一種低副瓣穩健自適應波束算法

楊 帆， 汪 潔， 林 海， 葛俊祥

(南京信息工程大學電子信息技術與裝備研究院， 江蘇南京 210044)

0 引言

目前，傳統的針對陣列模型或導向矢量失配等問題提出的穩健算法為：空間譜估計算法、稀疏矩陣重構算法、對角加載(Diagnoal Loading，DL)算法、特征子空間算法(Eigenspace-based，ESB)和不確定集約束算法。對角加載波束形成算法通過在協方差矩陣上添加載平衡因子使得自適應和魯棒性達到最佳平衡，但是因子大小的不易估計，改善效果不明顯。特征子空間算法和投影方法本質上相同，已知期望和干擾信號導向矢量和特征向量，將所需信號投影到干擾互補子空間，從而得到最優的加權矢量，更好地消除了導向矢量失配的誤差，但是在低信噪比時，信號功率和噪聲功率大小非常接近，通過特征值大小分辨出信號和噪聲子空間十分困難。稀疏矩陣算法是利用矩陣信號干擾空間的稀疏性，對信號的接收矩陣進行了重構，利用較低的快拍數恢復出原來的信號，以此降低算法計算量。不確定集約束的方法不同與以上對協方差矩陣的改進，可看成是對權值的優化約束問題。當采樣協方差矩陣中包含了期望信號時，會出現信號“自消”現象，傳統的穩健自適應算法在期望導向量嚴重失配或高信噪比時，性能會下降。

為了提高自適應波束算法的穩健性，文獻[10]指出期望信號在空域中的功率分布中有殘留噪聲，消除殘留噪聲可以重構出更加精確的期望導向矢量和干擾加噪聲矩陣協方差，但隨著信噪比的提高，干擾抑制減弱，算法性能變差。文獻[11-12]提出了對傳統的波束形成算法進行加權，形成改進算法，雖然相比傳統算法副瓣電平大大降低，小樣本情況下方向圖穩定性也得到了極大的改善。但是由于沒有有效地提取出干擾噪聲信號協方差矩陣，故容易產生“自消”。文獻[13]在基于標準Capon波束形成器對期望矢量先進行波束預處理，降低了導向矢量失配的影響，但是對干擾移動和低樣拍等情況下的算法性能沒有改善。文獻[14]在文獻[13]的基礎上展寬了干擾零陷，但是展寬干擾零陷引入的計算誤差會影響算法的性能，并且算法需要對所有空域進行積分，運算量大。文獻[15]基于Capon的空間譜估計算法，重構出精度較高的干擾噪聲協方差矩陣和期望信號，降低了失配對算法的影響。為了降低小樣本對波束性能的影響，文獻[16]提出了一種基于稀疏干擾矩陣的穩健波束算法，該算法利用信號在空域的稀疏性，僅設置擾動參量對干擾方向的譜估計進行修正并重構，性能良好且計算復雜度低。文獻[17-18]提出了缺少先驗信息的協方差矩陣重構算法，在未知陣列結構的情況下性能良好，但是在估計期望信號導向矢量的時候不確定約束集的大小很難選擇，增大了算法的復雜性。文獻[19]使用去相關性算法得到新的干擾噪聲協方差矩陣，有效地降低了干擾和期望信號的相關性，但該算法提高波束形成的性能效果有限。文獻[20]針對干擾運動的抑制問題提出了一種零陷加寬的方法。

本文利用殘留噪聲功率消除重構期望導向矢量和干擾協方差矩陣減小算法計算量，再基于改進的MVDR算法有效地降低了副瓣和樣本對算法性能的影響，最后在干擾方向展寬零陷解決了干擾波動的問題。

1 陣列信號模型

()=()+()=

()+()

(1)

式中，=[(),(),…,()]為×(+1)維陣列流型矩陣，[]為矩陣轉置；()為采樣信號波形，為快拍數；()為期望導向矢量，()為干擾導向矢量，()為獨立同分布的高斯白噪聲向量。

元均勻線陣列天線的接收信號協方差矩陣為

=[()()]=

+=

(2)

根據最大化輸出信干噪比(MSINR)準則，即

(3)

標準Capon波束形成可以表示期望信號無失真響應下，陣列輸出功率最小的最優化問題，即最小方差無失真響應：

(4)

由此可得最優權值為

(5)

(6)

2 本文提出的算法2.1 期望信號矢量估計

根據文獻[6]，MUSIC譜估計算法功率譜表示為

(7)

(8)

