基于信息幾何的高超聲速飛行器搜索方法

羅 藝 譚賢四 王 紅 曲智國

高超聲速飛行器通常是指飛行速度大于5 馬赫(Ma),飛行高度在20～100 km 的飛行器[1-2].此類飛行器具有飛行速度快、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、航程遠(yuǎn)、打擊精度高等特點(diǎn),能夠突破傳統(tǒng)導(dǎo)彈防御系統(tǒng),可實(shí)施遠(yuǎn)距離機(jī)動(dòng)快速打擊[3-4].近年來,世界各國都在發(fā)展高超聲速武器.美國已多次進(jìn)行高超聲速武器的實(shí)驗(yàn);2018 年,俄羅斯的 “匕首”、“先鋒” 高超聲速武器開始列裝部隊(duì);2019 年,我國的高超聲速武器——“東風(fēng)-17” 首次出現(xiàn)在閱兵式中.由于高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡復(fù)雜[5]使得目前的反導(dǎo)攔截系統(tǒng)很難對這類武器實(shí)施有效防御.高超聲速飛行器不僅能夠在水平方向上進(jìn)行機(jī)動(dòng)飛行,在垂直方向上也可以進(jìn)行機(jī)動(dòng)飛行,跳躍滑翔運(yùn)動(dòng)是高超聲速飛行器的一種垂直機(jī)動(dòng)方式.由于高超聲速飛行器跳躍滑翔運(yùn)動(dòng)在高度上不斷變化,地面相控陣?yán)走_(dá)受視距遮擋影響而無法對此類目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)觀測.針對這一問題,本文提出一種基于信息幾何的搜索方法,使地面雷達(dá)在高超聲速飛行器飛過盲區(qū)后能夠及時(shí)、準(zhǔn)確地再次發(fā)現(xiàn)目標(biāo).

相控陣?yán)走_(dá)具有波束捷變能力,通過相應(yīng)的波束控制策略可以提高對目標(biāo)搜索的性能[6].通常情況下,相控陣?yán)走_(dá)進(jìn)行目標(biāo)搜索會(huì)有一定的先驗(yàn)信息,例如,對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的預(yù)測信息以及其他傳感器的指示信息等.在這些先驗(yàn)信息的引導(dǎo)下,相控陣?yán)走_(dá)的搜索范圍可以限定在一個(gè)較小的區(qū)域內(nèi)因而能夠快速有效地捕獲目標(biāo)[7].現(xiàn)有的大多數(shù)空中目標(biāo)搜索研究都是針對常規(guī)目標(biāo)的,例如彈道導(dǎo)彈、飛機(jī)等[8-9].由于高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)特性不同于常規(guī)目標(biāo),這些研究無法應(yīng)用于高超聲速飛行器的搜索.另外,高超聲速飛行器飛行速度快,當(dāng)雷達(dá)在目標(biāo)跟蹤過程中出現(xiàn)失跟情況時(shí),反導(dǎo)攔截系統(tǒng)對此類目標(biāo)的攔截準(zhǔn)備時(shí)間會(huì)大大減少,因此,研究合理的搜索方法及時(shí)再次發(fā)現(xiàn)目標(biāo)具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.

引導(dǎo)信息通常是用來確定雷達(dá)的搜索區(qū)域.如果搜索區(qū)域太大,會(huì)把過多的雷達(dá)資源浪費(fèi)在那些沒有目標(biāo)的區(qū)域,導(dǎo)致無法及時(shí)發(fā)現(xiàn)目標(biāo);如果搜索區(qū)域太小,可能使目標(biāo)無法被雷達(dá)波束覆蓋,導(dǎo)致搜索不到目標(biāo).因此,引導(dǎo)信息要保證在搜索區(qū)域能夠覆蓋目標(biāo)活動(dòng)空間的前提下,盡量縮小搜索區(qū)域.傳統(tǒng)的搜索區(qū)域以 3σ準(zhǔn)則進(jìn)行確定,即搜索區(qū)域?yàn)橐龑?dǎo)信息誤差的三倍[10].Haftbaradaran等[11]將引導(dǎo)信息以區(qū)域內(nèi)目標(biāo)出現(xiàn)置信度的形式給出,這種方法通過引導(dǎo)信息誤差的概率密度計(jì)算.以上方法都是假設(shè)引導(dǎo)信息誤差的概率密度分布為高斯分布,對于機(jī)動(dòng)性較強(qiáng)的目標(biāo)則無法滿足這個(gè)假設(shè)條件.

