基于阿秒光電子譜研究金屬光電子色散關系

潘子萌，劉 凱，馬子琦，廖 青

武漢工程大學光電信息與能源工程學院，湖北 武漢 430205

強場物理是過去二十多年興起的前沿學科，主要研究超強超短激光與物質相互作用。隨著激光器的發展與進步，激光的脈沖寬度逐漸變窄，激光脈沖的功率越來越大［1-3］。利用先進激光技術獲得的超快強激光脈沖與物質相互作用，成為了研究物質基本性質的一種重要手段。

阿秒物理學（1as = 1× 10-18s）研究飛秒和亞飛秒時間尺度上的超短激光脈沖與原子分子或固體相互作用時發生的電子動力學超快現象。強激光場聚焦在氣體或固體介質上會產生高次諧波，高次諧波是一種非微擾的高階非線性過程［4-8］。結合精確可控制的近紅外（near-infrared，NIR）場，由高次諧波轉換的極紫外（extreme-ultraviolet，XUV）阿秒脈沖已成功用于研究物質中電子的動力學過程。具體的技術思路是：XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖分別作為泵浦光和探測光，在精確控制兩種激光脈沖之間的相對延時后共同與物質相互作用，通過觀測阿秒光電子譜圖以實現對電子運動的實時探測。近十多年來，阿秒光電子譜技術已被廣泛應用于研究固體與原子目標中的時間分辨光電子發射［9］。

在激光與固體相互作用的過程中，束縛態電子在吸收光子后從固體表面出射，通常利用經典輸運模型來解釋從阿秒光電子譜圖中提取的光電子發射時間。2015 年瑞士U.Keller 研究組開展了基于能量依賴的Ag（111）和Au（111）金屬表面發射時間的研究，利用XUV 阿秒脈沖泵浦- NIR 激光脈沖探測技術首次觀測到凝聚態系統中的亞周期動力學。他們的研究揭示了Ag（111）表面4d 能帶和Au（111）表面5d 能帶的發射時間極端依賴于光電子能量，與經典輸運模型的預測大不相同［10］。最近的理論研究發現光電子發射時間依賴于固體中的能量色散關系，并揭示了固體中光電子輸運時間與可觀測到的光電子發射時間之間的尺度關系。通過光電子發射時間追溯到光電子在固體中積累的相位差，并且預測到負的光電子發射時間。基于上述發現，給出了一種時域的能量-動量-色散成像方法［11］。但由于研究中的模型勢采用了均勻場，并不是真實金屬內部勢能，因此需要對模型勢進行修正以便深入研究固體中的能量色散關系。

本文構建了非局域勢為周期性勢阱的單晶金屬表面模型，用于近似真實的金屬內部勢能。改變XUV 阿秒脈沖和NIR 脈沖之間的相對延時，通過量子力學數值模擬計算得到了阿秒光電子譜圖。發現光電子發射時間取決于勢阱深度和穿越金屬厚度，并且光電子發射時間與穿越金屬厚度存在顯著的非線性關系。這一發現證實了金屬內部的能量色散關系強烈依賴周期性勢阱的具體形式。

1 理論方法和模型

1.1 求解一維含時薛定諤方程

一維含時薛定諤方程，其解法具體如下。量子力學中描述粒子或系統隨時間演化的狀態都是用滿足含時薛定諤方程的波函數Ψ(t)來表示的（按原子單位處理）：

式中H表示系統的哈密頓算符，i為虛數單位。在笛卡爾坐標下系統的哈密頓量H可以表示為：

這里H(t)是指作用在約化波函數Φ(t)=rΨ(t)上的哈密頓量，E(t) =EXUV(t)+EIR(t)為線偏振入射激光場。 其中EXUV(t)為XUV 激光場強度，EIR(t)為NIR 激光場強度。

求解含時薛定諤方程的步驟一般是先給設定初始波函數Φ(t= 0)，然后將初始波函數離散化，將時間演化算符作用在初始波函數上，經過不斷的迭代演化就可以獲得任意時刻的末態波函數。即t時刻到t+ Δt時刻的含時演化波函數的關系表達為：