式(8)可表明，每個回波信號輻射區域中的功率是有用信號功率與空域噪聲功率之和，并且回波信號中包含的噪聲功率為自然噪聲功率的1。所以可推出空域噪聲功率可以利用功率譜在非信號區間進行估計：

(9)

式中，為非期望信號角度區域，為在的采樣點，為采樣點個數。根據式(8)、式(9)，可獲得實際的噪聲功率和噪聲協方差矩陣：

(10)

為了降低計算量，可先結合文獻[13]對波束預處理，然后消除空域噪聲成分后重構期望信號，其最大特征值對應的特征矢量等于期望信號導向矢量。

2.2 干擾噪聲協方差矩陣估計

(()+())≈()

(11)

由式(11)可得

(12)

(13)

(14)

2.3 低副瓣加權和特征干擾相消

雖然重構了導向矢量和干擾噪聲協方差矩陣，傳統的RCB算法在導向矢量失配的情況下具有穩健性，但是當小樣本和副瓣較高時，接收矩陣出現低秩和奇異解，從而導致算法產生較大的誤差。本文利用類似輸出方向圖加窗的方法，對最優權值進行加窗，使其隨單元分布成錐形減弱，從而達到副瓣電平降低的目的。現在采用Dolph-Chebyshev加權函數對加窗，加窗后的期望信號方向矢量為

()=·()

(15)

另外，通過文獻[12]提出的特征干擾相消器，本文對干擾信號矢量建立新的線性約束，這樣提高干擾信號抑制和噪聲抑制自由度，優點是在小樣本數下，減小噪聲的不穩定對方向圖主瓣形成的影響。對應線性最小方差約束(LCMV)算法，特征干擾相消器可稱為線性特征干擾相消器(LCEC)。

LCEC的準則為

(16)

由拉格朗日乘子法求得式(16)的最佳權值為

=()(()())

(17)

2.4 干擾零陷展寬

本文結合了文獻[12]算法對權值進行修正并對干擾輸出功率進行參數約束，實現干擾區域零陷加寬。

要使上一節得到的權值更加接近最終權值，對權值進行二次約束，可得約束方程如下：

(18)

式中，為極小的自定義約束且保證>0。利用Lagrange乘子法求解式(18)得目標函數為

(19)

式中，為拉格朗日乘數。

對式(19)關于求偏導并使偏導等于零解得

(20)

最優拉格朗日乘子可以通過求解約束方程獲得，將式(20)代入約束條件式(19)中，可得關于的方程：

(21)

從式(14)可知理想干擾協方差矩陣表達式為

(22)

(23)

(24)

可得的取值范圍為

(25)

(26)

3 仿真實驗分析

實驗1： 不同約束參數正負拉格朗日乘數的算法分析

當輸入=10 dB，干噪比均為30 dB，采樣拍數=50。圖1、圖2的約束參數分別取較大= 10和較小= 10時波束對比。

圖1 ε=10-2的方向圖差異

圖2 ε=10-12的方向圖差異

從圖1可以看出，當取值較大時，正負乘數都能實現期望導向失配修正和零陷變寬，且主瓣和副瓣吻合比較一致，波動較小。隨著取值越來越小，即約束參數精度越高時，如圖2所示，干擾零陷的深度會加深，功率轉移到主波束方向，導致主瓣相應變寬和副瓣上升，算法性能略有下降。綜上可知，約束參數變化對算法性能雖然有影響，但該算法仍然擁有良好的抗干擾運動和抗系統誤差的魯棒性。

實驗2： 導向矢量失配時不同算法的波束圖分析

圖3 導向矢量失配下的歸一波束圖

圖4 高信噪比下的歸一波束圖

圖5 低樣拍數下的歸一波束圖

從圖3可以看出，在期望矢量失配時，幾種穩健算法都能夠滿足失配下的校準和干擾抑制，深度有所差別。文獻[14]和本文的算法不僅在干擾位置產生較深的零陷，并且對零陷有效的展寬，有利于抗干擾移動。但是從計算量來說，前者進行空間譜估計時使用了大量積分運算，而后者的計算主要是矩陣分解，計算量大大減小，所以本文算法更有利于實際應用。并且，由于本文使用了副瓣控制加權，在主瓣寬未發生大的擴展的前提下副瓣高度明顯比其他算法低，大大地提高了算法的性能。隨著信噪比的提高，如圖4可知文獻[10]算法由于信噪比過大，使()的近似估計誤差會增大，干擾信號無法正常抑制，性能急劇下降。在低樣拍數的情況下，如圖5所示，文獻[14]算法的樣拍數低于陣元數后性能急劇的惡化，導向矢量發生偏移，這是因為在低樣拍數下接收信號協方差矩陣發生誤差，無法再近似為實際信號計算。綜上分析，本文算法解決了在高信噪比和低樣拍數的情況下性能惡化的問題。

