單雙撐桿交錯式索穹頂結構靜力性能分析

張愛林， 袁文俊， 張艷霞,2， 朱莉娜， 熊家鑫

(1. 北京建筑大學 土木與交通工程學院，北京 100044； 2. 北京建筑大學 北京未來城市設計高精尖創新中心，北京 100044；3. 北京工業大學 北京市高層和大跨度預應力鋼結構工程技術研究中心，北京 100124)

索穹頂結構是一種構造巧妙、剛柔并濟、輕盈優美的大跨度預應力結構，其來源于著名建筑大師Fuller的張拉整體思想[1]。Geiger[2]對“壓桿孤島處于拉桿海洋”思想進行適當的改造，設計了第一個索穹頂結構并成功應用于漢城奧運會的體操館和擊劍館。Levy[3]進一步發展了索穹頂結構體系，改用聯方型拉索網格，消除了Geiger型索穹頂的內部機構，并成功應用于亞特蘭大奧運會主管場的喬治亞索穹頂。

張愛林教授創新研發了國內第一個大跨度索穹頂結構工程，并成功應用于內蒙古鄂爾多斯伊金霍洛旗全民健身中心[4-5]。其他學者也提出了許多新型索穹頂結構形式如：Kiewitt型[6]、葵花型[7-8]、鳥巢型[9]、蜂窩型[10-11]、傾斜撐桿式索穹頂[12]、聯方型雙撐桿索穹頂[13]、新型脊桿環撐索穹頂[14]、星型四面體索穹頂[15]。閆翔宇等[16-17]通過Levy式的過渡提出了外圈Levy式內圈Geiger式的復合式索穹頂方案，并成功應用于天津理工大學體育館。受復合式索穹頂方案的啟發，本文提出了一種單雙撐桿交錯式索穹頂，該體系采用單撐桿與雙撐桿交替布置有效減少了索桿構件的數量，并對該結構進行了靜力性能分析，研究了各種結構參數對結構剛度及承載力的影響，為結構的進一步設計提供了參考依據。

1 單雙撐桿交錯式索穹頂結構

1.1 拓撲形式

單雙撐桿交錯式索穹頂由環索、脊索、斜索、外拉斜索、撐桿、水平撐桿以及剛性環梁組成，結構示意圖如圖1所示。與傳統Geiger型和Levy型索穹頂相比，從索穹頂中心到最外圈為單撐桿與雙撐桿交替布置，并將豎直的單撐桿變為斜向撐桿，通過增設外拉斜索增加環向連接，同時最外圈雙撐桿與水平撐桿首尾相接形成撐桿環，內圈雙撐桿首尾相接形成撐桿環，提高了結構的環向剛度，增強了結構抵抗非均布荷載的能力。其中水平撐桿、斜索、脊索和斜向撐桿組成一個四面體，并且在水平投影中斜向撐桿和斜索分別為平面三角形的角平分線，同時平面投影還形成了7個全等的正六邊形，從而保證了結構網格的均勻性，使結構整體性更好。

從上弦節點構件數、下弦結構構件數、每圈斜索數量、撐桿特點、水平投影特點等方面對單雙撐桿交錯式索穹頂和傳統索穹頂的構件連接關系進行比較，如表1所示。與Geiger型索穹頂相比，單雙撐桿交錯式索穹頂最外圈為傾斜雙撐桿和水平撐桿連接，增大了結構環向剛度，且水平撐桿的存在利于安裝定位構件；與Levy型索穹頂對比，單雙撐桿交錯式索穹頂部分圈為單撐桿連接，在保證結構穩定性的同時可以達到節約材料的效果。整個單雙撐桿交錯式索穹頂桿的數量為49根，索的數量為126根，桿索數量比約為1∶2.57， Geiger型索穹頂桿索數量比約為1∶3，Levy型索穹頂桿索數量比約為1∶5。

注：HS-環索；JS-脊索；XS-斜索；WLXS-外拉斜索；CG-撐桿；SPCG-水平撐桿；GXHL-剛性環梁。圖1 單雙撐桿交錯式索穹頂結構示意圖Fig.1 Structural diagram of alternated cable dome with single and double brace struts

