壓裂井產量遞減典型曲線圖版的建立及應用

蘇 暢 趙 剛 鹿克峰 時 瓊

(1. 中海石油(中國)有限公司上海分公司 上海 200335； 2. 里賈納大學 里賈納 S4S 0A2加拿大)

中國致密氣在鄂爾多斯盆地、四川盆地、塔里木盆地儲量巨大，年產氣量已超過500億方，將是未來接替常規氣的中堅力量。水力壓裂是致密油氣開采增產增儲的最有效措施，對壓裂井生產動態的可靠分析將為成功開采致密油氣奠定堅實基礎,例如試井解釋在壓裂井動態分析中發揮極其重要作用[1-6]。由于壓裂井通常面臨動態監測資料少、壓力恢復測試過程壓力恢復慢導致測試耗時長耗費高等難題，近20年隨著致密氣在世界大規模開采與現場對致密氣開采認識加深，無需關井無需測壓依靠長期生產數據的產量遞減分析也成為壓裂井動態分析重要手段。

遞減分析技術具有悠久歷史且實用性強，Arps于20世紀40年代提出著名指數遞減、雙曲遞減、調和遞減3種油氣井生產進入邊界控制(或稱擬穩態)流動后產量隨時間遞減形式[7]，由于其形式簡單且無需已知油氣藏各參數，至今仍然是現場最常用的遞減技術。Fetkovich在Arps基礎上整合生產井非穩態階段遞減提出新的遞減典型曲線，實現油氣井生產全周期遞減分析[8]。Fetkovich遞減理論更為重要的意義在于將典型曲線圖版分析從試井解釋擴展至產量遞減分析,并且對遞減率賦予油藏意義，將遞減率與生產井產能、控制儲量、儲層Kh等參數聯系起來，除了預測儲量還能評價儲層參數。然而，無論是Arps還是Fetkovich遞減，其應用基礎都建立在恒定井底流壓條件下，一定程度上限制了應用。為此，Blasingame提出了物質平衡時間概念[9]，在進入邊界控制流后用物質平衡時間替換真實時間，使得恒定產量生產下的流動方程在變產量變流壓生產條件下依然適用，基于生產井日產量與井底流壓動態數據則可計算井控儲量與采氣指數；Blasingame進一步基于物質平衡時間建立了新的產量遞減典型曲線圖版[10]。隨著物質平衡時間的提出，Agarwal等提出類似遞減典型曲線[11]。Agarwal、孫賀東、陳濟宇等[11-13]對多種經典產量遞減分析技術進行了系統總結與討論。然而，Fetkovich[8]、Blasingame[10]、Agarwal[11]經典產量遞減典型曲線圖版都是建立在直井生產基礎上，即在油氣藏流動進入邊界控制流前它們僅適用于嚴格的徑向流，而對于生產中伴隨復雜流態的壓裂井,特別是具有復雜裂縫系統的分段壓裂水平井，且致密儲層非穩態流動階段長，應用經典產量遞減圖版會對分析結果帶來誤差且無法評價裂縫延伸長度。

本次研究應用點源函數(或稱格林函數，在溫度擴散與油藏壓力擴散研究領域應用廣泛[1,14-21])求取壓裂井全生產周期產量隨時間遞減的解析解，基于計算的壓裂井產量解、儲層巖石與流體參數、油氣藏泄流面積、壓裂級數、裂縫長度，建立特地針對壓裂井的新的產量遞減典型曲線圖版。

1 壓裂井非穩態產量解析模型建立

以多級分段壓裂水平油井為研究對象(圖1，其中壓裂直井即是裂縫條數為1的一個特例)，論述壓裂井非穩態流動解析模擬方法，為簡潔闡述解析方法的建立與考慮實際應用的簡便性，對模型提出以下簡化假定：

圖1 多分段壓裂水平井模型示意圖及模型坐標系統Fig.1 Hydraulically multistage fractured horizontal well schematic and coordinate system

