二維十次準晶矩形薄板的屈曲分析

趙延軍，周彥斌，2，劉官廳，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

以色列科學家Shechtman［1］在Al‐Mn 合金中首次觀察到具有準周期平移對稱性和非晶體旋轉對稱性的準晶，改變了化學、物理學和材料科學領域的科學家構思固體物質的方式。這一新發現將材料科學推向新時代。自從發現準晶以來，已經證實超過100 種不同的金屬合金系統可以提供準晶相。這些固體中原子的排列表現出長程有序，但缺乏表征常規晶體的三維周期性和平移對稱性。由于獨特的結構，準晶具有許多特殊的物理性能，如低摩擦系數、低附著力、高耐磨性和導熱性。因此，準晶的研究引起了凝聚態物理、材料科學、力學等研究人員的廣泛關注。

對于準晶的彈性問題，已經獲得了大量的分析結果［2-5］。十次準晶經常被發現，因為觀察到的準晶幾乎一半屬于這一類。這些二維準晶的原子排列在平面上是準周期的，在第三方向上是周期的。Xu 等［6］利用推廣的Stroh 公式，得到了具有壓電效應的二維十次準晶在物理載荷作用下的無限平面格林函數。Li 等［7］導出了考慮熱效應的功能梯度多層十次準晶板的精確解。Yang 等［8］給出了二維準晶簡支納米板在上表面溫度變化下的三維熱彈性解析解。Li 等［9］研究了功能梯度多層準晶納米板的非局域效應，導出了功能梯度二維準晶體納米板在表面上受局部載荷作用時的精確解。Hosseini 等［10］采用MLPG 方法，對二維十次準晶在瞬態熱沖擊載荷和機械沖擊載荷作用下的各向異性瞬態熱彈性進行了分析，采用波型模型和彈性流體力學模型分別推導了聲子場和相位子場控制方程。

Bellman 和Casti［11］提出的微分求積法是一種求解初值和邊值問題的有效數值方法。這種方法已經得到較好發展，并成功應用于解決結構力學中的問題。鑒于在十次準晶薄板中非線性分布邊緣載荷的情況下，很少有以前的解決方案可用的事實，本文采用微分求積法求解十次準晶矩形薄板在兩側余弦分布壓縮載荷作用下的屈曲問題。通過微分求積法得到了面內應力分布，并以圖形給出了聲子場和相位子場的應力分布?；诒“迩男隙壤碚?，推導了準晶薄板的撓度方程，并用微分求積法求解屈曲系數。

1 問題陳述

1.1 基本方程

考慮承受單軸非均勻分布邊緣載荷的二維十次準晶薄矩形板，將有兩個準周期方向設為x軸和y軸，將周期軸表示為z軸。矩形板位于xoy平面，如圖1 所示。

圖1 非線性分布邊緣壓縮下的矩形板Fig.1 Rectangular plates under nonlinearly distributed edge compressions

因此，相應的本構方程為［12］

其中

其中：逗號代表偏導數；σij和Hij代表聲子場和相位子場的應力；εij和ωij分別代表聲子場和相位子場的應變；ux，uy和wx，wy分別代表聲子場和相位子場的位移分量；K1和K2是相位子場的彈性常數；R1和R2是聲子場‐相位子場耦合的彈性常數。L=C12，M=(C11-C12)/2，其中C11和C12表示聲子場的彈性常數。

在不考慮體力情況下的平衡方程為

控制方程可以用聲子場和相位子場位移ux，uy，wx，wy表示為

其中?2=?2x+?2y是二維拉普拉斯算子。

根據Kirchhoff 假設，可以得到彎矩定義為

撓度υ的控制微分方程為

其中：D=(L+2M)h3/12，μ=L/(2M+L)，h是板的厚度。

1.2 邊界條件

與傳統晶體不同，準晶中有兩種基本場，一種是描述原子位置變化或波傳播的普通聲子場，另一種是描述局部原子組態重排或原子躍遷的相位子場。考慮邊長為a和b的二維十次準晶矩形薄板承受單軸余弦分布邊緣載荷，如圖1 所示。

聲子場的邊界條件為

考慮添加相位子場邊界條件為

其中σ0和H0為給定常數。相位子場是準晶特有的，其幾何意義是無公度penrose 拼砌所表現出的局部重排。準晶的聲子場和相位子場是耦合的，因此在下面的分析中，假設相位子場的機械載荷H0=0。

