的推廣，是定義向量的坐標表示的基礎，也是將向量運算轉化為代數運算的基礎。理解平面向量基本定理的重要作用，可以加深對平面向量運算的認識。

（4）內容的育人價值：從“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示”出發，通過力的分解這一背景和已有向量運算經驗的分析，提出“平面內任意一個向量如何表示？”“能否用有限個特定向量表示？”等問題，其中蘊含著數學的思考方式和理性思維，滲透著講邏輯、以簡馭繁的思維品質。在力的分解基礎上獲得啟發，在探究平面向量基本定理的過程中發展學生數學抽象、直觀想象的核心素養。通過對平面向量基本定理的理解，能夠明確利用平面向量運算解決問題，可以把問題中的向量轉化為基底再進行運算，進一步明確向量運算的策略，從而發展數學運算核心素養。

3.教學重點。基于以上分析，本節課的教學重點為：平面向量基本定理、定理的發現和證明過程。

二、教學目標和目標解析

1.教學目標。

（1）理解平面向量基本定理及其意義。

（2）會運用平面向量基本定理解決簡單的平面幾何問題。

2.目標解析。達成上述目標的標志是:

（1）經歷平面向量基本定理的探索過程：從力的分解這一物理背景獲得啟發，能夠將平面內給定的任一非零向量按照指定的兩個不同方向進行分解；在回顧前面學習向量運算過程的基礎上，進一步借助信息技術動手操作，形成猜想并最終領會“平面內任一向量都可以被兩個非零向量線性表示”的結論。

（2）會證明平面向量基本定理。

（3）能用自己的語言說出定理的重要性及其意義。

（4）會通過選擇基底表示平面內的一些向量，解決一些平面幾何問題，指導向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟。

三、教學問題診斷分析

1.教學問題診斷分析。根據以往的教學經驗，學生在學習完平面向量基本定理后，常常出現只記得定理的結論，而沒有真正認識到定理的“基本內涵”所在，從而導致學生在應用向量法解決幾何問題時感到困難。究其原因，主要是學生在學習平面向量基本定理的過程中，沒有經歷完整的定理探究過程，獲得的數學基本活動經驗不夠充分，因而對平面向量基本定理的認識不到位，所以造成上述影響。

教學中從力的分解這一物理背景引出平面內任意一個向量的分解，前面學生已經利用平面向量的運算解決了部分平面圖形中的向量問題，實際上這些問題也是以平面向量基本定理為背景的。通過幫助學生回顧前面的這些問題，結合“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示”的經驗，提出“平面內任意一個向量如何表示？”這一問題，并引導學生借助網格圖、信息技術等多種工具真正參與親手畫、親自操作的學習過程，幫助學生發現平面向量基本定理的結論，同時使其感受到掌握平面向量基本定理的重要性。對于平面向量基本定理的證明，由于既要證明平面向量的存在性，又要證明其唯一性，難度較大，可以讓學生在教師的幫助下完成。

2.教學難點。通過以上分析，本節課的教學難點是平面向量基本定理的發現過程及對定理的證明。

四、教學支持條件分析

在平面向量基本定理的發現過程中，利用信息技術工具可以展示任一向量分解的例子（有條件的班級可以讓學生通過動手操作深入體會），體會任一向量被基底線性表示時的存在性和唯一性，幫助學生理解定理。

五、教學過程設計

1.學習活動設計。根據數學定理學習的一般過程，結合平面向量基本定理的教學內容，設計如下多樣化的學習過程和學習方式促進學生建構本節課的知識體系（如表1）。

表1 學生建構知識的過程與方式

2.教學過程設計。

（1）教學環節一：創設情境，明確問題。

引導語1：前面我們學習了向量的運算和運算律，知道向量是溝通代數和幾何的橋梁，到了下節課，同學們會了解到向量的運算竟然可以化歸為數的運算。在此之前，需要我們首先學習本節課的內容：平面向量基本定理。我們知道，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示，類似地，平面內的任意一個向量還有哪些特征？請同學們先看下面的情景：