表1 構件連接關系對比Tab.1 Comparison of component connected relation

1.2 預應力簡捷分析

單雙撐桿交錯式索穹頂結構為對稱結構，取其1/6結構進行預應力分布計算，結構平面計算圖和剖面計算圖，如圖2所示。為了在計算時書寫簡便：用Ci，Ji，Xi，Hi分別代表撐桿CGi、脊索JSi、斜索XSi和環索HSi的內力，i為不同的節點；αi為連接節點i與節點i+1的脊索與水平面的夾角，βi為連接節點i′與節點i+1的斜索與水平面的夾角，ξi為連接節點i與節點i′的撐桿與水平面形成的夾角，ψi,j為連接節點i與節點j形成的撐桿或索與對稱軸線的夾角；hi為連接節點i與節點i+1在剖面圖上的垂直長度，hi′為連接節點i′與其節點i+1的垂直長度。

圖2 單雙撐桿交錯式索穹頂結構計算簡圖Fig.2 Structural calculation diagram of alternated cable dome with single and double brace struts

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

由于在節點0,1,0′,1′和2處一個節點均最多有兩個未知力，可運用節點平衡法求解，但在節點2′存在多個未知力，屬于超靜定問題，無法利用普通的節點平衡法求解，此時引入位移法，以節點位移作為基本未知量，通過位移方程和已知外力，求出節點位移，進而推出索桿內力。將撐桿與索的單位剛度分別表示為(EA)V/li和(EA)T/lj，并假設單雙撐桿交錯式索穹頂在成形之后有足夠大的剛度，節點2′產生小位移時不影響與各索桿另一端連接節點的位移，即假設各索桿另一端節點為鉸接。以連接在節點2′上的各索桿作為分析單元，列位移方程。此公式僅適用于結構屬于對稱結構，外荷載也屬于均布荷載時可用，式中：kxx,kyy分別為分析單元在x，y方向上產生單位位移時索需要的力；kx(y),ky(x)分別為當一個方向產生位移時，對另外一個方向的影響，則根據各索桿之間的關系，可得到式(6)、式(7)。

(6)

F2′x=C2cosξ2
F2′y=C2sinξ2

(7)

因為結構在成形后剛度足夠大，節點2′在外力作用下產生的節點位移較小，可忽略當x(y)方向產生位移時對y(x)的影響，即kx(y)=ky(x)=0。求出每根索桿的單元剛度后，如式(8)、式(9)所示，然后聯立式(6)、式(7)即可求得節點位移，進而求出節點上各索桿內力。

（）（）規定的范圍內[8]。這說明所建立的發動機飛輪有限元模型能夠較為準確地描述發動機飛輪的振動特性。

(8)

(9)

在節點3處，水平撐桿與對稱軸線垂直，則其在對稱軸平面投影為0，此時節點3處僅有兩個未知力C3,J3，即可運用節點平衡法列出式(10)前兩個平衡方程即可求解兩個未知力，在求出這兩個力后，結合平面圖寫出第三個平衡方程即可求出水平撐桿C33的內力。

同樣節點3′屬于超靜定問題，利用位移法即可求得各索桿內力，H3與對稱軸線垂直，故其在對稱軸平面投影為0，利用位移法如式(11)、式(12)求解完其他索桿內力后，在利用節點平衡法如式(13)即可求得H3的內力。

(10)

(11)

(12)

通過式(10)～式(13)即可求出單雙撐桿交錯式索穹頂中的所有索桿內力，各索桿具體預應力大小及截面面積，如表2所示。

表2 計算模型截面和預應力設計Tab.2 Calculation model section and prestress design

1.3 分析模型

利用MIDAS軟件對單雙撐桿交錯式索穹頂結構進行靜力性能分析，選取靜力分析模型跨度為60 m，矢高6 m，設置三圈環索，最內圈環索半徑為9.8 m，第二圈環索半徑為19.7 m，最外圈環索半徑為26.2 m。撐桿采用Q355圓鋼管，屈服強度為355 MPa，彈性模量為2.06×105MPa，采用桁架單元模擬，既能受拉又能受壓。索采用鋼鉸線，屈服強度為1 860 MPa，彈性模量為1.95×105MPa，采用只受拉桁架單元模擬。屋面鋪設膜材，采用平面應力單元模擬。

