非線性Zener模型的求解及多態共存機理研究

俞力洋， 黃 然， 丁旺才， 吳少培， 李國芳

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

工程實際中的機械系統、建筑橋梁、電子電路等，在外界環境的干擾下都不可避免地存在著振動現象，而這些振動往往具有非線性特性，會使系統運動規律變得更加復雜[1-6]。為減小此類振動對系統壽命、穩定性和安全性的不利影響，通常選擇一些隔振裝置抑制系統之間或系統與地基之間的振動傳遞，其中橡膠等黏彈性材料因其同時具備超彈性和黏彈性，被廣泛應用于各類隔振系統中，如機車車輛二系懸掛橡膠堆[7]、航空器APU(auxiliary power unit)隔振器[8]、汽車發動機懸架緩沖塊[9]、機床減震墊鐵等。

目前常用彈簧與阻尼并聯的Kelvin-Voigt模型及其組合模型等效應用于各種機械系統中的隔振或吸振裝置。田金鑫[10]利用Kelvin-Voigt模型研究了潛航器中浮筏隔振系統的動力學特性。李繼偉等[11]研究了多個Kelvin-Voigt模型所構成非線性動力吸振器的連接方式和吸振效果。Zang等[12]設計了包含多種Kelvin-Voigt模型的杠桿式被動吸振器，并對該新型結構的復雜動力學進行分析。值得注意的是，工程實際中的阻尼元件本身不可避免地具有一定彈性，對橡膠等黏彈性隔振材料更應如此考慮。

在材料領域，為更準確地反映黏彈性材料的松弛和蠕變特性，通常將橡膠等黏彈性系統等效為彈簧-阻尼串聯的Maxwell模型或含Maxwell元件的復雜組合模型，如Zener模型、Burgers模型[13]、Berg模型[14]、Dzierek模型[15]及分數導數模型[16]。其中Zener模型也被稱為標準線性黏彈固體模型或三元件Maxwell固體模型，雖然Zener無法準確描述高頻條件下橡膠材料的力學特性，但其能夠同時反映中低頻范圍內Kelvin-Voigt模型無法反映的松弛特性和Maxwell模型無法反映的蠕變特性[17]。為拓寬模型的頻率范圍，Pritz[18]在Zener模型中引入分數導數概念，使其可在更寬的頻率范圍內表達黏彈性材料的力學特性，但同時也增加了系統參數數量與計算難度。于增亮等[19]分析了4種常用黏彈模型的特點與適用場合。綜上所述，相比于四參數模型及復雜分數導數模型，Zener模型具有較少的系統參數，較低的計算難度，且其本身能夠準確反映中低頻范圍內橡膠材料的黏彈特性，是開展中低頻范圍內橡膠隔振系統動力學特性研究的較佳模型。

在黏彈性模型的動力學響應方面，王孝然等[20-21]比較了不同類型強迫振動下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振動響應，建立了一種含負剛度元件的Maxwell模型動力吸振器，證明了所提出模型具有更好的減振效果，并將慣容元件逐步引入含Maxwell元件的動力吸振器中[22]。在求解方法上，陳煒[23]利用復數變量法求解了單、多自由度非線性減振器的振動響應，并基于此分析了減振器的能量傳遞與耗散過程。李飛等[24]研究了一類多約束兩自由度碰撞振動系統在不同約束布置下的準對稱特性。李得洋等[25]研究了單自由度碰撞振動系統在叉式分岔與逆叉式分岔誘導下的周期運動轉遷規律。De Haro Silva等[26]基于諧波平衡法研究了非線性剛度對非線性Zener隔振系統共振頻率的影響。

綜上所述，之前的研究主要集中在不同條件下橡膠隔振系統靜力學特性的計算、力學模型的等效和減振效果的分析上，但對材料黏彈性模型的系統響應、分岔、混沌及多態共存等復雜非線性動力學行為的研究有待進一步深入。本文采用能準確反映中低頻范圍內黏彈材料力學特性的非線性Zener模型表征橡膠隔振系統。首先建立了系統運動微分方程并進行無量綱化，采用復數變量法和諧波平衡法計算了系統的瞬態響應與穩態響應，并結合數值方法及UM(Universal Mechanism)軟件仿真進行響應對比，隨后利用定相位Poincaré截面獲得系統多初值分岔圖，揭示了非線性Zener模型在叉式分岔、倍周期分岔、鞍結分岔和邊界激變誘導下周期運動的共存及轉遷規律，分析了存在于系統中的“P(D)nP′多態域”。

