基于符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生建模能力的有效路徑探尋

[摘? 要] 數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，數(shù)學(xué)建模是核心素養(yǎng)重要維度. 基于符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)建模能力對(duì)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的生成具有重要作用. 解讀符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)建模的作用，以“用數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題”的教學(xué)為例，探尋基于符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效路徑. 在不斷滲透符號(hào)意識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力.

[關(guān)鍵詞] 符號(hào)意識(shí);建模能力;初中數(shù)學(xué)

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要維度. 數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，其包括數(shù)字、字母、關(guān)系式等，具有抽象性、明確性與簡(jiǎn)略性特點(diǎn). 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生抽象出符合實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后以數(shù)學(xué)符號(hào)為載體剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決. 基于此，在教學(xué)中教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以分析與解決.

解讀符號(hào)意識(shí)在建構(gòu)模型中的作用

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的抽象，是人們根據(jù)生活實(shí)踐，抽象生活實(shí)踐而形成的結(jié)果. 數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問(wèn)題的有效手段，其離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、運(yùn)算與邏輯推演[1]. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力對(duì)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的生成具有重要作用.

（一）符號(hào)的表示：抽象數(shù)學(xué)對(duì)象

符號(hào)在抽象數(shù)學(xué)中的作用表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是表示數(shù)，在不便于說(shuō)出具體數(shù)值時(shí)，可以用字母代替. 如在失物的招領(lǐng)啟事中，可以寫(xiě)張三同學(xué)撿到人民幣n元，意思是學(xué)生撿到了一定數(shù)量的人民幣;二是表達(dá)數(shù)量關(guān)系，通過(guò)字母表示數(shù)量關(guān)系可以更讓人通曉明白. 如一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……那么n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿;三是表示事物的發(fā)展規(guī)律，如函數(shù)的解析式表達(dá)、表格表達(dá)、圖像表達(dá)，呈現(xiàn)了事物的發(fā)展變化規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是由易到難、由淺入深，用符號(hào)去表達(dá)數(shù)、數(shù)量關(guān)系與描述變化規(guī)律時(shí)，也經(jīng)歷了由低級(jí)到高級(jí)，從具體到抽象的過(guò)程. 教學(xué)中向?qū)W生滲透符號(hào)表示數(shù)學(xué)對(duì)象作用，有利于為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型做好有效的鋪墊.

（二）符號(hào)的價(jià)值：邏輯運(yùn)算與推理

數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式是數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)推理. 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步是用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系或者變化規(guī)律，第二步是數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)推理. 需要注意的是數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理必須以合乎邏輯的法則為遵循. 目前，在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生能夠自覺(jué)使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算與推理的能力比較弱，教師應(yīng)以符號(hào)為媒介進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)換，合情推理，在演繹推理與模型抽象中培養(yǎng)學(xué)生模型的構(gòu)建能力，只有這樣，才能使學(xué)生以合理的數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題[2].

（三）符號(hào)的運(yùn)用：數(shù)學(xué)思考的重要特征

僅僅有符號(hào)意識(shí)還不夠，會(huì)用符號(hào)去進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與表達(dá)才是關(guān)鍵. 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思考與表達(dá)，而只有借助符號(hào)的思考與表達(dá)才是最有效的，才能超越數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性，從更一般的角度進(jìn)行邏輯推演，使結(jié)果更為嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也保證了數(shù)學(xué)方法的操作性與通用性[3].

基于符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生建模能力的教學(xué)實(shí)踐

新課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)就是概念、命題與公式的教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，在實(shí)際情境中引導(dǎo)學(xué)生理解符號(hào)，理解符號(hào)表達(dá)式的意義，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情境抽象符號(hào)[4]. 實(shí)際上學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的過(guò)程就是符號(hào)的抽象與表達(dá)，然后是運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算與推理的過(guò)程. 經(jīng)歷這一過(guò)程，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于提高學(xué)生的符號(hào)觀(guān)念，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的本領(lǐng). 基于此，筆者設(shè)計(jì)了“用數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題”這一課，幫助學(xué)生如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)與建模能力.

教學(xué)目標(biāo)? （1）理解用分式表示鹽水濃度;（2）能用分式表示鹽水濃度的變化;（3）體驗(yàn)從生活中構(gòu)建模型的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)建構(gòu)模型的能力.

教學(xué)難點(diǎn)? 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一：從數(shù)學(xué)的角度看待生活問(wèn)題.

問(wèn)題1：一杯鹽水，如果加的鹽比較多，鹽水就比較咸，即鹽水的濃度比較大;如果加的鹽比較少，鹽水就比較淡，即鹽水的濃度比較小. 那么，如何準(zhǔn)確表示鹽水的咸淡程度呢？

讓學(xué)生先獨(dú)立思考再合作交流后，師生共同歸納出鹽水濃度可表示為：

問(wèn)題2：如果繼續(xù)給杯中的鹽水加鹽，那么鹽水的咸度將發(fā)生怎樣的變化？你能用數(shù)學(xué)方法描述你的感覺(jué)嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成，歸納：加鹽之后鹽水變咸的原因是鹽水的濃度變大.