1) 油藏邊界為規整矩形，儲層物性均質且僅考慮單相流體流動；

2) 裂縫縱向貫穿儲層厚度，形成油藏內二維平面流動；

3) 裂縫導流能力無限大，忽略裂縫寬度影響，沿裂縫長度無壓降；

4) 沿水平井筒每一分段水力壓裂產生僅一條裂縫且與水平井筒方向正交；

5) 忽略儲層流體直接流入水平井筒，即井的流量全部由裂縫生產貢獻，通過水平井筒導入井底；

6) 忽略沿水平井筒導流造成壓降，水平井筒處處壓力相等；

7) 忽略儲層啟動壓力梯度、非線性流動等復雜滲流機理。

1.1 壓裂井生產造成油藏內任一點壓降方程式

基于點源函數結合紐曼乘積(Newman Product)原理[22]，多分段壓裂水平井在封閉油藏內任一點壓降等于

Δp(x,y,t)=pi-p(x,y,t)=

psy(yk,y,t-τ)dx′

(1)

psx(x′,x,t-τ)=

(2)

其中

(3)

式(2)、(3)中：ηx為x方向擴散系數，m2/d；xe為油藏長度，m；Kx為x方向滲透率，mD；μ為流體黏度，mPa·s。

圖2 壓裂井數學模型中對裂縫長度的離散Fig.2 Discretization of fracture in mathematic model

xf1=x0

xj+1<…

假設流體通量沿每一裂縫離散段為常數(只隨時間變化)，第k條裂縫的第j離散段流體通量則近似等于

(xj-1

(4)

式(4)中：Lf為裂縫半長，m；q為流量，m3/d。

結合式(4)，式(1)可進一步表述為

(5)

對裂縫第j離散段點源函數x方向積分展開可得

(6)

將式(6)、式(2)代入式(5)，多分段壓裂水平井非穩態壓降最終表述為

(7)

式(7)可簡潔表述為

Ipsx(xj-1,xj,x,t-τ)·psy(yk,y,t-τ)dτ

(8)

1.2 拉普拉斯變換

本次研究油藏非穩態壓力與流量首先將在拉普拉斯域中求解，定義拉普拉斯算子

(9)

式(9)中：u為拉普拉斯變量。

基于拉普拉斯變化卷積定理，對式(8)等式左右兩邊做關于時間的拉普拉斯變化

L[Ipsx(xj-1,xj,x,t)·psy(yk,y,t)]

(10)

針對式(10)等式右邊x，y方向源函數的乘積沒有拉普拉斯解析變換式的難題，采用Zhao和Thompson建立的計算速度快且精度高的數值拉普拉斯變換方法[17]，則復雜的拉普拉斯變換L[Ipsx(xj-1,xj,x,t)·psy(yk,y,t)]可通過數值積分計算。

1.3 系統耦合及壓裂井產量解獲取

圖1所示多分段壓裂水平井模型將通過假定的裂縫具有無限導流條件進行系統耦合，即沿裂縫壓力處處相等。在拉普拉斯域，首先基于式(10)評價裂縫每一離散段中點壓降，并將每條裂縫相鄰離散段中點壓力創建等式，則可建立Nstage·(m-1)個線性方程組；再有基于假定6(沿水平井筒無壓降)將裂縫與水平井筒相交的裂縫離散段中點壓力創建等式，則可建立(Nstage-1)個線性方程組；最后，根據相應的內邊界條件(油井生產條件)，建立最后一個(第Nstage·m個)線性方程。油井以恒定井底流壓生產，則有

L[Ipsx(xj-1,xj,xw+rw,t)·psy(yk,yk,t)]

(11)

式(11)中：pwf為井底流壓，MPa。

至此，總共建立(Nstage·m)個線性方程組，同時方程組具有同等數量的未知數，求解線性方程組，則可獲取拉普拉斯域中所有裂縫離散段對應的流量，所有離散段流量之和等于壓裂井產量。

將拉普拉斯域中求取的裂縫離散段流量代入式(10)，則可計算拉普拉斯域中油藏內任一點的壓降，再通過Stehfest拉普拉斯數值逆變換方法[23]，將前述獲取的油藏壓降與裂縫流量結果轉換到真實時間域。

2 新的壓裂井產量遞減典型曲線圖版建立

設定壓裂井與油藏模型基礎參數(表1)，應用前述點源函數方法解析模擬壓裂井全周期產量動態，以不同油藏長度(xe)與裂縫長度比值為例繪制典型曲線圖版。

表1 壓裂井與油藏模型基礎參數Table 1 Basic parameters of fractured well and reservoir model

首先，傳統壓裂井無因次產量qwD與無因次時間tD定義如下：

(12)