隨后經過分裂算符方法，含時迭代得到末態波函數。

1.2 基于極紫外阿秒脈沖泵浦-近紅外激光脈沖探測的阿秒光電子譜技術

目前在阿秒時間尺度上探測電子的超快動力學過程，主要方法有阿秒條紋相機技術和雙色雙光子干涉技術［5-6］。在原子的情況下，已經證明了雙色雙光子干涉技術和阿秒條紋相機技術都能提供相同光電子發射過程的時間信息。阿秒相機條紋技術使用的泵浦脈沖為單個阿秒脈沖，由于單個阿秒脈沖頻譜分布較寬，無法區分不同光電子末態動能對應的干涉通道對光電子發射時間的影響。而雙色雙光子干涉技術使用XUV 阿秒脈沖鏈作為泵浦脈沖，阿秒脈沖鏈在頻譜上為分立的相鄰高次諧波，與觀測到的阿秒光電子譜圖中的一系列主峰相對應。在NIR 探測場的作用下相鄰兩個主峰之間形成邊帶峰，不同主峰和邊帶峰對應的干涉通道非常易于分辨。因此本文選取雙色雙光子干涉技術作為研究手段。

雙色雙光子干涉技術的具體原理是：XUV 阿秒脈沖鏈穿透金屬表面，金屬內部的束縛態電子吸收兩相鄰的高次諧波，逃逸金屬表面時與紅外激光場作用，吸收較高次（較低次）諧波的電子波包放出（吸收）一個紅外光子，最終兩部分波包能量一致發生干涉而記錄傳播相位。改變XUV 阿秒脈沖與紅外脈沖之間的時間差，可以得到光電子末態動能譜與XUV 阿秒脈沖—紅外脈沖時間差之間的函數關系，即所謂的雙色雙光子干涉譜［12-13］。

1.3 金屬中的電子能量色散對光電子發射時間的影響

首先以非局域勢為均勻場的單晶金屬表面模型為例。利用依賴于能量的有效電子質量來表示金屬中的電子色散，解析地揭示了其中的尺度規律［11］，即金屬內電子輸運時間與光電子發射時間之間的線性關系：

其中ttr,2q+1表示在金屬內部光電子傳播的時間，tpe,2q為從阿秒光電子譜圖中的邊帶峰擬合提取的光電子發射時間，t0,2q表示與樣本無關的偏移量。尺度因子α非常敏感地依賴于金屬內有效電子質量的比值R2q=me,2q-1/me,2q+1。紅外光子能量為ωIR，由高次諧波轉換的阿秒脈沖鏈中的2q- 1和2q+ 1 階諧波，對應的光子能量分別為( 2q- 1)ωIR和( 2q+ 1)ωIR，所激發電子的有效質量分別為me,2q-1和me,2q+1。除非另有說明，在本文中使用原子單位。

邊帶峰中心能量為kf2/2 =εi+ 2qωIR，εi記為系統的基態能量。吸收2q+ 1 階（2q- 1 階）諧波的電子波包放出（吸收）1 個紅外光子，兩部分電子波包能量一致發生干涉形成邊帶峰，不同干涉通道之間的總相位差為ΔΦ2q= Δξ2q(z) - Δφ2q- π -2ωIRτ。其中Δφ2q=φ2q+1-φ2q-1，π 表示紅外光子的發射和吸收過程之間的相對相位。假設初始位置為z= 0，邊帶峰的不同干涉通道之間的空間傳播相位差為：

其中，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區域，dW為金屬薄片厚度。金屬內部的光電子動量為，與此相對應的光電子能 量 為ε2q±1=εi+( )2q± 1ωIR，有 效 電 子 質 量me,2q±1表示色散對金屬內部傳播的電子波包的影響。群速度，金屬內電子輸運時間ttr,2q+1=dwvg,2q+1。公式（4）中與樣本無關的偏移量為：

尺度因子為：

通過分離金屬中電子的激發過程和傳播過程，在圖1 中明確地演示了金屬內部的非局域電子勢如何影響干涉測量的光電子發射時間。研究思路是：金屬內部的束縛態電子吸收1 個XUV 光子躍遷到連續態，先穿過厚度為d的區域，勢能逐漸趨于穩定；再穿過厚度為dw的金屬薄片到達表面，光電子吸收或放出1 個紅外光子后被探測器檢測到，紅外探測場被金屬中的電子屏蔽在金屬表面。