對于給定的搜索區(qū)域要完成對其搜索,需要對該區(qū)域內(nèi)波束排列的方式與數(shù)目進(jìn)行管理.對波位編排的管理可影響搜索區(qū)域的覆蓋率,當(dāng)波位覆蓋緊湊時(shí)可以提高搜索區(qū)域的覆蓋率,但會(huì)浪費(fèi)一定的資源;當(dāng)波位覆蓋疏松時(shí),雖然降低了搜索區(qū)域的覆蓋率,但是資源能夠得到有效的利用.相控陣?yán)走_(dá)的天線波束,隨著掃描角的增大會(huì)出現(xiàn)波束展寬效應(yīng),為了消除波束展寬效應(yīng)的影響,引入陣面正弦空間坐標(biāo)系.周穎等[12]把邊界問題轉(zhuǎn)化為圖論問題,提出了邊界約束波位編排算法.為了適應(yīng)搜索區(qū)域動(dòng)態(tài)變化,Hou 等[13]提出了動(dòng)態(tài)匹配波位編排方法.這些波位編排研究只是針對常規(guī)目標(biāo),不適用于高超聲速飛行器.

在搜索空域進(jìn)行波位編排的基礎(chǔ)上,使用相應(yīng)的搜索策略就可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的搜索.搜索策略是指搜索計(jì)劃,雷達(dá)在搜索目標(biāo)過程中,搜索波位的順序.搜索順序的不同對目標(biāo)的捕獲概率有很大的影響.傳統(tǒng)的搜索策略有隨機(jī)搜索策略、平行搜索策略和螺旋搜索策略[14],這些搜索策略對目標(biāo)沒有針對性,對特殊目標(biāo)無法得到最佳的搜索性能.唐書娟等[15]提出基于信息增益的搜索方法,該方法在搜索下一個(gè)波位前計(jì)算每個(gè)波位的信息增益,根據(jù)計(jì)算的信息增益得到下一個(gè)搜索波位,這種方法由于每次搜索前都要進(jìn)行計(jì)算,對高速目標(biāo)的搜索有一定的局限性.因此,針對高超聲速飛行器的搜索策略制定要基于這類目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性.

通過對高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡的預(yù)測,得到對此類目標(biāo)搜索的引導(dǎo)信息.由于高超聲速飛行器機(jī)動(dòng)性強(qiáng),軌跡預(yù)測誤差不服從高斯分布,使用參數(shù)估計(jì)的方法不能描述目標(biāo)出現(xiàn)位置的概率密度分布,因此,采用蒙特卡羅方法進(jìn)行多次預(yù)測獲得采樣點(diǎn),再通過非參數(shù)估計(jì)的方法[16-17]就能夠得到目標(biāo)搜索的引導(dǎo)信息.波位編排有列狀、交錯(cuò)和低損耗點(diǎn)三種編排樣式可以選擇.這三種波位編排樣式的重疊率和覆蓋率各不相同,在搜索過程中可以根據(jù)資源的使用情況合理選擇.當(dāng)相控陣?yán)走_(dá)資源充裕時(shí),可使用高覆蓋率的波位編排樣式,確保搜索任務(wù)順利完成;當(dāng)資源不足時(shí),則使用低重疊率的波位編排樣式,提高資源利用率.進(jìn)行波位編排是基于引導(dǎo)信息確定搜索區(qū)域,搜索策略則是確定各個(gè)波位的搜索順序.在給定引導(dǎo)信息的條件下雷達(dá)進(jìn)行目標(biāo)搜索,由于搜索策略基于引導(dǎo)信息,那么搜索策略與引導(dǎo)信息之間必然存在一定的關(guān)系.信息幾何中的統(tǒng)計(jì)流形將概率密度函數(shù)的全體作為一個(gè)集合[18-19],由于引導(dǎo)信息是一個(gè)概率密度函數(shù),因此可以通過將搜索策略建模為統(tǒng)計(jì)流形,求解統(tǒng)計(jì)流形中與引導(dǎo)信息最近的點(diǎn)即為最優(yōu)搜索策略.本文首先通過蒙特卡羅預(yù)測采樣和非參數(shù)估計(jì)的方法生成引導(dǎo)信息;之后根據(jù)引導(dǎo)信息確定搜索區(qū)域,建立波位編排模型;接著基于信息幾何理論提出了最優(yōu)搜索策略的求解方法;然后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的可行性和有效性;最后得出結(jié)論.

