數學育人理念引領下的數學解題教學
2022-06-30 23:43:39林琪
中小學課堂教學研究 2022年6期
【摘 要】把數學解題教學簡單地等同于解題，把教學過程簡單地理解為“講題—聽題—練題”的循環，這種“以題為中心”的教學觀使得數學解題教學與數學育人目標背道而馳。為了使數學解題教學回歸育人的本真，研究者認為，首先要甄選主題，凸顯數學育人導向;其次要建立關聯，注入數學育人功能;最后要多元融合，打造數學育人課堂。
【關鍵詞】解題教學;數學育人;導數;切線不等式
全面深化課程改革的根本任務是落實立德樹人、學科育人。德育、智育、體育、美育構成了學科育人的四個重要方面。數學知識對學生的發展具有重要的發展價值，是數學智育的集中體現;數學學科豐富的思想方法、策略、邏輯思維背后所蘊含的啟示與哲理，是數學德育的集中體現;數學獨特的學科美感，對學生發現、欣賞、表現美的能力具有潛移默化的作用[1]。除了體育，在德育、智育、美育方面，數學也能發揮其獨有的育人功能，但在實際教學中，數學的德育、美育功能沒有得到足夠的重視，教師把教學的重心更多放在對知識的獲得與思想方法的形成上。筆者曾以“導數的綜合應用”復習課為主題參加優質課評比。很多教師反映相對于概念課，復習課很難上出“新花樣”，因為復習課往往跟解題教學掛鉤，解題教學通常以典型例題為載體，教師通過示范講解，向學生傳授技巧與方法;學生則通過聽題、做題，進而掌握解題的方法。因此，在很多教師的觀念中，解題教學除了解題，似乎很難把它與德育、美育聯系起來。為此，筆者結合自己的教學實踐進行研究，以期給大家一些啟發。
一、甄選主題，凸顯數學育人導向
復習課選題一般有三個維度：一是從知識系統的維度來選題，把握復習方向，保證復習課不偏題;二是從重難點、易錯點的維度來選題，使重點得到強化，難點得到突破，易錯點夠得到糾正;三是從知識育人功能的維度來選題，整體提升學生的核心素養水平。[2]具體如圖1所示。
對于“導數的綜合應用”這節內容而言，一方面，學生剛學完“導數”內容，雖然已經掌握了導數的基本運算法則，會用導數求函數的單調性與極值（最值），但對于導數應用的基本原理的認知還比較薄弱。比如，很多學生一遇到問題就求導，卻不知為何求導、求導了有什么用，尤其面對多次求導情景，學生基本是“一頭霧水”。因此，本節課的選題應該立足導數的基本原理，注重基礎，適當拓展，切不可好高騖遠，一味追求難度。另一方面，導數的起源與發展具有豐富的歷史文化背景，導數思想源遠流長，導數應用更是與生活息息相關。因此，導數具有豐富的育人功能，尤其是德育與美育功能。但在導數的學習中，很多教師除了在起始課中進行數學文化的簡單滲透，平時很少關心導數的育人功能，把大量的時間花在學生的知識學習與解題能力的培養上。因此，學生對于導數育人功能的認識是缺失的。
基于上述思考，筆者選擇了人教A版高中數學教材選修2-2第32頁B組習題第1題第（4）問的“切線不等式ex-1≥x≥ln（x+1）”（以下簡稱切線不等式）為本次復習課的例題，理由如下。一是選題立足教材，不僅讓本節課“師出有名”，而且由于這個切線不等式是以章節復習題的形式呈現，在實際教學中并沒有引起教師的足夠關注。因此，這是一個比較新的知識，既可以避免復習課“炒冷飯”的現象，又可以化解解題教學單純解題的尷尬。二是切線不等式在導數運算中具有重要的應用價值，蘊含“化曲為直”微積分的基本思想，有助于學生深度體驗導數應用的基本原理。三是切線不等式蘊含豐富的代數和幾何背景，為數學育人的實施提供了必要的素材支撐。
二、建立關聯，注入數學育人功能
唯物辯證法認為世界是一個有機的整體，世界上的一切事物都處于相互影響、相互作用、相互制約之中，即一切事物都相互關聯。數學也是如此，不僅數學知識之間相互關聯，數學與生活、數學與其他學科之間也存在關聯。有些關聯隱藏得比較深，并不容易被人發現，需要將各種事物、各種形式以及物質與精神上的各種要素融合在一起，并加以綜合分析，才能夠發現它們之間的關聯性。數學育人就是其中的一個關聯方向，即把數學現象、數學原理與德育、智育、美育中的核心要素關聯，進而為數學注入育人的功能。對于切線不等式，可以建立以下兩種“關聯”。
（一）形式關聯，感受數學的美
切線不等式本身就是對稱美的一種體現，不等式左邊是以e為底的指數函數y=ex-1，右邊是以e為底的對數函數y=ln（x+1），這兩個函數互為反函數，可相互轉化;從圖象上看，不等式左右兩邊表示的是曲線，中間表示直線y=x，而這條直線不僅是兩條曲線的公切線，而且也是兩條曲線的對稱軸。
如果要追溯x≥ln（x+1）的來龍去脈，可以做以下變形。
