讓學生把數學“畫”出來

蔣明玉

數形結合是一種重要的數學思想。對大腦的科研成果表明，大腦的兩個半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹，如數的運算、代數式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發散，如猜想、假設、創造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發達。數形結合就同時運用了左、右半腦的功能，在培養形象思維能力時，也促進了邏輯思維能力的發展。

一、利用數形結合思想，幫助理解算理

在數學教學中，教師要充分調動學生原有的知識經驗，利用數形結合思想，幫助學生深刻理解算理，引導學生多角度地探索算理的形成過程，逐步培養學生利用“舊知”創造“新知”的能力。

案例1 利用“舊知”創造“新知”

在教學“整數除以分數的計算法則”時，在復習的基礎上，教師出示例題：一輛汽車[25]小時行駛18千米，1小時行駛多少千米？教師引導學生根據“速度=路程÷時間”，列出算式：18÷[25]。

師：這是整數除以分數，請同學們想一想，該怎樣計算？

生：可以把分數化成小數來計算，

18÷[25]=18÷0.4=45（千米）。

生：我覺得這種方法有局限性，當除數不能化成有限小數時，用這種方法就不能計算出正確的結果。

生：因為分數除以整數（0除外），等于分數乘以這個整數的倒數。我猜想整數除以分數也只要用整數乘以分數的倒數。18÷[25]=18×[52]=45（千米）。

師：這種計算方法究竟是否正確呢？下面大家一起來探究“整數除以分數”的計算法則。

（教師引導學生根據題意畫出如圖1的線段圖）

師：根據圖1的線段圖，你們能推算出1小時能行駛多少千米嗎？

生：從圖1中可以看出，如果把[25]小時行的千米數看作1份，那么1小時行駛的千米數應該為18千米的[52]倍。求1小時行駛多少千米，就是求18千米的[52]倍是多少。18÷[25]=18×[52]=45（千米）。

生：[25]小時行駛18千米，就是2個[15]小時行駛18千米，可以先求出[15]小時行駛多少千米，列式為18÷2=18×[12]（千米）。又因為1小時是5個[15]小時，所以求1小時行駛多少千米是要算18×[12]×5，根據乘法結合律，可以得到：18÷[25]=18×[12]×5=18×[52]=45（千米）。

師：從上面同學們的回答可以看出，整數除以分數只要怎樣計算就可以了？

生（異口同聲）：整數除以分數，等于整數乘以這個分數的倒數。

（正當教師準備組織學生練習時，一個學生發現新的方法）

生：老師，我利用商不變性質，同樣可以推出整數除以分數計算方法：18÷[25]=（18×[52]）÷（[25]×[52]）=18×[52]。

上述教學過程，學生的思維形式可以分成三個層次。第一層次是直覺思維形式，即由“因為分數除以整數（0除外），等于分數乘以這個整數的倒數。從而猜想整數除以分數也只要用整數乘以分數的倒數，18÷[25]=18×[52]=45（千米）。第二層次是形象思維形式，教師引導學生根據題意畫出線段圖，從而使學生借助直觀圖形展開思考，從整體上理解18÷[25]=18×[52]=45（千米），使學生經歷了多種思考策略的比較與溝通，培養了學生的形象思維能力。第三層次是邏輯思維形式，由一個學生聯想已學過的“商不變的性質”推導出18÷[25]=（18×[52]）÷（[25]×[52]）=18×[52]。這是一種邏輯思維形式，是學生利用“舊知”學習“新知”的表現。

二、利用數形結合思想，探索數學規律

借助“形”的生動和直觀性認識“數”是數形結合的重要方法之一。學生在生動有趣的活動中觀察、尋找圖形的特點，結合圖形從不同的角度觀察得出不同的數學規律。教師可以通過數形結合思想，訓練和培養學生數學直覺思維能力、發散思維能力和創造性思維能力。

案例2 找規律

如圖2，教師依次出示圖中的右邊部分，分別說說是由幾個小圓點組成的。想象一下，第4幅圖會是什么樣子的？一共有多少個圓點？

師：通過剛才的觀察，我們發現每幅圖的圓點總數都可以看作是兩個相同的數相乘的積，這些算式還可以用平方數的形式來表示。那剛才我們是怎樣觀察的？

生：橫著觀察的。

師：如果我們換個角度觀察，直接出示“ ”劃分的部分（圖2中左邊）。求每幅圖的圓點總數又可以列成怎樣的算式？

師：這些式子也是表示每幅圖圓點的總數，和剛才的算式是否相等？

（板書：1+3=22 ，1+3+5=32，1+3+5+7=42）

生：從1起連續奇數的和等于奇數個數的平方。

生：從1起連續n個奇數的和等于n的平方（n2）。

師：如圖3，老師出示3個算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8。你們能在圖中畫一畫、分一分，使每幅圖的圓點總數能用右邊的式子來表示嗎？

（學生在圖3左邊一列中獨立劃分后反饋）

師：如果換個角度再觀察這組圖（圖3），你還能用什么式子來表示每幅圖的圓點總數？在右邊一列圖中分一分，并用算式表示。

生：從2起連續n個偶數的和等于n乘以比n大1的數，即n×（n+1）。

生：從2起連續n個偶數的和等于n的平方加n，即（n2+n）。

史寧中教授說：“數學教學要培養數學直觀，數學的直觀是‘看’出來的，不是‘證’出來的。”利用數形結合思想來培養學生的數學直觀是很重要的。數形結合方法是借助“形”的生動和直觀認識“數”，通過觀察前3幅圖，學生從整體上觀察圖形的圓點排列特點;然后，想象一下第4幅圖會是什么樣子的。一共有多少個圓點？進而作出大膽的猜想、合理的假設，并得出試探性的結論，訓練了學生數學直覺思維能力。教師引導學生主動而有效地觀察圖形，培養學生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，讓學生體會圖形對數學規律形成的意義。教師應讓學生經歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，發展合情推理能力，初步感受圖形的美和推理的價值。

三、利用數形結合思想，巧妙解決問題

在分析、解答問題時，常常需要根據題目把題意“畫”出來，啟發我們全面分析問題，便于從不同角度去看圖與思考，巧妙地解決問題。

案例3 創新解法

甲、乙兩個容器共有溶液2600克，從甲容器中取出[14]，從乙容器中取出[15]，兩個容器共剩溶液2000克，求兩個容器原來各有溶液多少克？

此題可以引導學生利用數形結合思想，畫線段示意圖進行分析，根據題意：從甲容器中取出[14]，從乙容器中取出[15]，兩個容器共剩溶液2000克，可以知道甲容器的[14]+乙容器的[15]=2600-2000=600（克），圖中有4個600克，學生很容易看出乙容器的[15]=200克。

列式為：4×600=2400（克），求出4組（甲容器的[14]和乙容器的[15]）的和，由2600-2400=200（克），求出乙容器的[15]等于200克。由200×5=1000（克），求出乙容器有溶液1000克。由2600-1000=1600（克），求出甲容器有溶液1600克。

小學生的思維是從具象思維逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維處于初級階段的。教師利用數形結合思想，將學生的思維逐步引向深入，“變”中找“不變”，巧妙解決問題。把形象思維與抽象思維有機地結合起來，能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地思考問題，有助于學生養成多向性思維的好習慣。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校東校區）