在比較中把握概念的本質

倪曉林

摘要：從認識一個物體的幾分之一到認識一個整體的幾分之一，學生能進一步認識分數的比率意義（部分與整體的關系）。認識一個整體的幾分之一時，整體與部分中物體的數量會干擾學生的認知。教學這部分內容時，除了注意利用直觀情境引導學生探究分數表示之外，還需要引導學生進行多維度、多層次的比較，尋找“同”與“不同”，以逐步理清有關概念的聯系與區別，把握分數比率意義的本質。

關鍵詞：《認識一個整體的幾分之一》;分數概念;比較;本質

“認識一個整體的幾分之一”，是蘇教版小學數學三年級下冊《分數的初步認識（二）》第一課時的教學內容。在此之前，學生學習了“認識一個物體或圖形的幾分之一和幾分之幾”，初步認識了分數的比率意義（部分與整體的關系）。通過這部分內容的學習，學生能進一步認識分數的比率意義，為后續認識小數以及分數的其他意義（度量、除法）打下基礎。

分數的比率意義內涵比較抽象，外延比較豐富。認識一個物體的幾分之一時，幾分之一既能表示部分與整體的關系，也能表示部分物體的數量，整體與部分中物體的數量一般不會干擾學生的認知;而認識一個整體的幾分之一時，幾分之一只能表示部分與整體的關系，不能表示部分物體的數量，整體與部分中物體的數量常常會干擾學生的認知。因此，教學這部分內容時，除了注意利用直觀情境引導學生探究分數表示之外，還需要引導學生進行多維度、多層次的比較，尋找“同”與“不同”，以逐步理清有關概念的聯系與區別，把握分數比率意義的本質。本文呈現具體的教學設計與說明。

一、回憶舊知：一個物體的二分之一

師[出示《分數的初步認識（一）》單元例1的情境圖]還記得這兩個小朋友嗎？關于他倆，你還記得些什么？

預設：把一個蛋糕平均分成2份，每份是這個蛋糕的12。

師又是一年春暖花開，這兩個小朋友又出去郊游了。（在情境圖中出示一個桃）這回他們要分享的是什么呢？

師要把這一個桃平均分給兩個小朋友，怎么分？

師（課件演示分桃，結果如圖1所示）在以前的學習中，我們知道，把一個桃平均分成2份，每份都是它的12。

[說明：喚醒學生對“一個物體的幾（二）分之一”的記憶，為后續遷移認識一些物體（一個整體）的幾分之一，以及在比較辨析中把握分數概念的本質做鋪墊。]

二、探索新知：一個整體的二分之一

師一個桃很快吃完了，他們又拿來了一盤桃。（在情境圖中出示一盤6個桃）如果把這一盤桃平均分給兩個小朋友，每個小朋友又能分得多少呢？

預設：3個。

師（課件演示分桃，結果如圖2所示）把6個桃看作一個整體，平均分成2份，表

示其中的一份，還可以用什么數？

預設：12。

[說明：將一些物體平均分與將一個物體平均分不同，學生更容易關注物體的個數，利用整數的除法得到整數結果。所以，將一些物體和分得的每一份圈起來，讓學生關注整體和部分（而不是整體和部分中的物體），從而抽象出分數結果。]

三、第一次比較：一個物體的二分之一與一個整體的二分之一

師（出示圖3）1個桃的12和6個桃的12有什么不同？有什么相同？

師12，可以表示一個物體的12，也可以表示一些物體的12，只要把這些物體看成一個整體。

[說明：通過比較，學生在1個桃與6個桃的不同中發現12的相同，從而打通新舊知識的關聯，舍去非本質屬性，把握分數（比率意義）的本質。]