物理中，同一個力F（大小相等、方向相同），有時要將它按照不同的方向分解為兩個力的和，如圖1、圖2所示。

圖1

圖2

在圖1中，當物體在水平面上時，我們經常把力F分解為水平方向和豎直方向的兩個分力；在圖2中，當物體在斜面上時，我們經常把力F分解為平行于斜面和垂直于斜面的兩個分力，從中我們能獲得怎樣的啟發？

[設計意圖]1.幫助學生明確前面研究了向量的哪些內容，并通過“到了下節課，同學們會了解到向量的運算竟然可以化歸為數的運算”激發學生好奇心，同時通過“在此之前，需要我們首先學習本節課的內容‘平面向量基本定理’”滲透本節課內容與前后知識的聯系；2.從知識的邏輯上提出“平面內的任意一個向量還有哪些特征”這一問題，并給出相應的物理背景，為下面研究向量的分解做好鋪墊。

（2）教學環節二：通過具體向量的作圖和線性表示，感悟基本定理的結論。

問題1：做一做：已知向量a、b、c如圖3，請在網格處以點O為公共起點，將向量c按a和b的方向分解，作出分解示意圖；向量c能夠寫成c=xa+yb的形式嗎？如果能，寫出相應的x和y。

制度貸款是由政府制定的一種長期低息貸款方式，其主要目的在于鼓勵農業生產。該貸款方式主要分為三種類型：一是由政府出面進行擔保，將銀行中的一些資金用于農業生產；二是由政府進行擔保和支付相應的利息費用，調用農協的資金；三是直接利用國家金融機構進行財政資金貸款。

圖3

師生活動：學生獨立作圖，教師通過巡視對作圖困難的學生給予指導：首先要把向量a、b、c平移到同一個起點Ο，再根據向量a、b、c的方向作出以向量c所在線段為對角線的平行四邊形ΟACB，然后將向量c寫成與b共線），最后寫出OA與a，OB與b的數乘關系。

[設計意圖]這里首先給出具體的向量a、b、c，讓學生在網格圖中獨立完成c=xa+yb的表示，一方面通過設計“動手作圖”的學習活動，豐富學生探究定理過程的數學基本活動經驗，一方面通過具體的實例引導學生感悟基本定理的內容，明確c=xa+yb的表示方法。

（3）教學環節三：結合對前面向量運算相關問題的梳理，形成對定理的猜想。

引導語：請同學們回顧一下前面我們利用平面向量的運算解決的一些問題。

圖4

圖5

圖6

引導語：同學們想想，以上每個問題是不是都要求我們把幾何圖形中的某個向量用2個向量來表示？

[設計意圖]前面學生已經利用平面向量的運算解決了部分平面圖形中的向量問題，實際上這些問題也是以平面向量基本定理為背景的。通過幫助學生回顧前面的這些問題，結合前面的物理背景、動手作圖，為學生提出問題、猜想定理的結論做好先行鋪墊。

問題2：我們知道，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示。數學中我們總是希望用最少的量來表示一類問題，這往往是我們解決問題時對一些量進行轉化的方向，實際上就是我們常說的化歸數學思想方法。通過前面對物理背景和數學題目的回顧，以及我們作圖過程的體驗，你能提出什么類似的問題嗎？或者說有什么猜想？

師生活動：在教師引導下，通過對前面學習過程的分析，提出問題：“平面內任意向量是否可以由同一平面內的2個不共線的向量表示？”

（4）教學環節四：利用網絡畫板進行探究（如圖7），驗證猜想，證明定理。

圖7

問題3：在網絡畫板課件中，不斷改變向量a，也可以改變e1和e2的方向與模長，你有什么發現？

追問1：如果向量a是這一平面內與e1、e2中的某一個向量共線的非零向量，你能用e1、e2表示a嗎？若a是零向量呢？

師生活動：學生操作課件，觀察、思考、嘗試和探究，教師進行巡視和指導。最后請學生代表發言展示，得出只要e1和e2是平面內2個不共線的向量，平面內的任一向量a都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式。

[設計意圖]利用信息技術，讓學生在動手操作、觀察、思考的探究過程中發現、體會平面內任一向量都可以被兩個不共線的向量表示的結論。

追問2：這種表示形式是唯一的嗎？為什么？

師生活動：教師指導學生再次操作課件，進一步觀察，體會表示形式的唯一性，并嘗試讓學生用自己的語言進行表達，對表達的邏輯性、正確性給予評價。最后給出平面向量基本定理的嚴格表達方式。