對于屈曲分析，考慮的簡支（S）邊界條件為

考慮的固支（C）邊界條件為

2 微分求積法求解過程

非線性分布壓縮載荷屈曲分析更為復雜，因其需要首先解決平面彈性問題以獲得平面內應力的分布，然后解決屈曲問題。為了求解控制方程（4），應用了微分求積法。設x和y方向的網格節點數為Nx和Ny。圖2 顯示了7×7 的網格節點，每個點有四個節點自由度，即(ux)ij，(uy)ij，(wx)ij，(wy)ij(i，j=1，2，…，N)。

圖2 網格節點為7×7 的矩形板圖Fig.2 Sketch of a rectangular plate with 7×7 grid spacing

根據文獻［13］和插值原理的基礎，對于在區間[a，b]連續可微的函數f(x，y)，網格點(xi，yj)處的偏導數可以寫成

其中fmj=f(xm，yj)，=?t pm(xi)/?xt；fim=f(xi，ym)，=?s pm(yj)/?xs；和分別是函數f(x，y)的t階導數和s階導數的加權系數。

在微分求積分析時，為了達到最好的收斂速度，采用如下非均勻網格間距

而插值函數選擇拉格朗日插值函數，即

拉格朗日插值函數是微分求積法中最原始的插值函數，微分求積法最初提出時，采用了拉格朗日插值，可以得到一階權重系數的顯示表示，可以減少誤差。

內部網格點的控制微分方程（4）可以表示為

其中：Nx=Ny=N；i，l=2，3，…，N-1；是關于x或y的二階導數的加權系數，并且是關于x或y的一階導數的加權系數。

將邊界條件用微分求積法進行離散聯合內部節點方程，可以得到4(N×N)方程，將其寫成矩陣形式得到以下等式

其中Kmn(m，n=1，2，3，4)是系數矩陣，F1，F2，F3，F4和ux，uy，wx，wy是向量。

通過求解方程組（18），得到所有網格點的位移，從而得到任意網格點的應力分量。

在矩形薄板穩定性分析中，為了解決施加邊界條件的問題，在邊界點添加了自由度。內點有一個自由度，即υij(i=2，3，…，Nx-1；j=2，3，…，Ny-1)；四個角點有三個自由度，即υij，υij，x，υij，y(i=1，Nx；j=1，Ny)；其余邊界點分別有兩個自由度，即平行于x軸邊上的點為υij，υij，y(i=1，2，…，Nx；j=1，Ny)，平行于y軸邊上的點為υij，υij，x(i=1，Nx；j=1，2，…，Ny)。

方程（6）在內部網格點表示為

其中：i=2，3，…，Nx-1；l=2，3，…，Ny-1；是關于x或y的四階導數的加權系數。

對于簡支或固支矩形板的屈曲，υ沿所有邊界始終為零。由于添加了邊界點的υ，x或υ，y作為自由度，公式（10）的邊界條件可以很容易地應用?？紤]簡單支持邊界公式（9）可以表示為

因此，對于準晶矩形薄板的屈曲分析，微分求積方程可以寫成矩陣形式

其中

[K]和[P]是系數矩陣。

施加邊界條件后，用于屈曲分析的準晶矩形薄板的微分積分方程變為

其中下標b和i表示邊界和內部點的數量。為了解決方程（23）的廣義特征值問題，最小特征值是屈曲載荷。k是屈曲系數，定義為

消除{υb}，等式（23）變為

求解方程（25）的廣義特征值問題，可以得到屈曲系數k。

3 數值結果和討論

考慮余弦分布壓縮下具有三個縱橫比的矩形薄板，即a/b=0.5，1，3，其中a和b是圖1 所示矩形板的長度和寬度。取Al‐Ni‐Co 十次準晶的相關參數，聲子場的彈性常數C11=234.4 GPa，C12=57.41 GPa，相位子場的彈性常數K1=122 GPa，K2=24 GPa，聲子場‐相位子場耦合的彈性常數R1=-1.1 GPa，R2=0.2 GPa。

為了清晰地顯示應力擴散現象，平面應力分量σxx，σxy，σyy和Hxx，Hxy，Hyx，Hyy的分布，引入以下歸一化變量進行無量綱化處理

聲 子 場 的 應 力 分 布 如 圖3—5 所 示，相 位 子 場 的 應 力 分 布 如 圖6—9 所 示。（a）（b）（c）分 別 對 應a/b=0.5，1，3。