2 結構靜力性能分析

對單雙撐桿交錯式索穹頂進行靜力加載，膜材質量取0.1 kN/m2(不考慮膜材對結構剛度的貢獻)，屋面活荷載取0.5 kN/m2，研究均布豎向荷載分布形式對構件內力和變形的影響規律。工況一為在預應力狀態下承受恒荷載和全跨均布豎向活荷載，全跨均布豎向荷載加載大小以0.6 kN/m2為荷載基礎(1倍恒載+1倍活載)，然后在該荷載基礎上乘以荷載擴大系數λ，λ的范圍為1～7，以每一級0.5的速率增加，在整個加載過程中，假設各索桿均處于彈性狀態，且忽略自質量引起的拉索的垂度的影響。工況二為在預應力狀態下承受恒荷載和半跨均布豎向活荷載，與全跨均布豎向荷載加載方式類似，考慮結構自質量，并在整個加載過程中施加0.1 kN/m2的恒荷載，然后在左半跨施加活荷載，活荷載基數為0.5 kN/m2。工況三為在預應力狀態下承受1.3倍恒荷載和1.5倍全跨活荷載。工況四為在預應力狀態下承受1.3倍恒荷載、1.5倍全跨活荷載和0.7×1.5×風荷載，北京地區50年一遇的基本風壓為0.45 kN/m2。根據工程經驗一般張拉完后索內力在0.2倍～0.5倍索破斷力，所以取中值按0.35倍索破斷力施加給環索，然后進行自質量和初拉力荷載共同作用下的荷載工況計算，看結構位移是否滿足規范要求，如果滿足，則將此初拉力荷載作用下的各索桿內力定義為1.0倍，如果不滿足，則重新調整初拉力荷載的大小，直至結構位移滿足要求。

2.1 全跨均布豎向荷載

圖3顯示了結構在全跨均布豎向荷載作用下結構的索桿內力變化和位移響應，由圖3分析可知，隨著λ的增加：①撐桿內力均不斷增加，且從索穹頂中心到索穹頂外圈，撐桿內力不斷增大，在6λ之前，撐桿內力呈線性變化趨勢，在6λ之后，撐桿內力均出現轉折點，同時上弦節點與下弦節點位移變化率增大，結構剛度降低。②斜索與環索內力均不斷增加，內圈斜索和環索內力較小，外圈斜索和環索內力較大，環索內力在整個加載過程中都呈線性增加的趨勢。斜索內力在6λ之前線性增加，在6λ之后，第二斜索XS2與外拉斜索WLXS內力出現拐點，外拉斜索內力降至0后失效，結構剛度降低。③脊索內力不斷減小，相繼出現拐點后失效。3λ之前脊索內力均呈線性減小的趨勢，由于索穹頂外圈有剛性環梁，內環剛度相對較低，中心脊索率先失效，結構剛度降低，隨著外荷載的不斷增加，外圈脊索內力也不斷減小，結構由內到外剛度不斷降低。④上弦節點與下弦節點位移均呈不斷增加的趨勢，在6λ時由于大部分脊索均失效導致結構位移迅速增加并超過規范限值240 mm，說明對于該索穹頂而言外部荷載不宜大于6λ。

圖3 全跨均布荷載作用下索桿內力和節點Z向位移Fig.3 Internal force of cable strut and Z-direction displacement of node under uniformly load of full span

2.2 半跨均布荷載

圖4顯示了半跨均布荷載作用下索桿內力變化和位移響應，由圖4分析可知：①當荷載擴大系數λ≤2時，無論是有荷載跨還是無荷載跨，結構索桿內力以及節點Z向位移均呈線性變化趨勢。對于有荷載跨，除部分脊索和外拉斜索內力呈減小趨勢外，其他索桿內力均不斷增加；對于無荷載跨，除少數撐桿、斜索、脊索、環索內力明顯增加外，其他索桿內力均呈減小趨勢。在半跨豎向均布荷載作用下，有荷載跨節點向下移動，無荷載跨節點向上移動，導致結構有荷載跨索桿內力和無荷載跨索桿內力變化趨勢不一致。②當荷載擴大系數λ>2時，結構位移呈非線性變化趨勢，且當λ=3時有荷載跨WLXS內力降至0后失效，結構剛度降低。隨著荷載倍數的不斷增加，內圈脊索內力斜索內力均不斷減小，有荷載跨XS0內力趨近于0，結構剛度進一步降低。對于無荷載跨并未出現索失效的情況。③在半跨均布荷載作用下，結構同時出現向上、向下節點位移，節點向下最大位移點出現在有荷載跨第2圈撐桿頂點，節點向上最大位移點出現在無荷載跨第2圈撐桿頂點。④在半跨豎向均布荷載作用下，相較于全跨豎向均布荷載，有荷載跨各索桿內力均有不同程度增大，且豎向位移更大。滿跨均布荷載作用下，結構變形均勻對稱，而半跨均布荷載作用下，有荷載跨出現向下位移，無荷載跨出現向上豎向位移，結構變形不均勻，且兩種工況下結構出現最大位移點的位置不同。隨著全跨豎向均布荷載的不斷增加，脊索由內向外逐漸失效，而對于半跨豎向均布荷載，內圈索幾乎同時失效，對結構剛度影響較大，所以在結構設計時，應增加結構抵抗非均布荷載的能力，提高結構環向剛度。

