高維空間上具有時變系數和吸收項的非線性非局部拋物方程解的全局存在性和爆破

歐陽柏平

（廣州華商學院 數據科學學院，廣東 廣州 511300）

0 引言

近幾十年來，拋物方程和拋物系統解全局存在性和爆破問題的研究取得了豐碩成果。學者們開始考慮的是三維空間中齊次邊界條件（Dirichlet 條件和Neumann 條件）和Robin 條件下解的全局存在性和爆破問題［1-6］，如在一定條件下解的爆破率、爆破時間的上下界等。之后，又進一步考慮了在高維空間中齊次邊界條件下以及非線性邊界條件下解的全局存在性、爆破時間的上下界等問題［7-12］。近年來有學者對帶有時變或空變系數的拋物方程和拋物系統解的全局性和爆破問題進行了研究［13-17］，得到了相關的結論。Chen 等［18-20］考慮了其他偏微分方程解的爆破問題。在應用中，發現非局部項的數學模型比局部項的數學模型更有實際價值，因而探討非局部項的拋物方程解的全局存在性和爆破現象有較大的理論和實際意義。然而，對于非局部項的數學模型來說，需要重新探索解決其數學模型的理論和方法。因為局部項的數學模型的理論和數學方法不再適用，此課題的研究有較大的困難。文獻［21-24］研究了Robin 邊界條件、齊次Dirichlet 邊界條件以及非線性邊界條件下非局部項的拋物方程和拋物系統解的爆破問題。對于解的爆破時間上下界的估計的研究中，考慮和討論爆破時間上界的方法較多，而對于爆破時間下界的確定則相對有限。

文獻［16］研究了如下具有時變因子和吸收項的多孔介質方程爆破問題：

在一定的假設條件下，得到解的全局存在性和爆破發生時解的爆破時間的上界和下界估計。

文獻［23］研究了非局部多孔介質方程爆破問題：

在齊次Dirichlet 和齊次Neumann 邊界條件下，得到在R3中爆破發生時解的爆破時間的下界估計。Fang 等［24］研究了具有吸收項的非局部多孔介質方程爆破問題：

在齊次Dirichlet 和齊次Neumann 邊界條件下，得到了在R3中爆破發生時解的爆破時間的下界估計。

受以上文獻的啟發，本文研究如下高維空間上具有時變系數和吸收項的非線性非局部拋物方程解的全局存在性和爆破：

其中：Ω是高維空間Rn(n≥3)中的一個有界凸區域，?代表拉普拉斯算子；?Ω是區域Ω的邊界；t*代表可能的爆破時間是u在邊界?Ω上的外法向量的導數，假設其足夠光滑。

方程（1）在物理學中可以用來描述多孔介質牛頓流的濃度、傳熱導體溫度的擴散等物理現象，在生物種群理論中用于描述生物種群密度等生物現象，有關文獻見［25-27］。

目前，關于式（1）高維空間上具有時變系數和吸收項的非線性非局部拋物方程解的全局存在性和爆破問題研究較少，其困難在于如何找到合適的約束條件構造合理的能量函數解決高維上非線性邊界條件下時變系數和吸收項對解的全局存在性和爆破影響。本文運用高維空間中的Sobolev 嵌入不等式以及相關的微分不等式得出非線性邊界條件下解的全局存在性和爆破發生時解的爆破時間下界估計。

1 全局存在性

引理1［17］設Ω是Rn(n≥3)上的有界凸區域，則對于u∈C1(Ω)，n>0，有不等式

引理2［28］Sobo lev 不等式

其中C=C(n，Ω)是一個與n和Ω有關的Sobolev 嵌入常數。

定理1假設滿足條件

則問題（1）的解在任何有限時間都是有界的，即問題（1）是全局存在的。

證明首先定義輔助函數

其中σ>1。

運用散度定理，首先對式（5）求導數并結合 式（4），得

對于式（6）右邊第二項，由散度定理和式（2），有

對于式（7）右邊第二項，由H?lder 不等式和Young 不等式，得

其中ε1是在后面會定義的正數。

于是，由式（7）和式（8），得

其中

聯立式（6）和式（9），有

由H?lder 不等式和Young 不等式，得

其中ε2，ε3，ε4是在后面會定義的正數。

聯立式（10）~（13），有

其中

對于r5，可以選取合適的ε2，ε3，ε4，使得r5>0。

由H?lder 不等式，得

結合式（14）~（15），可推出

選取合適的ε1使得r3≤0，于是（16）式化為

如果u在φ(t) 度量下在某個t*爆破，即根據式（17），有φ′(t)≤0，?t

2 爆破時間的下界

假設滿足條件

構造如下輔助函數

其中：σ>n(s-1)，δ>1。

定理2假設u(x，t)是問題（1）、（18）在有界凸區域Ω的經典的非負解，則式（19）中定義的能量滿足微分不等式

由 此 可 得 爆 破 時 間t*的 下 界 為t*≥Θ-1(S)，其 中K1，K3，K5，K6(t)，K7(t)，ξ1，ξ2，Θ，S均 在 后 面 定 義，Θ-1是Θ的反函數。

證明運用散度定理，首先對式（19）求導數并結合式（18），得

對于式（20）右邊第二項，由式（7）和式（8），得

聯立式（20）和式（21），有

由H?lder 不等式和Young 不等式，得

聯立式（13）、（22）、（23），可知

其中

選取合適的ε4，使得K2≤0。于是，式（24）化為

對于式（25）右邊第二項，由H?lder 不等式和式（3），可得

其中

ε5為后面會定義的常數。

由式（25）、（26）得

其中

選取合適的ε1、ε5使得于是式（27）化為

其中

因為ξi>1(i=1，2)，所以式（29）右邊積分存在。顯然，Θ(t*) 是單調遞增函數，于是有

其中Θ-1是Θ的反函數。 從而定理2 得證。

3 結語

本文通過Soblev 不等式和其他微分不等式方法研究了高維空間上具有時變系數和吸收項的一類非線性非局部拋物方程在非線性邊界條件下解的爆破問題，并得到了解的全局性和爆破發生時解的爆破時間的下界估計，進一步豐富了有關高維空間上非線性非局部拋物方程解的全局性和爆破研究。