Sza?sz?Mirakjan‐Durrmeyer 算子線性組合的加權(quán)Orlicz 逼近

李昕昕，吳嘎日迪，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

設(shè)Dn(f，x) 表示如下的Sza?sz‐Mirakjan‐Durrmeyer 算子其中

記Dn(f，x) 的線性組合算子為其中ni和Ci(n) 滿足以下條件：

本文將研究Sza?sz‐Mirakjan‐Durrmeyer 算子的線性組合在Orlicz 空間中的逼近問題，用M(u) 和N(v)表示互余的N函數(shù)，有關(guān)N函數(shù)的定義及性質(zhì)詳情可見文獻(xiàn)［1］中的論述。定義Orlicz 空間中的范數(shù)為

由具有有限的Orlicz 范數(shù)的可測函數(shù)的全體{u(x)}構(gòu)成了N函數(shù)M(u) 生成的Orlicz 空間表示v(x) 關(guān)于N(v) 的模。由文獻(xiàn)［1］知，Orlicz 范數(shù)還可定義為

文中用C表示常數(shù)，但在不同處取值不同。

1 相關(guān)引理

對w(x) =xα(1+x)β，記

引理1對有

證明前兩式的證明在文獻(xiàn)［2］中已給出，現(xiàn)證明第三式。

由Orlicz 空間中的Ho?lder 不等式，有

證畢。

引理2對

證明由Orlicz 空間中的Ho?lder 不等式和引理1，有

引理3對

證明由文獻(xiàn)［3］得時(shí)，nx<1，有

注意到w(n，k+i) ~w(n，k)，由引理1，有

由文獻(xiàn)［4］有

由引理1 和Ho?lder 不等式有

所以

從而

綜上

引理4對f∈D，有

證明由文獻(xiàn)［3］得|，由引理1 有

記Amn(x) =nm Dn(( ?-x)m，x)，有

引理5[2]其中a(m，i) 與n無關(guān)；（b）|Amn(x)| ≤C(nx)[m2]x∈En。

引理6[2]（a）當(dāng)1 ≤m≤r時(shí)，Dm(( ?-x)m，x) =0；（b）當(dāng)0 ≤m≤r且x∈En時(shí)φ2r-2m(x)O(n-r)。

以下對f∈D，估計(jì)由Taylor 公式

引理7對f∈D有

證 明由 文 獻(xiàn)［4］知，當(dāng)x∈En時(shí)從 而|R2r(f，t，x)| ≤其中由Hardy 不等式和引理6，有

引理8對f∈D有

證明由引理6、引理7 和式（1）~（2）得類似于文獻(xiàn)［4］中定理9.5.3 的證明得代 入 即 可證得。

2 主要結(jié)論

定 理設(shè)Dn，r(f；x) 為 文 中 所 定 義 的Sza?sz‐Mirakjan‐Durrmeyer 線 性 組 合 算 子，則對δ

證明類似于文獻(xiàn)［2］的證明，由引理2、3、4、8 及式（1）可得

由以上四式即可證明定理。

由文獻(xiàn)［4-5］知（4）?（5）。由文獻(xiàn)［6］及式（6）~（9）可得（3）?（4）。現(xiàn)利用式（6）~（9）證明（4）、（5）?（3）。

取gn∈D，使得

由式（12）可得

由文獻(xiàn)［4］，當(dāng)n>8 時(shí)

由文獻(xiàn)［4］知，對任意正整數(shù)l有

由式（8）~（10）、（14）及式（4）、（5）得

再由式（15）~（18）得

由式（4）、（10）及（12）得

由式（20）、（21）及（6）得

證畢。