(13)

式(12)中：qw為壓裂井產量，m3/d;K為儲層滲透率，mD。

按照表1設定參數作為模型的輸入，產生的遞減典型曲線qwDvs.tD結果如圖3所示，初期所有曲線聚攏在一起以1/2斜率遞減，反應初期裂縫引起地層線性流，線性流之后曲線各自分開，進入過渡流與邊界控制流。

圖3 多分段壓裂水平井恒定井底流壓條件下產量遞減結果Fig.3 Production rate decline behaviors of multistage fractured horizontal well qwD vs.tD under constant bottom hole flowing pressure

為驗證解析模擬結果的正確性，與商業軟件Kappa模擬結果進行了對比(圖3)，兩者一致性好；但Kappa計算的早期與晚期結果不穩定、精度欠缺，而本文計算的結果穩定、曲線光滑、精度高，為建立新的典型曲線圖版奠定堅實基礎。圖3所示曲線形態特征不典型，在實例分析應用中不易實現與真實壓裂井產量的準確擬合。

為創造更具特征、更方便現場應用、兼顧壓裂井生產全周期的遞減典型曲線圖版，創新性定義同時整合儲層巖石與流體參數、泄流面積、裂縫長度、裂縫條數的修正無因次產量qDM、修正無因次時間tDM、對比裂縫長度與油藏面積的“Scaler”。將圖3中曲線以qDMvs.tDM形式重新繪制，實現新產量遞減典型曲線圖版的建立(圖4)。

修正無因次產量與修正無因次時間定義為

(14)

(15)

無因次物質平衡時間tmbD[9]定義為

(16)

“Scaler”定義為

(17)

如圖4a所示，新建立的典型曲線圖版整體以非常獨特的、有規律的形式呈現，所有曲線在早期與晚期聚攏在一起形成兩個“曲線簇”，在中間過渡區域分開，早期以1/2斜率遞減反映裂縫引起地層線性流、晚期以單位斜率遞減反應邊界控制流、早晚期流態中間為過渡階段系統性響應油藏與壓裂井相對幾何關系(各流態如圖5所示)。同時，圖4b呈現包括圖4a所示產量形式典型曲線外還呈現產量積分與產量導數形式典型曲線。應用類似的方法與步驟，可以自行建立各種不同油藏長、寬、裂縫長度、裂縫數量、裂縫間距等條件下的qDMvs.tDM遞減典型曲線圖版。

圖4 新的產量遞減典型曲線圖版Fig.4 Newly established production decline type curves

圖5 多分段壓裂水平井隨生產流態變化示意圖Fig.5 Flow regimes illustration of multistage fractured horizontal well

3 實例應用

選取鄂爾多斯盆地某致密氣田在生產一口多分段壓裂水平井、東海盆地在生產一口壓裂直井為研究對象，詳細闡述新建立圖版在實例分析中的具體應用步驟及結果。為清晰呈現新遞減圖版與實際生產數據的擬合，本次實例應用的圖版典型曲線只包括產量形式。另外，針對氣體PVT性質隨開采過程變化，應用規整化擬壓力替代壓力，氣藏規整化擬壓力定義為

(18)

式(18)中：下標“i”表示氣藏初始狀態；z為氣體z因子，無量綱；pb為一個大氣壓，MPa。

3.1 實例1——多分段壓裂水平井X

X氣井至今生產750天(圖6)，沿水平井筒實施5段水力壓裂，相鄰分段中點距離分別為100、200、200、100 m，表2匯總了氣藏基礎參數。

圖6 X井天然氣產量與井底流壓動態Fig.6 Production rate and bottom hole flowing pressure of Well X

表2 X井與氣藏基礎參數Table 2 Basic parameters of Well X and the gas reservoir

3.1.1應用新建立圖版分析X井

應用新建立的圖版分析X井主要包括4個步驟：

1) 基于地質描述，簡化氣藏邊界形態為矩形并提煉長寬比(此例xe/ye=1/3)，結合簡化的氣藏模型與水平井壓裂分段相對位置應用前述方法，建立不同氣藏長度與裂縫長度比值的高級產量遞減典型曲線圖版；