[設計意圖]通過操作、觀察、思考，進一步明確向量定理的“唯一性”，從而得出定理結論的嚴格表達。

問題4：你能證明平面向量基本定理嗎？

師生活動：學生先獨立思考，教師根據學生的問題教學并加以引導。證明完成后，對定理內容進行如下強調：任意2個不共線的向量都可以作為1個平面所有向量的一個基底；零向量不能作為基底中的向量；零向量也能被基底唯一表示，并且若有不共線的向量a、b，且0=λ1a+λ2b，則必有λ1=λ2=0。

[設計意圖]完成定理的證明，在證明的過程中體會反證法的作用。明確平面向量基本定理的一些常見結論，進一步理解定理的意義。

（5）教學環節五：平面向量基本定理的簡單應用。

圖8

圖9

[設計意圖]本題是教科書中的例題，通過講解例題進一步鞏固平面向量基本定理，明確用向量法解決平面幾何問題的基本步驟。

（6）教學環節六：課堂小結，形成結構。

問題7：請同學們帶著下列問題回顧本節課的學習內容，并給出回答：

①回顧學習平面向量基本定理的大致過程，我們在學習平面向量基本定理的過程中主要經歷了哪些關鍵環節？

②敘述平面向量基本定理，你能進一步說出證明平面向量基本定理的思路嗎？

③結合前面對平面向量內容的學習，從平面向量基本定理的作用角度出發，你覺得平面向量基本定理的“基本”體現在哪些方面？

師生活動：先由學生獨立思考、作答，再進行全班交流，教師和學生互動、點評后進行如下總結。

①本節課我們從物理中力的分解這一實際背景出發，體會到任意一個力可以根據我們的需要沿不同方向進行分解。通過梳理先前一些向量運算的問題，從而獲得啟發，提出問題：平面內任意向量是否可以進行類似的分解？能得到哪些結論？通過對具體向量的分解。利用網絡畫板軟件體會對任意向量按照給定的兩個“基底”方向進行分解等操作、觀察和分析過程，得出平面向量基本定理內容的猜想，并完成定理的證明和分析。最后通過兩個例題，體會解決平面幾何問題時“基底”的思想。

②平面向量基本定理的證明，即證明“存在性”和“唯一性”，“存在性”的證明要考慮任意向量與基底的不同方向的情況，通過說理進行證明，“唯一性”則是基于“正難則反”的考慮，采用反證法進行證明。

③平面向量基本定理揭示了平面內任意向量與兩個不共線向量的聯系，是二維向量空間特征的表現，即平面內任意向量可以由兩個不共線的向量生成。在同一平面內雖然存在無窮多個向量，但任意一個向量都可以表示成兩個不共線向量組成的基底的線性組合，因此在解決具體問題的過程中，所有向量之間的運算都可以轉化為構成基底的兩個向量之間的運算，這為應用平面向量解決問題指明了運算的方向。另外，通過后面的學習，同學們還可以進一步體會到平面向量基本定理是將平面向量的運算化歸為數的運算的基礎。

[設計意圖]從結構化、聯系性等角度歸納總結本課的學習內容，進一步認識平面向量基本定理的內容，體會定理的重要性，滲透數學命題的研究過程，凸顯知識的本質。

（7）教學環節七：目標檢測，檢驗效果。

題1：下面三種說法中，正確的是（ ）。

①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；

②一個平面內任意一對不共線的向量均可作為表示該平面所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量。

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

題2：已知向量e1、e2不共線，下面的向量a、b能作為基底的是（ ）。

A．a=e1-e2，b=-e1+e2

B．a=0，b=e1

C．a=3e1-6e2，b=2e1+4e2

D．a=e1+2e2，b=2e1+e2

圖10

[設計意圖]題1、題2檢測對基本定理基底的理解，題3檢測平面向量基本定理的簡單應用。

課后作業：教科書必修二第27頁練習1、2、3題。

綜上所述，基于“六學課堂”教學范式設計合適的教學方式和學習活動，有助于落實“人人都能獲得良好的數學教育”這一數學課程核心理念。