圖4 半跨均布荷載作用下索桿內力和結構Z向位移Fig.4 Internal force of cable strut and Z-direction displacement of structure under uniformly load of half span

2.3 風荷載

為了研究單雙撐桿交錯式索穹頂結構在風荷載作用下的響應，考慮了工況三和工況四兩種荷載工況。等效靜力風荷載大小按照GB 50009—2012《建筑結構荷載規范》[18]采用公式Wk=βZμSμZω0進行計算，其中:βZ為風振系數，對于柔性屋蓋結構宜依據風洞試驗結果按隨機振動理論計算確定，本文暫取值為1.0；μS為風荷載體型系數，考慮到索穹頂整體較柔，取值為-1.0；μZ為風壓高度變化系數，按建筑高度30 m，地面粗糙度B類，取值為1.39；ω0為基本風壓，取值為0.45 kN/m2。由表3可知，結構在風荷載組合作用下相較于無風荷載作用時，脊索內力增大，其余構件內力減小，內圈脊索節點豎向位移最大，達到207.72 mm，滿足結構變形要求。而無風荷載作用時節點豎向位移最大為166.68 mm，說明風荷載對于結構來說是不利荷載，且該結構在有風荷載作用時相較于無風荷載作用時位移增大了24%，說明該結構對于風荷載比較敏感。

表3 兩種工況下構件內力和結構最大位移Tab.3 Internal force and maximum displacement of components under two working conditions

2.4 自振特性分析

對結構進行了前50階自振頻率分析，從圖5可以看出在前50階頻率中存在跳躍點，第一個跳躍點前的結構自振頻率相差不大，第二個跳躍點前后的自振頻率變化較大。結構1～5階自振頻率較密集，高階自振頻率較稀疏，說明結構低階自振頻率相近，高階自振頻率相差較大。表4為選取的較為典型的振型及其對應的自振頻率。第1階以外圈環向變形為主，內圈環向變形為輔，豎向位移較小；第10階內圈環向變形稍大于外圈環向變形，同時也存在豎向位移；第12階為純豎向變形，結構中心位移最大，越往外圈結構位移越小。通過以上分析可看出，對于單雙撐桿交錯式索穹頂而言，其環向剛度稍弱于豎向剛度。

圖5 結構前50階自振頻率Fig.5 The first 50 natural frequencies of the structure

表4 結構自振振型及頻率Tab.4 Natural vibration mode and frequency of structure

3 參數分析

在考慮結構自質量以及對結構施加1倍全跨均布豎向恒荷載以及1倍全跨均布豎向活荷載情況下，對結構進行參數分析，包括不同矢跨比、預應力倍數、撐桿高度對結構索桿內力及結構豎向位移的影響。

3.1 矢跨比

圖6顯示了結構在不同矢跨比時索桿內力以及上弦節點與下弦節點位移響應，矢跨比分別取1/8，1/10，1/12和1/15，由圖6分析可知：①隨著矢跨比的增加，撐桿內力、環索以及脊索內力均不斷增加，內圈索桿內力變化較小，外圈索桿內力變化較大，中心脊索JS0與第一脊索JS1略有降低，其他脊索均不斷增加。矢跨比從1/15到1/10各索桿內力的變化速率比矢跨比從1/10到1/8的變化速率大，說明適當的增加結構矢跨比可以提高結構剛度，過大的矢跨比對結構剛度的提高能力趨于飽和，優勢不明顯。②矢跨比越大，結構變形越小，上下弦節點位移越小，且由內向外節點位移逐漸減小。當矢跨比為1/15時節點位移為280 mm，超過規范限值240 mm，說明結構矢跨比不宜太小，矢跨比越小結構位移越大，構件變形越大，對實際工程中構件下料以及施工張拉不利。當矢跨比為1/8時，結構位移變化相對較小，且索桿內力優勢也不明顯，影響美觀的同時還浪費材料，所以該結構矢跨比取值在1/12～1/10為宜，不僅能使結構有足夠的承載力，同時還符合變形要求，節省材料方便施工，一舉多得。