1 目標(biāo)引導(dǎo)信息

由于高超聲速飛行器進(jìn)入地面雷達(dá)視距盲區(qū),其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位置、速度、航向等)無法準(zhǔn)確地觀測到,但是通過進(jìn)入盲區(qū)前的數(shù)據(jù),可以得到一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.為了能夠再次發(fā)現(xiàn)目標(biāo),需要將目標(biāo)的預(yù)測信息,作為雷達(dá)的引導(dǎo)信息.

對于目標(biāo)的預(yù)測通常會(huì)帶有一定的誤差,假設(shè)對目標(biāo)在水平和俯仰上的預(yù)測為 (θxp,θyp),目標(biāo)的真實(shí)位置為 (θx0,θy0),則

式中, (εx,εy) 為預(yù)測誤差.

目標(biāo)引導(dǎo)信息通常是目標(biāo)在某一位置的出現(xiàn)概率.則目標(biāo)在區(qū)域 Ω 中出現(xiàn)的概率可表示為

式中,f(εx,εy) 為預(yù)測誤差的二維概率密度分布函數(shù).

傳統(tǒng)目標(biāo)(例如,飛機(jī)或彈道導(dǎo)彈)的誤差概率密度函數(shù)通常假設(shè)為高斯分布.高超聲速飛行器由于其機(jī)動(dòng)性較強(qiáng),其預(yù)測誤差的概率密度分布較復(fù)雜,常用的參數(shù)法無法對其概率密度進(jìn)行估計(jì),因此在本文中采用非參數(shù)概率密度估計(jì)法.非參數(shù)密度估計(jì)法對先驗(yàn)知識(shí)要求少,應(yīng)用場景廣泛,可以通過采樣數(shù)據(jù)對任何分布的概率密度函數(shù)直接進(jìn)行估計(jì).本文采用蒙特卡羅方法進(jìn)行預(yù)測采樣,蒙特卡羅方法以大數(shù)法則和中心極限定理為數(shù)學(xué)基礎(chǔ),能夠保證得到高超聲速飛行器預(yù)測分布為無偏估計(jì)值.

本文首先通過蒙特卡羅方法對高超聲速飛行器出現(xiàn)的位置進(jìn)行多次預(yù)測并獲得采樣數(shù)據(jù).然后通過基于直方圖的估計(jì)方法對預(yù)測位置的概率密度進(jìn)行擬合,最后通過核函數(shù)對估計(jì)的概率密度進(jìn)行平滑.核函數(shù)有很多種,可以根據(jù)需要進(jìn)行選擇,本文采用較為常用的高斯核函數(shù)

假設(shè)概率密度估計(jì)直方圖的條目數(shù)量為n,每個(gè)條目的寬度為b(預(yù)測區(qū)域內(nèi)劃分的每個(gè)小區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)條目,這里指區(qū)域面積),Ii為落在第i個(gè)直方圖條目中采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù),則

通過與核函數(shù)卷積對式(4)進(jìn)行平滑,得到目標(biāo)預(yù)測位置分布的概率密度

2 搜索區(qū)域的波位編排

相控陣?yán)走_(dá)通過波位編排覆蓋目標(biāo)可能出現(xiàn)的區(qū)域.在給定引導(dǎo)信息條件下,搜索區(qū)域已經(jīng)確定,波位編排并不能完全按照引導(dǎo)信息進(jìn)行覆蓋,通常會(huì)有些區(qū)域覆蓋不到或波位覆蓋超出了搜索區(qū)域,另外,波位之間也會(huì)存在重疊或縫隙.因此,在不同的應(yīng)用場景下,會(huì)使用不同的波位編排方式.