圖3 面內應力分布σxx/σ0Fig.3 Distribution of in‐plane stress σxx/σ0

從圖3—9 可以看出，應力邊界條件得到較好滿足。從圖3 和圖6 可以看出，當縱橫比a/b=0.5 甚至更小時，和的分布與施加的邊緣應力相似；而當縱橫比a/b=3 甚至更大時和的分布接近均勻分布，并相位子場應力的分布小于聲子場應力的分布。此外，由圖4-5 和圖7—9 可知，其他面內應力分量和對于所有三個縱橫比都不是零；當縱橫比大時，較長板中間區域和接近于零，這與圣維南原理一致?？梢钥闯鍪芊蔷鶆蚍植驾d荷時，二維十次準晶薄板內的應力分布與邊緣處的載荷不同。對于屈曲分析時，二維十次準晶薄板受余弦分布壓縮時不能忽略次要應力對臨界載荷的影響，影響的大小取決于邊界條件和二維十次準晶薄板的長寬比。由于相位子場是一個擴散場，它不同于聲子場，應力分量和不同，如圖8-9 所示。

圖4 面內應力分布σyy/σ0Fig.4 Distribution of in‐plane stress σyy/σ0

圖6 面內應力分布Hxx/σ0Fig.6 Distribution of in‐plane stress Hxx/σ0

圖7 面內應力分布Hyy/σ0Fig.7 Distribution of in‐plane stress Hyy/σ0

圖8 面內應力分布Hxy/σ0Fig.8 Distribution of in‐plane stress Hxy/σ0

圖5 面內應力分布σxy/σ0Fig.5 Distribution of in‐plane stress σxy/σ0

圖9 面內應力分布Hyx/σ0Fig.9 Distribution of in‐plane stress Hyx/σ0

關于縱橫比a/b=0.5，1，3 的二維十次準晶矩形薄板在單軸余弦分布下的屈曲，四邊簡支的邊界條件用SSSS 表示。x=-a/2 和x=a/2 的邊界固支，y=-b/2 和y=b/2 的邊界簡支條件用CSCS 表示。對具有SSSS、CCCC、CSCS、SCSC、SSCC 五種邊界條件組合的板進行收斂性檢驗。表1-5 列出了不同網格點數量的微分求積結果，可以看出，當所有縱橫比N=15 時，可以獲得收斂結果；a/b越大，收斂速度越慢，因為在分析中x方向和y方向使用相同數量的網格點。

表1 余弦分布邊緣壓縮下SSSS 板的屈曲系數kTab.1 Buckling coefficients k of SSSS plates under cosine‐distributed edge compression

表2 余弦分布邊緣壓縮下CCCC 板的屈曲系數kTab.2 Buckling coefficients k of CCCC plates under cosine‐distributed edge compression

表3 余弦分布邊緣壓縮下CSCS 板的屈曲系數kTab.3 Buckling coefficients k of CSCS plates under cosine‐distributed edge compression

表4 余弦分布邊緣壓縮下SCSC 板的屈曲系數kTab.4 Buckling coefficients k of SCSC plates under cosine‐distributed edge compression

表5 余弦分布邊緣壓縮下SSCC 板的屈曲系數kTab.5 Buckling coefficients k of SSCC plates under cosine‐distributed edge compression

N=15 時微分求積法的屈曲系數k（表6），考慮了承受單軸余弦分布邊緣載荷的二維十次準晶矩形薄板在9 種邊界條件組合的屈曲系數，即SSSS、CCCC、CSCS、SCSC、SSCC、SSCS、SCSS、CCCS 和CCSC。對于每個邊界條件，考慮3 個縱橫比。從表6 中，可以清楚地看到邊界條件以及縱橫比對屈曲載荷的影響，并且準晶的屈曲系數大于無相位子場的經典材料的屈曲系數，這表明相位子場的存在使得準晶材料不易發生屈曲行為。

表6 余弦分布邊緣壓縮下準晶板的屈曲系數kTab.6 Buckling coefficient k of QCs plates under cosine distributed edge compression

4 結論

本文討論了在余弦分布下壓縮的二維十次準晶矩形薄板的應力分布和屈曲分析。主要結果如下：

（1）為了求解應力分布，使用了微分求積法獲得應力分布，并以圖形方式顯示應力分布，從而可以清楚看到應力分布變化。

（2）推導了二維十次準晶矩形薄板的撓度微分控制方程，數值結果清楚地顯示了相位子場對矩形薄板屈曲的影響。

（3）有相位子場的屈曲系數大于無相位子場的屈曲系數，表明相位子場的存在使準晶材料不易發生屈曲行為。