聚焦高考不等式與其他考點的交匯

黃偉軍

通過認真研究近幾年新課標高考試題，發現以不等式作為工具，與其他知識進行交匯，特別是函數、導數、數列、三角、向量、復數、簡易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實際問題、新定義問題等考點涉及到最值或范圍的問題，常常需要借助不等式來解決，本文結合一些典型的例題談談不等式在這方面的應用，供考生們在復習備考中參考，提高備戰高考的復習效率，做到心中有數，觸類旁通.

考點1：不等式與函數的交匯

例1. 函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，且為奇函數. 若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是????????? .

答案：[1，3].

解析：因為f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x）. 又因為f（1）= -1，所以f（-1）=-f（1）=1. 故由-1≤f（x-2）≤1，得f（1）≤f（x-2）≤ f（-1）. 又f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，所以-1≤x-2≤1，得到1≤x≤3. 故填[1，3].

評注：解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f（x1）> f（x2）或f（x1）< f（x2）的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式（組），要注意函數定義域對參數的影響.

例2. 設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式<0的解集為???????????? .

答案：（-1，0）∪（0，1）.

解析：因為f（x）為奇函數，所以不等式<0可化為<0，即xf（x）<0，f（x）的大致圖像，如圖所示. 所以xf（x） <0的解集為（-1，0）∪（0，1）.

評注：當不等式問題不能用代數法求解，但其對應函數的圖像可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖像的上、下關系問題，從而利用數形結合求解. 利用函數圖像的直觀性求解不等式問題，關鍵在于準確作出函數圖像，根據函數解析式的特征和圖像的直觀性確定函數的相關性質，特別是函數圖像的對稱性等，然后解決不等式問題.

考點2：不等式與導數問題的交匯

例3. 已知函數f（x）=ex的圖像在點（0， f（0））處的切線為l，動點（a，b）在直線l上，則2a+2-b的最小值為??????????????? .

答案：.

解析：由題意得f ′（x）=ex， f（0）=e0=1，k=f ′（0）=e0=1，所以切線方程為y-1=x，即x-y+1=0，所以a-b+1=0，所以a-b=-1， 所以2a+2-b≥2=2=2=，當且僅當a=-，b=時取等號.

例4. 定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）+f? ′（x）>1， f（0）=4，則不等式exf（x）>ex+3的解集為（ ）

（A）（0，+∞）????? （B）（-∞，0）∪（3，+∞）

（C）（-∞，0）∪（0，+∞）??? （D）（3，+∞）

答案：（A）.

解析：由exf（x）>ex+3變形，得ex[f（x）-1]-3>0，設g（x）=ex[f（x）-1]-3，所以原不等式等價于g（x）>g（0）.

因為g′（x）=ex[f（x）-1]+ex·f? ′（x）=ex[f（x）+f? ′（x）-1]>0，所以 g（x）在定義域R上遞增，由g（x）>g（0），得x>0，故選（A）.

評注：本題主要考查構造函數，利用導數判斷其單調性，用單調性定義解不等式，意在考查學生的數學建模能力. 導數解不等式的常用技巧利用題目條件，構造輔助函數，把求解不等式的問題轉化為先利用導數研究函數的單調性問題，再由單調性解不等式.

考點3：不等式與新定義問題的交匯

例5. 在實數集R中定義一種運算“”，具有性質：①對任意a，b∈R，ab=ba;②對任意a∈R，a0=a;③對任意a，b，c∈R，（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c;函數f（x）=x（x>0）的最小值為（ ）

（A）4? （B）3? （C）2? （D）1

答案：（B）.

解析：根據條件③，對于任意的a，b，c有（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c，

∴取c=0得（ab）0=0（ab）+（a0）+（b0）-2·0，由①②得a0=0a=a對任意實數a都成立，代入上式得：ab=ab+a+b這就是運算的定義，將其代入題目檢驗符合①②③，

∴ f（x）=x=x·+x+=x++1≥2+1=3，當且僅當x=1時“=”成立，即函數f（x）=x（x>0）的最小值為3. 選（B）.

考點4：不等式與數列的交匯

例6. 已知正項等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an，使得=4a1，則+的最小值是??????????? .

答案：.

解析：a7=a6+2a5？圯a1q6=a1q5+2a1q4？圯q2-q-2=0，解得q=-1或q=2，qm+n-2=16，2m+n-2=24，m+n=6，（+）（+）=+++≥+=.

當且僅當n=2m取得等號，則+的最小值是為.

例7. 已知數列{an}的通項公式為an=，則數列{an}中的最大項是??????????? .

答案：.

解析：令f（x）=x+（x>0），運用基本不等式得f（x）≥6，當且僅當x=3時等號成立. 因為an==，所以≤由于n∈N*，不難發現當n=9或n=10時，a9=a10=最大.

評注：數列的最值問題可以利用數列的單調性或求函數最值的思想求解.

考點5：不等式與三角函數的交匯

例8. 已知角？琢，？茁的頂點都為坐標原點，始邊都與x軸的非負半軸重合，且都為第一象限的角，角？琢，？茁的終邊上分別有點A（1，a），B（2，b），且？琢=2？茁，則+b的最小值為??????????? .

答案：.

解析：由已知得tan？琢=a，tan？茁=因為？琢=2？茁，所以tan？琢=tan2？茁，所以a=即a=，所以+b=+b=+b≥2=當且僅當=b即b=取等號.

例9. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB=2a+b.

若△ABC的面積為S=c，求ab的最小值.

解析：∵==. 由已知可得，2sinCcosB=2sinA+sinB，

則有2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0.

∵B為三角形的角，∴sinB≠0，∴cosC=-.

又∵C為三角形的內角，∴C=-.