相控陣?yán)走_(dá)常用的波位編排方式有列狀、交錯(cuò)和低損耗點(diǎn)3 種,如圖1 所示.這3 種波位編排方式的重疊率和覆蓋率各不相同.其中,列狀編排的重疊率為0,覆蓋率約為78.5%;交錯(cuò)編排的重疊率為0,覆蓋率約為90.7%;低損耗點(diǎn)編排的重疊率約為35.75%,覆蓋率為100%.在波位編排的時(shí)候,如果覆蓋率較低,可能會(huì)導(dǎo)致搜索的波位上根本不存在目標(biāo);但如果重疊率較高,部分搜索區(qū)域會(huì)重復(fù)搜索,造成資源浪費(fèi).三種波位編排方式各有優(yōu)缺點(diǎn),在使用中根據(jù)實(shí)際的需求進(jìn)行選擇.

圖1 波位編排方式Fig.1 Arrangement of wave position

假設(shè)波位編排中每個(gè)波位的模型可表示為

其中, (θxk,θyk)為第k個(gè)波位的中心位置, Ωk為波位的覆蓋區(qū)域,N為編排的總波位數(shù).搜索區(qū)域內(nèi)波位編排可以用集合表示為

為了能夠合理地利用資源,通常要對波位編排進(jìn)行優(yōu)化.由于搜索在引導(dǎo)區(qū)內(nèi),掃描角較小,波束展寬效應(yīng)可忽略不計(jì).

假設(shè)S0為每個(gè)波位的覆蓋面積,Si為每個(gè)波位覆蓋搜索區(qū)域的面積,Ci為每個(gè)波位沒有覆蓋到搜索區(qū)域的面積,SΩ為搜索區(qū)域的總面積.波位編排的覆蓋率可以表示為過覆蓋率可以表示為波位編排的最優(yōu)策略就是令覆蓋率最大,保證能夠搜索到目標(biāo);令過覆蓋率最小,實(shí)現(xiàn)資源的有效利用.根據(jù)以上分析,波位編排的最優(yōu)化模型為

式中,優(yōu)化目標(biāo)可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行調(diào)整,對于高超聲速目標(biāo)的搜索,通常使用低損耗點(diǎn)編排方式并將覆蓋率設(shè)置為100%,只需過覆蓋率最小即可.約束條件表示波位覆蓋區(qū)域內(nèi)目標(biāo)出現(xiàn)的概率不為零,當(dāng)資源有限時(shí)可添加資源約束條件.

對于波位編排的求解可以使用遺傳算法.由波位編排方式可知,在搜索區(qū)域內(nèi)只要確定兩個(gè)相鄰波位的位置即可得到整個(gè)搜索區(qū)域的波位編排位置.波位編排的輸出結(jié)果為Topt=(xopt,yopt),其中,xopt為所有波位中心點(diǎn)橫坐標(biāo)集合,yopt為所有波位中心點(diǎn)縱坐標(biāo)集合.以搜索高超聲速目標(biāo)為例,最優(yōu)波位編排求解的具體步驟如下.

算法 1.OBPA(Airspace)

3 搜索策略

引導(dǎo)信息決定了搜索方法.首先,引導(dǎo)信息中的搜索范圍決定波位的覆蓋范圍以及波位編排方式;另外,目標(biāo)出現(xiàn)的概率密度分布則決定了波位搜索的順序,即搜索策略.一般情況下,搜索策略通常是按照目標(biāo)出現(xiàn)概率大的波位進(jìn)行搜索.傳統(tǒng)的搜索策略,如平行搜索策略、螺旋搜索策略和隨機(jī)搜索策略,可以滿足傳統(tǒng)目標(biāo)搜索的需求.傳統(tǒng)目標(biāo)的預(yù)測過程中,其誤差通常假設(shè)為高斯分布或均勻分布,由此得到的搜索引導(dǎo)信息較為簡單,主要包括預(yù)測位置和搜索范圍.因此,對這類目標(biāo)的搜索,只需使用簡單的幾何搜索策略即可.