實驗3： 不同輸入SNR下的輸出SINR分析

圖6 不同輸入信噪比下的輸出信干噪比

從圖6可以看出，本文算法使用的展寬零陷算法帶來了約束計算的誤差，會導致性能的下降，但是用副瓣加權的算法可以優化旁瓣，從而彌補性能的下降，使其遠遠優于其他算法。并且，本文算法利用特征干擾相消算法重構干擾矩陣從根本上解決了在高信噪比下干擾抑制下降的問題，使輸出SINR與理論情況相差很小。

實驗4： 不同采樣拍數下的輸出SINR分析

圖7 不同快拍數下的輸出信干噪比

從圖7可知，本文算法明顯降低了快拍數對算法穩健性的影響，在極低的樣本數下就能快速達到收斂，并且輸出SINR接近理論值。相比本文算法，文獻[14]達到性能收斂時樣本數至少需要20。文獻[12]和文獻[20]都只考慮了單方面的因素，性能一般。理論波束算法在低樣拍數時無法得到完整的樣本協方差矩陣，所以算法性能出現急劇變化，直到快拍數為50才趨于收斂。綜上可得，本文算法在不降低算法性能的前提下，大大提高了算法收斂的速度。

實驗5： 隨失配角度變化的輸出SINR分析

當快拍數=50，輸入=10 dB，=30 dB固定不變。圖8表示期望信號的失配角度在[-12:1:12]范圍內，輸出SINR的曲線對比。

圖8 不同失配角度下的輸出信干噪比

由圖8可得，本文的算法失配角度在[-8:1:8]有著良好的穩健性，使用了矩陣相消算法的文獻[12]由于未對期望信號矢量進行估計，所以在角度失配方面穩健性差。文獻[20]在期望信號失配時輸出SINR發生了劇烈起伏，并且遠離性能最優值。本文算法在導向矢量失配的情況下穩健性與空間譜估計算法近似，且寬度略寬。

實驗6： 不同算法的復雜度對比分析

算法的運算速度是數字波束形成器實際應用的關鍵，為了減少FPGA和AD采樣的壓力，快速的自適應算法是對雷達工作性能的保證，所有算法在MATLAB上進行仿真，性能配備主頻為3.79 GHz-CPU。在其他仿真條件不變的情況下，快拍數=100，輸入=10 dB，干擾噪聲比為=30 dB。當將期望回波信號和強干擾信號預估范圍設置為10°，為信號空域內的總采樣點數，為陣元個數，為空域回波信號總數。算法總運行的時間由100次獨立的蒙特卡洛實驗累計得到。

由表1可知，本文算法和文獻[10]算法主要的運算是矩陣特征分解，因此處于同一個量級，文獻[12]主要是矩陣求逆運算，而文獻[14]算法在重

表1 不同算法的復雜度對比

構干擾噪聲矩陣時比本文算法增多了特征分解和空間積分運算，由于?，所以當陣列數較小時，L的影響遠遠大于N，故大大地增加了算法的運算時間。

綜上所述，本文算法在陣元數較大的時候，保證了算法的復雜度，在陣元數較小的情況下，減少算法的計算量。

4 結束語

本文算法首先基于殘留噪聲消除算法對期望信號矢量進行了估計，然后利用干擾功率估計算法構造了新的干擾噪聲協方差矩陣，此算法較空間積分算法而言，性能更優，且計算量更小；接著為了降低零陷展寬算法誤差對波束性能的影響，對最優權值進行副瓣加權降低波束的旁瓣；并結合特征干擾相消，消除快拍數對波束形成算法的影響；最后在構造干擾矩陣零陷之后，使用二次約束準則實現零陷加寬，雖然干擾區域展寬會使得零陷深度降低，但是提高了算法的魯棒性，更有利于實際應用。仿真結果證明了該方法在降低協方差矩陣構造計算量的同時，克服了比較算法在高信噪比和低樣拍數的情況中性能下降的問題，提升了導向矢量失配和抗運動干擾的能力。本文算法在高信噪比和強干擾等惡劣環境中都擁有良好的魯棒性，通過降低快拍數的影響和減少計算量，使算法在雷達休止期擁有更快的波束校準和波束形成。