∵S=absinC=c，∴C=ab.? 又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，

∴=a2+b2+ab≥3ab.

∴ab≥12，故ab的最小值為12.

例10. 已知函數f（x）=cosx（sinx-cosx）+. 將函數y= f（x）的圖像向左平移后得到函數y=g（x），若x∈[0，]時，不等式c

解析：g（x）= f（x+）=sin（2x+-）=sin（2x+）.

當x∈[0，]時，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1].

即-≤g（x）≤1，又c1，解得：-1

∴實數c的取值范圍為：（-1，-）.

評注：本題考查三角函數值的求解、正弦型函數在區間內的值域的求解;涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡三角函數式、三角函數的平移變換等知識;解決本題中恒成立問題的關鍵是找到不等式上下限與三角函數最值之間的關系，從而構造不等式組求得結果.

考點6：不等式與向量的交匯

例11. 已知向量，滿足：==1，且k+=-k（k>0）. 則向量與向量的夾角的最大值為????????? .

答案：.

解析：由k+=-k，得k+2=（-k）2，即k22+2k·+2=3（2-2k·+k22），所以k2+2k·+1=3（1-2k·+k2），即·=（k+）. 因為k>0，所以·=（k+）≥×2=，所以cos<，>=≥，<，>∈[0，]，即向量與的夾角的最大值為.

例12. 已知向量=（1，2），=（-2，1）. k，t為正實數，向量 =+（t2+1），y=-k+，若x⊥y，則k的最小值為????????? .

答案：2.

解析：=+（t2+1）=（-2t2-1，t2+3），=-k+=（-k-，-2k+），由⊥，則·=0，即（-2t2-1）（-k-）+（t2+3）（-2k+）=0，整理得k=. 因為k、t為正實數，所以k=t+≥2. 當且僅當t=1時，k=2，故k的最小值為2.

例13. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°. 動點E和F分別在線段BC和DC上，且=？姿，=，則·的最小值為??????????? .

答案：.

解析：以點A為坐標原點，AAB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系（圖略），則B（2，0），C（，），D（，）. 又=？姿，=，則E（2-？姿，？姿），F（+，），所以·=（2-？姿）（+）+？姿=++？姿≥+=，當且僅當？姿=時取等號，故·的最小值為.

考點7：不等式與立體幾何的交匯

例14. 已知三棱錐S-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，則三棱錐S-ABC的側面積的最大值為（ ）

（A）. 1? （B）. 2? （C）. 4? （D）. 8

答案：（B）

解析：以SA，SB，SC為棱構造長方體，則長方體的體對角線即為球的直徑，因為SA2+SB2+SC2=4R2=4，所以S側=（SA·SB+SB·SC+SC·SA）≤（++）=2，

故選（B）.

考點8：不等式與解析幾何的交匯

例15. 若直線ax+by-2=0（a>0，b>0）過曲線z=1+sin？仔x（0

答案：5.

解析：曲線z=1+sin？仔x（00，b>0，所以+=+b+=a+1+b++-2=++1（+）（+）=2++≥2+2=4，當且僅當a+1=b時，a=，b=取等號. 則+的最小值為4+1=5.

評注：求解與直線方程有關的最值問題，先求出斜率或設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值.本例借助直線方程間接給出等量關系“+=1”，在求最值中基本不等式起了“穿針引線”的作用.

考點9：不等式與恒成立問題的交匯

例16. 已知正實數x，y滿足3x+3y+4=4xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）2+1≥t（x+y）恒成立，則實數t的取值范圍為??????????????? .

答案：（-∞，] .

解析：要使（x+y）2-t（x+y）+1≥0恒成立，則有（x+y）2+1≥t（x+y），即t≤（x+y）+恒成立. 由3x+3y+4=4xy可得x+y+=xy，得x+y+=xy≤（）2=（x+y）2，即（x+y）2-3（x+y）-4≥0解得x+y≥4或x+y≤-1（舍去）設m=x+y，則m≥4，函數y=（x+y）+=m+，在m≥4時，單調遞增，所以y=m+的最小值為4+=，所以t≤，即實數t的取值范圍是（-∞，].

考點10：不等式與實際問題的交匯

例17. 汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間t0、人的反應時間t1、系統反應時間t2、制動時間t3，相應的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示. 當車速為v（米/秒），且v∈（0，33.3]時，通過大數據統計分析得到下表給出的數據（其中系數k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，k∈[1，2]）.

（1）請寫出報警距離d（米）與車速v（米/秒）之間的函數關系式d（v）;并求當k=1，在汽車達到報警距離時，若人和系統均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）;

（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多少千米/小時？

解析：（1）由題意得，d（v）=d0+d1+d2+d3，

∴d（v）=10+0.8v+0.2v+=10+v+，

當k=1時，d（v）=10+v+，

則t（v）=++1≥2+1=+1≈2.4（秒）.

即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時間約為2.4秒;

（2）要求對任意k∈[1，2]，d（v）<50恒成立，

即對任意k∈[1，2]，10+v+<50，即<-恒成立.

由k∈[1，2]，得∈[，]，

∴<-，即v2+20v-800<0，解得-40

∴0

而20×=72（千米/小時）.

即汽車的行駛速度應限制在72千米/小時.

考點11：不等式與復數交匯

例18. 若對一切？茲∈R，復數z=（a+cos？茲）+（2a-sin？茲）i的模不超過2，則實數a的取值范圍為???????????????? .

答案：[-，] .

解析：?? [-，]依題意得z=

==（tan？漬=2），故z的最大值是=a+1，令a+1≤2，解得-≤a≤，因此實數a的取值范圍為[-，] .

責任編輯 徐國堅