3.2 預應力倍數

圖7顯示了結構在不同初始預應力作用下結構索桿內力以及上下節點位移響應，由圖7可知：①隨著初始預應力的不斷增加，各索桿內力均不斷增加，但對內圈索桿的影響程度較小，對外圈各索力影響較大。內圈脊索、環索、斜索以及撐桿內力在3倍初始預應力時內力增加一倍多，但最外圈各索桿內力增加了3.5倍，最外圈環索內力值達到了4 200 kN，最外圈脊索內力值達到3 200 kN。適當增加初始預應力大小，可提高內圈索桿內力，從而增加結構內圈剛度，避免結構在較小外部荷載作用下，發生內索失效的現象，在1.2倍初始預應力時，結構剛度提高了27.7%，但同時也需注意初始預應力不宜過大，以防外圈索力超過破斷索力，且預應力過大也會增加施工難度。②上下弦節點隨初始預應力的增加而增加，在1.5倍初始預應力時，上下弦節點位移已經處于規范限值240 mm邊緣，初始預應力繼續增加，上下弦節點位移也不斷增加，當初始預應力倍數達到3倍時，上下弦節點位移分別為562 mm和563 mm，此時節點位移為規范限值2倍多，同時過大變形不利于實際操作中張拉，所以初始預應力不宜過大，對于該索穹頂結構而言初始預應力在1.2倍～1.5倍合適。

圖6 不同矢跨比時索桿內力以及節點位移響應Fig.6 Response of internal force and node displacement of cable strut under different rise span ratio

圖7 不同預應力倍數下索桿內力以及節點位移響應Fig.7 Internal force of cable strut and displacement response of joint under different prestress multiple

3.3 撐桿高度

表5為各組撐桿高度，從第1組到第5組各撐桿高度逐漸增加，在改變撐桿高度時保持結構其他參數一致。從圖8可得出以下結論：①在此種撐桿高度變化形式下，從整體上看，不論是各索桿內力還是結構上弦節點位移，均變化相對較小。②隨著撐桿高度的增加，內圈撐桿內力有增大的趨勢，但變化較為平緩，外圈撐桿內力在100 kN內變化；斜索內力與環索內力均不斷減小，內圈斜索與內圈環索內力變化相對較小，外圈斜索與外圈環索內力變化相對較大，第5組撐桿高度所對應的斜索內力約為第1組撐桿高度的2/3，第5組撐桿高度所對應的環索內力也約第1組環索內力的2/3；內圈脊索內力隨撐桿高度的增加而逐漸增大，外圈脊索內力隨撐桿高度的增加而減小，變化幅度均相對較小。③從節點Z向位移圖圖8(e)可看出，撐桿高度的變化對節點位移影響較小，節點位移變化平緩，其中中心節點位移最大，外圈節點位移最小。

表5 各組撐桿高度Tab.5 Strut height of each group m

圖8 不同撐桿高度下結構內力以及節點位移Fig.8 Internal force and node displacement of structure under different strut height

4 結 論

本文通過MIDAS軟件分析了單雙撐桿交錯式索穹頂結構的靜力性能。首先研究了在全跨和半跨豎向均布荷載作用下該結構的靜力特性，然后通過改變矢跨比、預應力倍數、撐桿高度分析了該結構在不同參數條件下的靜力性能響應，給出了各參數合適的取值范圍，最后得到以下結論：

(1)單雙撐桿交錯式索穹頂結構上層脊索中同時存在索與撐桿，水平撐桿約束了脊索變形，增強了整體穩定性，內外圈撐桿形成兩個閉合撐桿環，提高了結構抵抗非均布荷載能力。同時該結構平面投影形成7個全等的正六邊形，結構網格劃分均勻，結構整體性強。

(2)在全跨均布豎向荷載作用下索穹頂中心承載能力較低，中心處各索桿內力相對較小，在較大荷載作用下脊索容易失穩，因此中心脊索JS0首先出現索失效的現象。而在半跨均布豎向荷載作用下，結構產生水平位移，結構中部相對較薄弱，則結構中部的外拉斜索WLXS最先失效。

(3)結構矢跨比、預應力倍數和撐桿高度的變化均會對結構內力和節點位移產生影響，其中矢跨比影響最大，撐桿高度影響較小。矢跨比過大對于結構承載力提高不明顯，過小會導致變形過大，故該結構矢跨比應控制在1/12～1/10。

(4)適當增大結構初始預應力可提高結構剛度，同時能防止張拉過程存在預應力損失而使結構實際沒有達到1倍初始預應力，但初始預應力也不宜過大，會提高施工難度和對張拉設備的要求，故該結構初始預應力倍數宜控制在1.2倍～1.5倍。

(5)整個單雙撐桿交錯式索穹頂的桿索數量比大于傳統Geiger型和Levy型索穹頂桿索數量比，且索材和圓鋼管同等質量條件下的成本比例約為2.5∶1，因此單雙撐桿交錯式索穹頂造價有很大優勢，具有應用前景。