圖1 金屬模型勢能圖Fig.1 Potential energy diagram of metal model

2 結果與討論

單晶金屬由許多原子有序排列而成，金屬內部局域的束縛態電子被激發到連續態后暴露在非局域的電子晶格彈性勢中［14-15］。為了更加接近真實的金屬內部勢能，將金屬表面模型中均勻場改為周期性勢阱進行討論。

如圖1 所示，d為局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區域，dw為金屬薄片厚度。da,dc為金屬晶格參數，Zs為介于金屬薄片與真空之間的表面位置。在金屬薄片區域，實例A 描述金屬內部光電子的自由傳播，實例B 描述光電子在周期性勢阱下的色散傳播過程。通過調整勢阱深度（勢壘高度）U可改變光電子色散。 選取Yukawa potential 的原子模型吸引勢作為系統的初始態，將局域電子晶格吸引勢逐漸趨于零的區域設為d= 15［16］，使得勢能趨于穩定后光電子進入金屬內部。實例A（實例B）表示金屬內部的束縛態電子吸收1 個能量為51ωIR（49ωIR）的XUV 光子躍遷到連續態，光電子到達金屬表面后放出（吸收）1 個能量為ωIR的紅外光子。最終兩部分光電子波包獲得相同的末態動能從而發生干涉形成邊帶峰。

紅外探測場的波長設為800 nm，強度設為1 × 1011W/cm2。量子力學數值模擬中采用的空間網格步長為dx=0.1，時間步長為Δt= 0.01。計算得到的阿秒光電子譜圖如圖2（a）中所示，其中垂直短實線表示以延時τ= 0 為參考的光電子發射時間。擬合觀測到的阿秒光電子譜圖中的邊帶峰即可提取光電子發射時間［17］。

如圖2（b）中所示，在晶格常數為da= 3,dc=2 時，由上至下3 條實線分別表示勢阱深度（勢壘高度）分別為U=5、0、-5 eV 的情況下光電子發射時間隨穿越金屬厚度的變化。垂直虛線表示當金屬厚度dw= 20 時，從阿秒光電子譜圖擬合提取的光電子發射時間。在本科研團隊之前的研究中，模型采用了均勻場，忽略金屬內部非局域的電子晶格彈性勢對電子的影響，把排成晶格的正離子近似當作是均勻抹平的連續正電荷分布。而在本文中，將非局域勢改為更加接近真實金屬內部勢能的周期性勢阱。圖2 中的實線說明光電子發射時間隨穿越金屬厚度的變化呈現顯著的非線性關系（虛線為一般線性關系，與實線形成對比），這與采用了均勻場的模型所表現出的線性關系有很大不同。

圖2 （a）勢能U=5 eV，勢能U=0 eV 和勢能U=-5 eV 時末態光電子譜圖；（b）光電子發射時間隨金屬厚度的變化Fig.2 （a）Final state photoelectron spectrograms at potential energies of 5 eV，0 eV and-5 eV；（d）variation of photoelectron emission time with metal thickness

光電子發射時間隨金屬晶格常數和勢阱深度的變化情況如圖3 所示，圖3 中虛線為各情況下一般線性關系，以作各種情況下的對比。當勢阱深度為-10 eV 時，隨著金屬厚度的增大，光電子發射時間與穿越金屬厚度的非線性變化趨于平滑。減小勢阱深度直至-5 eV 時，光電子發射時間隨穿越金屬厚度的變化呈現顯著的非線性關系，說明金屬內部的色散關系強烈依賴于周期性勢阱的深度。

圖3 光電子發射時間隨金屬晶格常數和勢阱深度的變化Fig.3 Variation of photoelectron emission time with metal lattice constant and potential well depth

3 結 論

在本科研團隊之前研究工作基礎上將模型勢修正為與真實固體內部相一致的周期性勢能，以便更廣泛地探究阿秒光電子發射時間與其能量色散之間的關系。通過數值模擬求解一維含時薛定諤方程，得到末態光電子能譜圖，并對能譜圖進行擬合以提取光電子發射時間。結果顯示光電子發射時間強烈依賴于金屬勢能，尤其是與穿越金屬厚度存在顯著非線性關系。在以后工作中，可進一步確定周期勢模型所對應的能量色散關系，從而能夠更全面地分析光電子發射時間與能量色散的關系。