1 系統的力學模型和運動微分方程

非線性Zener隔振系統的力學模型，如圖1所示。該模型是在Maxwell模型的基礎上并聯了一個彈性力F=K(X+εX3)的非線性彈簧，質量塊M在簡諧激勵Fsin(ΩT)作用下往復運動，節點是位于Maxwell模型彈簧與阻尼中間的無質量質點，其兩端的彈性力與阻尼力是一對合力為0的平衡力，X,Y分別為質量塊和節點的位移。

圖1 非線性Zener隔振系統Fig.1 Nonlinear Zener vibration isolation system

圖1所示系統的運動微分方程為

(1)

取無量綱參數

則式(1)被無量綱化為

(2)

2 系統的瞬態響應求解

由于非線性Zener模型不符合Rayleigh阻尼要求，且該模型包含被看作是介于單自由度與兩自由度之間的Maxwell模型，使用解耦法或一般近似求解方法求解系統動力學響應存在困難，下面采用復數變量法求解圖1所示系統的瞬態響應。

根據復數變量法的思想，首先將系統的響應分解為慢變模塊Δ(t)和快變模塊ejωt兩部分，對質量塊和節點位移做如下復變量代換

(3)

將式(3)代入式(2)所對應的齊次方程，并消除其中的久期項可得

(4)

(5)

進而可得質量塊瞬態響應幅值及相角所對應的微分方程

(6)

(7)

為更加真實地反映非線性Zener隔振系統的動力學特性，本文還基于商業化的多體系統動力學軟件UM對非線性Zener模型進行了軟件仿真。系統參數取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3時，通過數值方法、復數變量法及UM軟件仿真所得質量塊M的瞬態響應對比圖，如圖2所示。由圖2可知：復數變量法所得結果可與數值結果及UM軟件仿真結果良好匹配。

圖2 質量塊瞬態響應對比圖Fig.2 Comparison of mass transient response

3 系統的穩態響應求解

設圖1所示系統主振動的形式為

(8)

將特解式(8)代入式(2)，略去其中可快速衰減的高頻項，并使等式兩邊對應諧波項的系數相等，可得關于質量塊幅值A平方的一元三次方程

(9)

當式(9)所得解中僅有一個正實根時，對應于幅頻響應曲線的單解。當激勵頻率ω處于兩次“跳躍”之間的多態共存區時，節點及質量塊幅值有3個正實根，對應于系統的3個共存周期解，分別是節點與質量塊的兩個穩定幅值與一個不穩定幅值。

系統質量塊與節點的穩態幅值與相角為

(10)

利用式(10)作非線性Zener隔振系統質量塊的幅頻響應曲線，并與數值方法及UM軟件仿真所得結果進行對比，如圖3所示。

圖3 質量塊幅頻響應對比圖Fig.3 Comparison of mass amplitude-frequency response

系統參數取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3,p=4時，由諧波平衡法、數值方法及UM軟件仿真所得的質量塊幅頻響應對比圖，如圖3所示。由圖3可知：上述3種方法所得質量塊幅頻響應基本吻合。受系統非線性剛度的影響，質量塊振動幅值A存在“跳躍”現象，當正向掃頻時，質量塊M在ω=4.103處經鞍結分岔誘導，振動幅值A發生從大到小的“跳躍”，當反向掃頻時，質量塊M在激勵頻率ω=2.428處經鞍結分岔誘導，使其振動幅值A發生從小到大的“跳躍”。在質量塊振動幅值發生兩次“跳躍”的頻率范圍內，質量塊出現兩個穩定不變集與一個不穩定不變集的共存。

4 系統的非線性動力學特性分析

4.1 系統的叉式分岔及準對稱特性

圖4 系統多初值分岔圖Fig.4 Multi-initial bifurcation of system

圖5 系統的相圖Fig.5 Phase diagrams of the system

4.2 系統的多態共存及轉遷機理

選擇系統參數μk=0.1,ξ=0.05,knl=0.3,p=20,仍以零相位面σ為Poincaré截面，可得激勵頻率ω∈[0.8,1.8]時質量塊位移x的多初值分岔圖，如圖6所示。圖6中虛線為質量塊不穩定狀態。由圖6可知：系統在該參數域內存在叉式分岔PF、倍周期分岔PD、鞍結分岔SN和邊界激變BC。