設(shè)計(jì)思路? 從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)鹽水的濃淡與鹽的質(zhì)量、與鹽水質(zhì)量的比值有關(guān)，用字母分別表示鹽的質(zhì)量與水的質(zhì)量，建立起分式數(shù)學(xué)模型. 在這一過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了符號(hào)的抽象與表達(dá)的過(guò)程，培養(yǎng)了符號(hào)意識(shí).

問(wèn)題3：對(duì)于分子與分母都是正數(shù)的分式，當(dāng)它的分子與分母都加上一個(gè)正數(shù)，那么分式的值將作如何變化呢？

生：設(shè)原分式為（a>0，b>0，且a<b），分子與分母都加上一個(gè)正數(shù)之后，得，要比較大小，可以用作差法，即-==. 因?yàn)閏>0，b>a，所以>0，所以->0，所以>.

問(wèn)題4：試用數(shù)學(xué)的方法說(shuō)明當(dāng)鹽水加了水之后，鹽水就變淡了.（學(xué)生獨(dú)立完成，同伴互查）

設(shè)計(jì)思路? 學(xué)生經(jīng)歷了用符號(hào)表達(dá)鹽水變濃或變淡的過(guò)程，用符號(hào)進(jìn)行了符合邏輯的運(yùn)算與推理，把鹽水的濃度轉(zhuǎn)化為分式，把鹽水濃度變大或變小轉(zhuǎn)化分式的減法運(yùn)算，強(qiáng)化了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力.

環(huán)節(jié)二：探究?jī)杀}水混合的問(wèn)題.

問(wèn)題1：現(xiàn)有兩杯濃度不同的鹽水，一杯比較濃，一杯比較淡，當(dāng)它們進(jìn)行混合后，你的口感如何？如何用數(shù)學(xué)的形式表示這種口感呢？

教師引導(dǎo)分析：比較濃的鹽水如何用分式表示？比較淡的鹽水如何用分式表示？混合后的鹽水濃度與什么有關(guān)呢？

問(wèn)題2：在上面問(wèn)題中，兩杯水混合所得鹽水的濃度是不是它們的平均濃度呢？

教師引導(dǎo)分析：讓學(xué)生用特殊值嘗試解決，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后用分式進(jìn)行探究.

設(shè)計(jì)思路? 經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生可以感受到：關(guān)于鹽水的濃度問(wèn)題就是分式的值的問(wèn)題，當(dāng)比較兩杯鹽水的濃度時(shí)，就是要使用分式的加減運(yùn)算進(jìn)行推演.符號(hào)的運(yùn)算過(guò)程超越了鹽水問(wèn)題具體的屬性，用特殊值進(jìn)行猜想計(jì)算，再使用符號(hào)運(yùn)算推理，培養(yǎng)了學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的思維品質(zhì).

環(huán)節(jié)三：探究鹽水中一個(gè)結(jié)論.

問(wèn)題1：將一大杯鹽水分別倒入三個(gè)小杯中，那么大杯中鹽水濃度與小杯中鹽水的濃度有何不同呢？

學(xué)生思考后，教師歸納得到比例的一個(gè)重要性質(zhì)，即等比性質(zhì)：如果===，那么=.

設(shè)計(jì)思路? 學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，很容易理解大杯中的鹽水分別倒入小杯后，大杯與小杯的鹽水濃度是一樣的，但是教師要引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為符號(hào)表達(dá)式.學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)分式的分子與分母以相同的比例變化時(shí)，分式的值也不變，這是分式的基本性質(zhì)，同時(shí)也推導(dǎo)出比例的一條重要性質(zhì)，即等比性質(zhì).這樣的教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步感受到符號(hào)作為媒介的數(shù)學(xué)表達(dá)形式的價(jià)值所在.

環(huán)節(jié)四：整理與歸納.

刻畫(huà)鹽水的濃淡，我們使用了數(shù)學(xué)的方式，即從數(shù)學(xué)的視角觀(guān)察世界.其實(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不乏這些事例，如用來(lái)描述速度的快慢;用來(lái)描述電流的大小.同學(xué)們要逐漸養(yǎng)成用數(shù)學(xué)方法描述生活現(xiàn)象的意識(shí).

總之，世界上的一切都是簡(jiǎn)單的，用邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，其為基于符號(hào)意識(shí)的建模能力培養(yǎng)提供了可靠的理論依據(jù).培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)背景下，教師應(yīng)基于符號(hào)意識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用符號(hào)推演解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在不斷滲透符號(hào)意識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]王光盛. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)初中生符號(hào)意識(shí)[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2021（30）：33-34.

[2]孫凱. 初中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的內(nèi)容設(shè)計(jì)與組織原則[J]. 教學(xué)與管理，2021（22）：46-48.

[3]劉海霞. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模能力的培養(yǎng)策略[J]. 新課程評(píng)論，2021（06）：85-92.

[4]范連眾，孔凡哲. 對(duì)指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教科書(shū)的理解——以“整式的加減”為例[J]. 遼寧教育，2017（19）：7-10.

基金項(xiàng)目：江蘇省教學(xué)研究課題“基于省監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析的初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的策略研究”（課題編號(hào)：2019jyktzd-13）;泰州市中小學(xué)教學(xué)研究課題“基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析的初中生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升的策略研究”（課題編號(hào)：TZJYZD2019-058）.

作者簡(jiǎn)介：蔣樂(lè)（1981—），碩士研究生，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究和教育教學(xué)管理工作.