x≥ln（x+1）[?]1≥[1x]ln（x+1）[?]1≥ln（x+1）[1x][?]e≥（x+1）[1x]，令n=[1x]，則有（1+[1n]）n≤e，這就是有名的復利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e。
由此可見，復利模型是切線不等式的一個“源頭”，而[limn→+∞]（1+[1n]）n=e也充分體現數學的對稱美。
從高等數學的角度分析，切線不等式與麥克勞林級數直接相關：ex=[n=1∞xnn！]≥x+1、ln（x+1）=[n=1∞（-1）n+1n]xn≤x，麥克勞林級數體現了數學的和諧美。
（二）情境關聯，感悟人生哲理
數學的育人功能需要借助情境才能得以呈現與落實。因此，盡管復利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可以作為引出切線不等式的重要線索，但不能把復利模型直接教授給學生，而是首先要創設關聯情境。
如果就以“復利”作為情境，比如，某人在銀行存了1000元，利息按復利計算（見表1），問：哪種存款方式最合算？一年后，本息和最大是多少？
“復利”體現的是一種理財的理念，還不夠貼近學生的學習生活，稍加改造，可以創設更接地氣的情境。B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7
情境 假設小明初始的學習水平為1，年進步幅度為100%，那么1年后小明的學習水平是多少？
（1）若小明半年進步一次，計算一年后的學習水平。
（2）若小明一季度進步一次，計算一年后的學習水平。
（3）若小明每個月進步一次、每天進步一次、每小時進步一次、每秒鐘進步一次……，計算一年后的學習水平。
（4）通過上述計算，你有什么發現？
上面的情境不僅與學生的學習息息相關，而且蘊含深刻的人生哲理，如此一來，數學的德育功能便得到了凸顯。
三、多元融合，打造數學育人課堂
數學解題教學要充分發揮全方位的育人功能，不僅在選題上關注具有育人價值的元素，還要把各種教學手段與方法有機地融合在教學過程中，從而打造出具有“三度”特征的數學育人課堂，即知識適度、思想高度、文化厚度[3]?；谏鲜隼砟?，切線不等式的教學過程設計如下。
（一）把生活經驗與數學原理融合在一起
切線不等式對學生來說是全新的知識，因此，教學的第一步就是讓學生經歷主動發現的過程，而要發現新知必須要立足學生的已有經驗，而不是靠教師的直接“灌輸”，這就需要找到切線不等式的“源頭”，即復利公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e與學生經驗的融合點。例如風靡網絡的勵志公式“（1+0.01）365≈37.78與（1-0.01）365≈0.0255”。這組公式雖然勵志，但從數學的角度分析，該公式并不是很合理，因為人不可能一直進步下去，到一定時間，就會遇到瓶頸期，所以在這段時間內，人的進步總量應該是固定的。顯然，用[limn→+∞]（1+[1n]）n=e這個模型來刻畫更加合理。因此，公式的發現過程可以進行以下教學設計。
問題1-1 馬上要進入高三了，希望大家能夠在高三階段能夠取得更大的進步。最近，網上出現了一組公式：（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255，看到這組公式，你有什么想法？
問題1-2 從數學的角度分析，你認為勵志公式合理嗎？如果不合理，應該如何優化？
問題1-3 正常情況下，在固定的時間段，進步的總量應該是一個定值。假設小明初始的學習水平為1，……（呈現情境）
問題1-4 通過上述例子，你有什么發現？
以上問題的設計意在讓學生在熟悉的情境中，通過對勵志公式的優化，經歷公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e的自然發現過程，感悟數學與生活的聯系。
（二）把理性思考與感性認知融合在一起
數學學習是一種理性的思考過程，為了發現數學的本質及規律，往往需要經歷抽象和概括、分析和綜合、質疑和批判等理性思考的過程;同時，數學學習又是一種感性的認知活動，為了建立數學與客觀世界的聯系，感受數學的人文精神，往往需要從感性的視角激發學生內心情感。因此，只有把理性思考與感性認知有機融合在教學中才能更好地實現數學的育人目標。
顯然，（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255、[limn→+∞]（1+[1n]）n=e這三個數學模型是“學習進步”現象的理性思考，而感性認知主要體現在學生把模型代入到現實后的感悟。