由圖6所示多初值分岔圖可以看出，激勵頻率ω∈(1.698,1.8]時，質量塊M始終為穩定的周期PS-1運動，結合當ω=1.720時質量塊的相圖(見圖7(a))可以看出，該激勵頻率下，質量塊M做自對稱的周期PS-1運動，此時不論系統初始條件如何設置，質量塊M都將穩定于同一個自對稱的周期軌道上。隨著激勵頻率ω的逐漸減小，系統在ω=1.698處發生叉式分岔PF1，質量塊M自對稱的周期PS-1運動被誘導為兩個反對稱的周期PAS1-1運動和周期PAS2-1運動，形成兩個穩定周期運動的共存，此時質量塊容易因外界條件的變化而穩定于不同的周期軌道上。圖7(b)為當ω=1.560時，質量塊M在不同初始條件下的相軌跡，可以看出質量塊周期PAS-1運動的反對稱特性。當激勵頻率從ω=1.600減小至ω=1.400時，系統在ω=1.439處發生的鞍結分岔SN2誘導質量塊M的位移發生從小到大的“跳躍”，當激勵頻率從ω=1.400增大至ω=1.600時，發生于ω=1.541處的鞍結分岔SN1，又誘導質量塊M的位移發生從大到小的“跳躍”，在鞍結分岔兩個“跳躍點”形成的區間[1.439，1.541]內，質量塊從一對反對稱周期運動的共存轉遷為兩對反對稱周期運動的共存。如圖7(c)所示，此時質量塊M實質上為4個周期一運動的共存。當激勵頻率ω減小至跨越鞍結分岔SN2對應的頻率后，圖7(c)中虛線所示的一對反對稱周期一運動消失，系統做圖7(c)實線所示的反對稱周期運動，如圖7(d)所示為鞍結分岔SN2后激勵頻率ω=1.440時，質量塊M做不同初始條件下反對稱的周期PAS-1運動。當激勵頻率ω減小至ω=1.316時，系統發生的倍周期分岔PD1誘導質量塊M進入反對稱的倍周期序列。圖7(e)為當ω=1.300時質量塊的相圖，質量塊M呈現出反對稱的周期PAS-2運動。圖7(f)為當激勵頻率ω=1.265時質量塊的相圖，此時質量塊M為兩個反對稱周期四運動的共存，隨著激勵頻率ω的繼續減小，質量塊M通過反對稱倍周期序列進入反對稱的混沌運動。圖7(g)為當ω=1.260時，質量塊反對稱混沌運動共存時的相圖。圖7(h)為當ω=1.255時，質量塊M反對稱的混沌吸引子，此時不同的初始條件亦會引起系統不同的混沌運動。

圖6 質量塊多初值分岔圖Fig.6 Multi-initial bifurcation of mass

系統在激勵頻率ω=1.25時發生的邊界激變BC1，使質量塊M從反對稱混沌運動的共存轉遷為單穩態周期PS-3運動，圖7(i)為當激勵頻率ω=1.235時質量塊M的相圖，此時，無論如何設置初始條件，均無法改變圖7(i)所示的周期三軌線。當激勵頻率ω∈[1.034,1.044]時，質量塊M通過叉式分岔PF3與倍周期分岔PD4進入反對稱的混沌運動，圖7(j)與圖7(k)為激勵頻率ω=1.035和ω=1.000時，質量塊反對稱的混沌運動和反對稱的混沌吸引子圖。隨著激勵頻率ω繼續減小，系統在ω=0.937處發生的邊界激變BC2使質量塊從反對稱的混沌運動轉遷為單穩態周期PS-1運動，圖7(l)為激勵頻率ω=0.92時，質量塊M的相圖，系統此時呈現為自對稱的周期一運動。

4.3 系統的“P(D)nP′多態域”及轉遷規律

非線性Zener模型在一定的參數條件下存在“P(D)nP′多態域”，即隨著系統分岔參數的改變，叉式分岔誘導系統從自對稱周期PS-n運動轉遷為兩個反對稱周期PAS-n運動，此后每個反對稱的周期PAS-n運動又會以倍周期序列進入混沌，形成倍周期序列的共存及混沌運動的共存，最后，系統又依次通過逆倍周期分岔與逆叉式分岔，將多不變集共存的周期PAS-n運動誘導回單穩態周期PS-n運動，本文稱諸如此處由叉式分岔、倍周期分岔、逆叉式分岔形成的多態共存區域為“P(D)nP′多態域”，其中P為叉式分岔，P′為逆叉式分岔，(D)n為倍周期分岔或逆倍周期岔誘導下系統反對稱的周期n運動或混沌運動，特別地，圖4所示分岔圖則為“P(D)0P′多態域”。