由于高超聲速飛行器機(jī)動(dòng)性能強(qiáng),對其預(yù)測的誤差也會(huì)較大,且不符合常見分布,導(dǎo)致預(yù)測目標(biāo)的位置會(huì)大范圍散布,目標(biāo)的出現(xiàn)的概率密度分布也會(huì)較為復(fù)雜.因此,對于高超聲飛行器這類目標(biāo)的搜索無法使用前面所提的簡單的幾何搜索策略.由前面的分析可知,引導(dǎo)信息中目標(biāo)的誤差概率密度分布較為復(fù)雜,這也使得與之相匹配的搜索策略更加復(fù)雜.

假設(shè)當(dāng)波位編排為IB時(shí),搜索策略可表示為ST={I1,I2,···,IN},I表示搜索波位的序號.對于波位編排IB可以有很多種搜索策略,每種搜索策略帶來的搜索結(jié)果是不同的.當(dāng)一個(gè)搜索策略帶來的結(jié)果優(yōu)于其他搜索策略時(shí),該搜索策略則為所求的最優(yōu)搜索策略STo.

搜索策略ST和目標(biāo)的概率密度f(θ) 分布是密切相關(guān)的,因此,問題研究的關(guān)鍵是度量搜索策略ST和目標(biāo)分布概率密度f(θ) 的相似性,即使搜索策略與目標(biāo)分布概率密度相似性最大,得到最優(yōu)搜索策略STo.概率密度之間的相似性有很多計(jì)算方法,將搜索策略以概率密度的方式表示出來,則更容易判斷搜索策略與目標(biāo)分布概率密度的相似性.在信息幾何理論中,概率密度函數(shù)全體被看成是統(tǒng)計(jì)流形,通過研究統(tǒng)計(jì)流形的幾何性質(zhì),可以解決各種隨機(jī)問題.所有對目標(biāo)的搜索策略ST可以組成一個(gè)統(tǒng)計(jì)流形B,該流形上與引導(dǎo)信息距離最近的一個(gè)點(diǎn)則為最優(yōu)搜索策略STo.

假設(shè)每個(gè)波位IBk上都存在一個(gè)基函數(shù)

經(jīng)觀察可知,式(8)可以寫成基函數(shù)與權(quán)重向量積的形式

其中,C(θ) 為重組的基函數(shù),V起到坐標(biāo)系的作用.

定義 1.令式(13)為搜索策略的統(tǒng)計(jì)流形,V=(λ1,λ2,···,λN-1)為流形的坐標(biāo)系.

在統(tǒng)計(jì)流形中,Fisher 矩陣能夠用來定量描述兩個(gè)概率密度分布之間的不同程度.統(tǒng)計(jì)流形B的Fisher 度量矩陣可以表示為

在信息幾何理論中有很多方式可以來度量統(tǒng)計(jì)流形中兩點(diǎn)間的距離,例如,測地線距離和KL(Kullback-Leibler)散度距離[20-21].測地線距離為流形中兩點(diǎn)距離最小的一條曲線,是歐氏空間中直線在流形上的推廣.KL散度距離也可以用來度量流形中兩點(diǎn)間的距離,與測地線距離相比,它的計(jì)算更為簡單.為了度量搜索策略與目標(biāo)分布概率密度之間的相似性,使用KL散度距離來計(jì)算統(tǒng)計(jì)流形B(θ;V)上的點(diǎn)與目標(biāo)分布概率密度f(θ) 之間的距離.KL 散度距離可表示為

KL 散度越小,兩個(gè)概率密度分布之間就越相似.通過使DKL最小,求解出統(tǒng)計(jì)流形B 上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)V,即可得到最優(yōu)搜索策略ST0.