比如公式（1+0.01）365≈37.78可感悟為“勤學如初起之苗，不見其增，日有所長”;（1-0.01）365≈0.0255可感悟為“輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧”;[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可感悟為“若要取得更大的進步，必須時刻保持進步”。由此可見，數學語言的魅力在于用最簡潔的符號表達最深刻的道理。
筆者特意把本節課的主題命名為“放縮‘雙壁——初探一類切線不等式”，學生看到這個標題很容易與語文中的“樂府雙壁”聯系起來，不僅體現了人文的味道，而且凸顯了切線不等式的功能。
（三）把解題技巧與深化概念融合在一起
當然，解題教學不能沒有解題的環節，但不能僅僅止于解題，因為概念才是數學的核心，解題只是概念的衍生與應用，若沒有概念作為基礎，解題與解題教學也就無從談起。但解題教學中的概念教學不是“炒冷飯”，而是要對概念進行深入地挖掘與拓展，讓學生認清概念的本質，收獲新的認知。
在本節課中，有兩個概念需要得到深化。一是自然常數e，在此之前，自然常數e的由來一直困擾著學生，現在可以借助“學習進步”模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e進行澄清，e普遍存在于生活現象中，這就是為什么e被稱作“自然”常數的原因。二是切線不等式在[limn→+∞]（1+[1n]）n=e基礎上，容易猜想不等式（1+[1n]）n≤e成立，引導學生對不等式進行等價變形，即因為nln（1+[1n]）<1[?]ln（1+[1n]）<[1n][?]ln（1+x）第一階段：用切線不等式妙解三道高考題。
例1 利用切線不等式解下面三道高考題。
（1）（2010年全國Ⅱ卷理科數學）設函數f（x）=1-e-x，證明：當x>-1時，f（x）≥[xx+1]。
（2）（2013年遼寧卷理科數學）已知函數f （x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+[x32]+1+2xcosx。當x[∈[0，1]]時，求證：1-x ≤ f（x）≤[x1+x]。
（3）（2013年全國新課標Ⅱ卷理科數學）已知函數f（x）=ex-ln（x+m），當m≤2時，證明f（x）>0。
例1的這三道題用常規方法也可以求解，但如果用切線不等式進行“放縮”求解更容易，讓學生體會切線不等式在簡化運算中的重要作用。
第二階段：用切線不等式巧解綜合題。
例2 求證：[ex+（2-e）x-1x]≥lnx+1。
例2如果直接構造函數f（x）=[ex+（2-e）x-1x]-lnx-1求最值會比較麻煩，若運用切線不等式進行放縮，運算就會大大簡化。因為lnx+1≤x，所以只需證明[ex+（2-e）x-1x]≥x即可，即證明ex+（2-e）x-1≥x2。接著構造函數，令g（x）=ex+（2-e）x-1-x2，g′（x）=ex-2x+2-e，則x=1是g（x）的其中一個極值點，是否還存在其他的極值點，需要繼續求導。因為g″（x）=ex-2=0[?]x=ln2，則當x∈（0，ln2）時，g″（x）<0，g′（x）單調遞減;當x∈（ln2，[+∞]）時，g″（x）>0，g′（x）單調遞增。又因為g′（0）=3-e>0，g′（ln2）
上述解答過程既體現了切線不等式在簡化運算上的功能，又強化了用導數證明不等式的一般思路。當然，切線不等式的應用遠不止于此，但由于學生是初次認識切線不等式，因此問題難度不能過高，本節課點到為止即可，以后還可以做進一步提升。
數學解題教學不僅僅是以智育為主，更是應該深入挖掘數學中美育、德育的要素，并且與解題有機地融合在一起，通過創新的教學設計，從而讓解題教學回歸數學育人的本真。
參考文獻：
[1]吳亞萍.拓展數學學科的育人價值[J].教育發展研究，2013（3）：48-52.
[2]蔣亮，呂增鋒.例淡數學復習課選題“三維度”：以“平面向量”復習課為例[J].中學數學教學參考，2013（4）：15-17.
[3]文衛星.數學教學中的“微型育人”[J].中學數學教學參考，2015（10）：4-6.
【作者簡介】林琪，二級教師，主要研究方向為數學教學和數學文化。
【基金項目】2021年寧波市教育科學規劃重點課題“大概念視角下高中數學單元教學的研究”（2021YZD079）B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7