圖6中L1，L2，L3處局部放大圖的拼接，如圖8所示。當激勵頻率ω∈[1.11,1.20]時，系統叉式分岔PF2、倍周期分岔PD2、逆倍周期分岔IPD1與逆叉式分岔IPF1誘導系統同時呈現出3個“P(D)nP′多態域”，形成質量塊倍周期序列的共存和混沌運動的共存。

由圖8可知：系統在ω=1.198處發生的叉式分岔PF2，會誘導質量塊M從穩定性較好的周期PS-3運動轉遷為雙穩態周期PAS-3運動，如圖9(a)為激勵頻率ω=1.185時質量塊的相圖，此時質量塊M呈現為反對稱的周期PAS-3運動。隨著激勵頻率ω的持續減小，系統在激勵頻率ω=1.168處進入反對稱的倍化序列PD2，質量塊M依次通過反對稱周期PAS-6運動(ω=1.165)反對稱周期PAS-12運動等倍周期序列進入反對稱的混沌運動(ω=1.15)，隨后又快速進入逆倍周期分岔IPD1，在ω=1.131處退化為周期PAS-3運動，倍化過程中對應的相圖及截面圖如圖9(b)～圖9(d)所示，均具有關于零點O中心對稱的特點，從而形成“P(D)nP′多態域”內反對稱倍周期序列的共存及反對稱混沌運動的共存。當ω=1.109時，質量塊M周期PAS-3運動在逆叉式分岔IPF1的誘導下退化為穩定性較好的周期PS-3運動。綜上所述，隨著激勵頻率ω的減小，質量塊M在ω∈(1.109,1.198)時存在如下的周期運動轉遷規律

使質量塊呈現出了3對“P(D)nP′多態域”，此時，系統表現為一對反對稱倍周期序列的共存及一對反對稱混沌吸引子的共存。

圖7 系統的相圖與Poincaré截面圖Fig.7 Phase diagrams and Poincaré map of the system

圖8 圖6局部放大拼接圖Fig.8 Partial enlargement diagram of Fig.6

圖9 系統的相圖與Poincaré截面圖Fig.9 Phase diagrams and Poincaré map of the system

橡膠隔振系統存在的非線性跳躍和分岔會誘導系統發生多態共存等復雜非線性動力學行為，從而導致系統穩定性與壽命逐漸降低，工程實際中，可通過調整系統參數或設計恰當的限幅裝置，以鎮定系統的理想周期運動，達到避免或限制系統有害振動發生的目的。

5 結 論

本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統，求解并通過多種方法對比了系統的瞬態響應與穩態響應，分析了中低頻范圍內橡膠隔振系統的分岔、混沌、“P(D)nP′多態域”及多態共存等復雜非線性動力學行為，得出以下結論：

(1) 本文所采用復數變量法和諧波平衡法所得的系統響應均可與數值結果及UM軟件仿真結果良好匹配，為非線性Zener模型的求解提供了一種方法參考。

(2) 系統在周期運動轉遷過程中受到叉式分岔、鞍結分岔、倍周期分岔和邊界激變等分岔的誘導。系統在主共振區附近鞍結分岔的誘導下形成一對自對稱周期運動的共存；在叉式分岔的誘導下系統從單穩態周期運動轉遷為一對反對稱周期運動的共存；發生于叉式分岔后的鞍結分岔會誘導系統從一對反對稱周期運動共存轉遷為兩對反對稱周期運動的共存，使系統呈現出周期四共存。

(3) 系統叉式分岔與逆叉式分岔誘導系統產生“P(D)nP′多態域”；在“P(D)nP′多態域”中，系統出現一對反對稱周期倍化序列的共存及一對反對稱混沌運動的共存。

上述研究結果與方法，可為黏彈性隔振系統的動態設計提供一定的理論依據，達到避開橡膠隔振系統的非線性跳躍和分岔的目的。