圖7 新的產量遞減圖版與X井生產動態擬合Fig.7 New type curves matching with production dynamics of Well X

4) 計算關鍵參數，基于qDM定義(式14)與qwD定義(式12)，計算氣藏Kh

基于tDM定義(式15)與tD定義(式13)，計算裂縫半長

其中，氣藏綜合壓縮系數等于

cti=sgcg+swccwc+c=0.805×0.089+

0.195×0.000 88+0.000 43=0.072 2 MPa-1

則裂縫半長等于

基于“Scaler”定義(式17)，計算氣井泄氣面積為

21.42×5=269 280.4 m2

氣井控制儲量則等于

3.1.2商業軟件提供圖版分析X井

應用Kappa提供的經典Blasingame遞減圖版對X井進行實例分析，生產數據與圖版整體擬合較差，Blasingame圖版尤其不能很好地反映多分段壓裂水平井復雜的過渡階段流動(圖8a)；以后期擬合為首要目標，確保儲量評價準確，最終分析結果顯示控制儲量3 890萬方、Kh=45 mD·m，則K=4.5 mD，裂縫長度不能評價。另外，滲透率分析結果明顯有誤，X井所在區域取心空氣滲透率約1 mD，氣相有效滲透率不可能高達4.5 mD。同時應用經典Fetkovich圖版對X井進行實例分析，整體擬合效果較Blasingame圖版更差(圖8b)，最終分析結果顯示控制儲量5 000萬方、Kh=16.6 mD·m，則K=1.66 mD。

圖8 傳統商業軟件對X井的分析情況Fig.8 Production analysis of Well X with conventional decline type curves provided by commercial software

3.2 實例2——壓裂直井Z

Z井至今生產1190天，壓裂返排后生產200天時進行過一次關井壓力恢復測試。Z井生產動態如圖9所示，表3匯總了Z井主要參數。圖10為壓力恢復試井壓差與壓力導數雙對數診斷圖，可以看出壓力導數清晰呈現代表裂縫線性流動的1/2斜率特征線，通過試井分析獲取地層系數Kh=0.63 mD·m、裂縫半長Lf=33.6 m。

圖9 Z井天然氣產量與井底流壓動態Fig.9 Production rate and bottom hole flowing pressure of Well Z

表3 Z井與氣藏基本參數Table 3 Basic parameters of Well Z and the gas reservoir

圖10 Z井壓力恢復試井雙對數診斷圖分析Fig.10 Pressure buildup Log-Log diagnostic plot of Well Z

結合地質描述，針對Z井，解析模型中ye/xe=3/4，裂縫條數Nstage=1，計算產量解析解，并建立典型曲線圖版qDMvs.tDM。如圖11所示，Z井動態與壓裂直井典型曲線xe/(2Lf)=8實現最佳擬合，對應Scaler=192。具體分析步驟與上述實例類似，氣藏Kh計算有

圖11 新的產量遞減圖版與Z井生產動態擬合Fig.11 New type curves matching with production dynamics of Well Z

裂縫半長計算有

氣井泄氣面積計算有

192×26.62×1=135 851.5 m2

氣井控制儲量則等于

表4匯總了不同方法獲取的地層Kh與Z井裂縫半長，以試井解釋結果為基準，新建立遞減圖版分析針對該2個參數產生誤差分別為31.9%與20.8%，整體一致性較好，可作為對結果相互驗證相互參考的依據。

表4 不同方法評價地層系數與裂縫半長結果對比Table 4 Comparison of reservoir flowing capacity and fracture half length results by different methods

4 結論

1) 新建立的產量遞減典型曲線特地針對壓裂井提出，考慮壓裂井生產引起的復雜流態，通過與實際壓裂井的生產數據擬合實現儲層Kh、裂縫長度、氣(油)井泄氣(油)面積、井控儲量等關鍵信息的獲取，為致密儲層壓后動態分析提供重要價值。

2) 新建立的產量遞減典型曲線以獨特、富含規律的形式呈現，所有曲線在早期線性流與后期邊界控制流均重合在一起，中間過渡流部分反應壓裂井與儲層滲流邊界相對幾何關系，典型曲線對壓裂井流態變化的診斷功能促進與實際壓裂井生產數據的擬合，增進對壓裂井與儲層的系統性認識。