多元表征理論下“逼近”內容的教材理解

【摘 要】以多元表征理論對教材中“逼近”的內容進行理解，教材在內容呈現時選取學生經驗模型中已有經驗進行表征聯結，分析多元表征系統下教材如何實現“逼近”內容的數學抽象以及數形互譯的雙向表征。

【關鍵詞】多元表征;逼近;教材理解

表征是在認知對象不在的情況下，替代這個認知對象的任何符號或符號集。數學多元表征是數學學習對象的多種表征形式（包括動作表征、形象表征和符號表征），即同一數學學習對象必須具有言語化、視覺化兩種本質不同的表征。大量研究表明，直接學習抽象的數學概念有時比較困難，用數學概念的多元表征學習數學概念是一種有效的策略[1]。

“無限”是數學學科重要的研究對象，人們對“無限”的表征往往停留在對特定意象的感性認識，如古詩詞“大漠孤煙直”中的“孤煙”，“唯見長江天際流”的“天際”等。在數學中，通常用“逼近”來表征“無限”，這樣的表征是變化、抽象、理性的，如極限的定義。“逼近”是重要的思想方法，是未來學習微積分的重要基礎，也是學生認知的難點。因此，正確表征“逼近”對培養學生思維水平，提升理性精神具有重要的意義。

一、經驗模型的表征聯結

布魯納認為通過動作表征、形象表征和符號表征，學習者可以從過去的經驗中提取保留下來的經驗模型，以此來認識當前的刺激或將當前的刺激收納到過去的經驗模型中。教材在處理學生表征有困難的內容時，往往從學生已有經驗模型中調取具有表征聯結的經驗進行呈現，設置相關引導語，引導學生調取相關活動經驗，以降低表征的難度。

比如，在學習無理數指數冪時，筆者發現很多學生出現了認知困難。2019年人教A版高中數學教材設置以下引導語：“在初中的學習中，我們通過有理數認識了一些無理數。類似地，也可以通過有理數指數冪來認識無理數指數冪。”這一引導語表明，初中學習無理數的經驗對高中表征無理數指數冪具有借鑒作用。這里，不妨對比一下2012年人教版數學七年級下冊教材對無理數“[2]”和2019年人教A版高中數學教材對無理數“5[2]”的表征過程。

不難看出，高中數學教材在表征“5[2]是一個確定的數”時完全借鑒初中的認知經驗，在經驗模型中進行同構的表征活動。用表格呈現數值變化，并在數軸上反映“點”的逐步逼近。通過數形結合，不僅有數值運算的量化感知，還有圖形呈現的形象表征，這樣的雙向表征共同支撐了從有理數指數冪向無理數指數冪“逼近”的多元表征系統。

再如，在推導“球的體積”時，人教版高中數學教材也是先給出以下引導語：“在小學，我們學習了圓的面積公式，你還記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？”該引導語旨在喚醒學生大腦中已有的“分割、求和、逼近”的經驗模型，讓其成為新的表征的先行組織者。借助經驗進行操作表征，將一個球分割成許多頂點在球心，底面都在球面上的“小錐體”，這些“小錐體”的底面其實并不是真正的多邊形，當分割的底面越小，這些“小錐體”的底面就越平，它們的高就越趨近于球半徑。這樣“小錐體”可近似地視為棱錐，從而它們的底面積之“和”趨近于球的面積，所有這些“小錐體”的體積之和趨近于球的體積，由此推出球的體積公式。

由此可知，教材在表征“逼近”內容時，設置引導語，搭好腳手架，試圖從學生已有的經驗模型中調取相關經驗來回應當前的刺激，形成新的表征活動，且與之前經驗模型中表征的方式保持一致，這樣就解決了進行新表征時認知力不足的問題，減少了表征的盲目無向，也自然縮短了表征的時間，有利于學生準確理解“逼近”。

二、多元表征系統下的數學抽象

表征的主體是學生的思維，即用圖形、符號、語言、操作等方式讓學生的思維外顯可視。抽象的主體是數學知識，是對知識本質屬性的概括。從數學表征的本質來說，多元外在表征分為“數”（數學對象的言語化表征）和“形”（數學對象的視覺化表征）兩類。從數學教學的角度來看，數學表征分為符號、言語、圖象和體驗四類表征。在學習比較抽象的知識時，可先通過視覺化表征的多元形式進行呈現，并配合具體的言語化表征適當啟發和暗示，再運用抽象的言語化表征闡釋，構成多元表征系統（如圖1），這樣更有利于學習者的數學理解，生成豐富的認知結構。