四、第二次比較：多個整體的二分之一

師（課件出示3個桃、4個桃、8個桃）如果你有一盤桃，可以表示出這盤桃的12嗎？請拿出課前發的桃子圖片，在其中先用虛線分一分，再畫陰影涂一涂。

組織交流，注意引導學生用規范的數學語言表達。

預設1：我的這盤有4個桃，平均分成2份，這2個就是這盤桃的12。

預設2：我的這盤有8個桃，平均分成2份，這4個就是這盤桃的12。

預設3：我的這盤有3個桃，平均分成2份，這1個桃加半個桃就是這盤桃的12。

師（出示圖4）大家都表示出了自己這盤桃的12。仔細觀察，（依次指）這盤有——3個，這盤有——4個，這盤有——8個。每盤的個數相同嗎？

師每一份有——1個半、2個、4個。每一份的個數相同嗎？

師桃的總個數不同，每一份的個數也不同，為什么都可以用12來表示呢？

預設1：把一盤桃平均分成2份，其中的1份就是12。

預設2：因為不管有多少個桃，都是把這盤桃平均分成2份，取其中的1份。

師不管一盤桃有幾個，都是把這盤桃看作一個整體，平均分成2份，每份就是這盤桃的12。

師還能把多少個桃看作一個整體呢？

師不管有多少個桃，只要把它們看作一個整體，平均分成2份，每份就是這個整體的12。

[說明：在6個桃這個整體平均分的經驗基礎上，通過變化，擴大“一個整體”的外延，讓學生體驗3個桃、4個桃、8個桃等多個整體的平均分。然后，通過比較，再次從不同中尋找相同，以擴大（并進一步剝離）分數的非本質屬性，深化認識分數（比率意義）的本質。其中，3個桃這個整體平均分的變式，可以有效避免學生的錯誤認識——平均分時每一份中物體的個數必須是整數，讓學生充分體會到把一些物體看成一個整體平均分的優點——不需要考慮整體與部分中物體的個數，減少了麻煩。]

五、第三次比較：一個整體的幾分之一

師（課件出示12個桃）這一盤桃，你除了能表示出它的12，還能表示出它的幾分之一呢？讓我們接著來研究。

出示研究要求：（1）用12根小棒代表12個桃子，將12根小棒平均分成若干份;（2）根據得到的結果完成學習單的填空“把12個桃看作一個整體，平均分成（）份，每份有（）個桃，是這個整體的（）（）”。組織交流。

預設1：平均分成2份，每份有6個桃，是這個整體的12。

預設2：平均分成3份，每份有4個桃，是這個整體的13。

預設3：平均分成4份，每份有3個桃，是這個整體的14。

……

師每份的桃子數一定是整數嗎？還可以分成幾份？每份是這個整體的幾分之幾？

預設1：平均分成5份，每份是這個整體的15。

預設2：平均分成24份，每份是這個整體的124。

……

師把12個桃看作一個整體平均分，大家找到了這么多不同的分數。同樣是12個桃，為什么表示每一份的分數不一樣呢？

預設1：平均分的份數不一樣，表示每一份的分數就不一樣。

預設2：把一個整體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

師無論是一個物體還是一個整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

[說明：有了將一個整體平均分成2份的經驗，再次通過變化，擴大“平均分（份數）”的外延，讓學生體驗將一個整體平均分成3份、4份等多個份數。然后，通過比較，在相同中尋找不同，以完成從特殊分數（二分之一）到更一般分數（幾分之一）的認識提升。其中，12個桃平均分成5份、24份等變式，可以有效強化學生的正確認識——平均分時每一份中物體的個數不一定是整數。此外，特意讓學生說出整體與每一份中物體的個數，可以為后續比較做鋪墊。]

六、第四次比較：幾分之一與整體、每一份中物體的個數

師（出示圖5）用分數表示圖中的涂色部分。

師圖5中，①和②比較，有什么相同與不同？有什么發現？

預設1：每一份中都是一個物體，但是整體中物體的個數不一樣，分數表示也不一樣。

預設2：在不同的整體數量下，不同的分數可以表示相同的每一份的數量。

師①和③比較，有什么相同與不同？有什么發現？

預設1：分數表示都是14，但是整體中物體的個數不一樣，每一份中物體的個數也不一樣。

預設2：在不同的整體數量下，相同的分數可以表示不同的每一份的數量。

師②和③比較，有什么相同與不同？有什么發現？

預設1：整體中都是8個物體，但是每一份中物體的個數不一樣，分數表示也不一樣。

預設2：在相同的整體數量下，不同的分數表示不同的每一份的數量（相同的分數表示相同的每一份的數量）。

師綜上，你有什么發現？

預設1：分數由每一份中物體的個數和整體中物體的個數決定。

預設2：這三個量，任意兩個決定第三個。

師很好！分數不只是由分與取的份數決定的，也可以由整體和每一份中物體的個數決定。同學們在今后的學習中會進一步認識這三個量的關系。而它們有關系的根源在于，平均分不只可以用分數表示，也可以用除法表示。

[說明：雖然認識一個整體的幾分之一（幾分之幾）時，不需要關注整體及分得的每一份中物體的個數，但是學生由于思維慣性（或者說“前攝抑制”），總是會受到這兩個量的干擾，導致不能準確地進行分數表示。于是，在應用分數概念進行分數表示的環節，設計對比練習，讓學生理清幾分之一與整體、每一份中物體的個數的關系，在幫助學生進一步把握分數（比率意義）本質的同時，為學生進一步學習分數的除法意義（分數與除法的關系）做好鋪墊。]

參考文獻：

[1] 王凌.從整數視角到分數視角——“分數的初步認識（二）”的學生錯誤與教學對策[J].教育研究與評論（課堂觀察），2021（1）.