以蘇教版高中數學新教材“曲線上一點處的切線”為例，教材是這樣實現“以直代曲”的多元表征的（如圖2）。

如圖2可知，在整個表征系統中，先是通過“放大曲線”的操作直觀感受“以直代曲”，在視覺化的表征過程中經歷了“有點像—幾乎—最逼近”的心理活動，這是表征系統中的操作模式與靜態形象模式之間的互化與共存，處于直觀水平階段。進一步地，通過探究活動“作出點P附近‘更加逼近曲線的直線”讓學生進入表征的表象水平階段，引導學生觀察點Q到點P逐漸“逼近”的過程，輔之已有的直觀化表征，從而形成“隨著點Q趨向于點P，割線趨向于切線”的抽象認識，再通過字母與符號的推演進行由形到數的抽象表達，至此完成“以直代曲”的完整表征，實現數學知識的抽象認知。

三、數形互譯的雙向表征

為了實現對“逼近”的多元表征，教材基本采用先以數值計算的方式來建立對“逼近”的數感，然后經歷從數值到圖象、從數值到符號之間的相互轉換，以此幫助學生建立起深度理解“逼近”的表征系統。如人教版教材在處理“用二分法求方程的近似解”時，通過取區間中點的方式，逐步縮小零點所在的范圍，先通過表格的方式（見表2）呈現數值的符號變化狀態，然后將這一過程通過圖象方式直觀地呈現出來（如圖3）。

在數值計算的操作表征時需要計算工具（軟件）的輔助介入，借助計算工具（或軟件）代替人工進行重復操作，主要指向是學習者通過數值的“逼近”形成“量變導致質變”的體驗表征。不論選用哪種工具（軟件），都應該達到對給定問題的輸入數據和所需要的輸出結果之間有明確的算法表達。“二分法”是求方程近似解的一種算法，因為它有序、有規律，能進行判斷，能循環運算[2]。“二分法”如何通過數值計算實現“逼近”的呢？它的操作是通過迭代形成區間套（每次得到的區間都是上一步操作區間的子區間），將區間不斷進行二分以縮小區間的長度，周而復始，使區間中點逐步逼近函數零點的精確值。從操作上看，運用“二分法求方程的近似解”并不難，難點是在學生已有的認知水平下，正確理解循環操作的算法思想以及理性認識兩端夾逼的思想，這就需要借助直觀的“形”來輔助理解，將抽象內容形象化。由于圖象呈現具有直觀、形象、易表征的特點，學生在進行圖象表征時更能抽象出“二分法求近似解”的算法要領，理解也變得豐富生動。同樣地，在表征5[2]是一個確定的數時，人教版教材也是先通過表格呈現數值的變化狀態，然后在數軸上直觀地呈現每個數值對應下的點如何“逼近”的過程;在用二分法求方程的近似解時，蘇教版教材在旁白部分也是通過在數軸上體現區間不斷“縮小”的過程。以上處理方式很容易讓學生感覺到當區間縮小到趨近于貌似一個“點”時，便實現了足夠的“逼近”。

由此可見，在進行多元表征時，只有實現“數”“形”之間的雙向互譯，才能使學生的理解更具體化、清晰化，通過建立“形”與“數”之間的聯結，以及建立“形”的結構、內涵意義與運算關系之間的聯結，增強多元表征轉換與轉譯的發生。在這樣雙向表征過程中，學生對表征的信息進行多次的抽象、概括、精致、拓展、轉換、轉譯等認知操作，最終累積形成對“逼近”的抽象認識。

值得說明的是，在“逼近”的多元表征學習時，不能僅僅依靠操作表征，或者依賴對操作后的數值觀察，也不能單單依靠圖象表征。教師需要引導學生對操作過程進行反思性思考，對操作與數值進行辨析與修正，將操作中的“形”與學習中的“數”進行聯結、類比、互換互譯、抽象概括，使抽象的內容越來越具體、清晰、豐滿，這樣才有利于學生的有意義建構。

參考文獻：

[1]唐劍嵐.概念多元表征的教學設計對概念學習的影響[J].數學教育學報，2010（2）：28-33.

[2]張勁松，郭豫.高中數學課程中的二分法：對“用二分法求方程的近似解”一堂課的思考[J].中學數學教學參考（上半月），2008（4）：3-6.

【作者簡介】丁益民，高級教師，新青年數學教師工作室創始人之一，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，江蘇省教科研先進個人，蘇州市學科帶頭人，主要研究方向為中學數學教材教法。

【基金項目】江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“深度學習視域下高中數學單元教學設計與實踐研究”（C-c/2020/02/50）A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247