在信息幾何中,流形通常是連續(xù)的,本文中所要求解的最優(yōu)搜索策略ST0是離散的序列.對于離散序列的求解,遺傳算法是一個(gè)較好的選擇,另一方面在流形上使用梯度下降法會(huì)提高求解過程中的收斂速度,因此本文采用一種改進(jìn)的遺傳算法,算法中結(jié)合信息幾何中的梯度下降算法對種群進(jìn)行變異.變異算子為

算法具體步驟如下.

算法 2.STRA(f*)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中,通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出的搜索方法.按照文獻(xiàn)[2]中高超聲速飛行器的各項(xiàng)參數(shù),生成高超聲速飛行器的軌跡,如圖2 所示.

圖2 高超聲速飛行器軌跡Fig.2 Trajectory of hypersonic vehicle

設(shè)置仿真場景:假設(shè)某型高超聲速飛行器由火箭助推至80 km 的高空后與火箭分離,分離后再入大氣層并進(jìn)入地基雷達(dá)的視距盲區(qū)中,其飛出盲區(qū)后的軌跡與雷達(dá)的部署位置如圖3 所示.

圖3 仿真場景示意圖Fig.3 Schematic diagram of simulation scene

假設(shè)雷達(dá)的工作頻段為x波段,雷達(dá)架高100 m,具體參數(shù)如表1 所示.

表1 雷達(dá)參數(shù)Table 1 Radar parameters

當(dāng)高超聲速飛行器在距雷達(dá)837 km 時(shí)穿越地平面進(jìn)入雷達(dá)視距范圍,根據(jù)文獻(xiàn)[22]中的高超聲速飛行器軌跡預(yù)測方法可以得到其穿越地平面時(shí)的引導(dǎo)信息如圖4 所示,其概率密度估計(jì)中條目寬度的大小為0.1 個(gè)波束寬度.

圖4 引導(dǎo)信息Fig.4 Guide information

在高超聲速飛行器飛入雷達(dá)盲區(qū)的這段時(shí)間,采用本文所提方法,求解最優(yōu)搜索策略,進(jìn)行目標(biāo)搜索仿真實(shí)驗(yàn).首先進(jìn)行波位編排,采用低損耗點(diǎn)波位編排方式對搜索區(qū)域進(jìn)行覆蓋,然后在波位編排的基礎(chǔ)上建立統(tǒng)計(jì)流形模型,通過求解流形上與引導(dǎo)信息之間KL 散度距離最小的點(diǎn),得到搜索策略,KL 散度距離為11.8,最終搜索方法如圖5 所示.使用該搜索方法進(jìn)行目標(biāo)搜索實(shí)驗(yàn),采用蒙特卡羅方法進(jìn)行100 次仿真,可以得到該搜索方法的搜索性能為:捕獲概率達(dá)到78%,平均搜索6.2 個(gè)波位能搜索到目標(biāo).

圖5 搜索方法結(jié)果Fig.5 Results of search method

為了進(jìn)一步分析驗(yàn)證本文所提方法,在前面所述仿真條件下進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn).

1)有效性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提搜索方法的有效性,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).在進(jìn)行引導(dǎo)信息概率密度估計(jì)時(shí),統(tǒng)計(jì)使用不同的條目寬度與KL 散度之間的關(guān)系;在波位編排優(yōu)化過程中,統(tǒng)計(jì)適應(yīng)度與迭代次數(shù)之間的關(guān)系;在求解搜索策略過程中,統(tǒng)計(jì)KL 散度距離與迭代次數(shù)之間的關(guān)系;在目標(biāo)搜索過程中,統(tǒng)計(jì)不同KL 散度距離的搜索方法與捕獲概率之間的關(guān)系.

非參數(shù)概率密度估計(jì)中的條目寬度選取十分重要的,由于搜索策略概率密度的條目寬度已確定為雷達(dá)波束寬度,目標(biāo)引導(dǎo)信息概率密度的條目寬度則以1 個(gè)波束寬度為單位進(jìn)行選取.條目寬度與KL散度之間的關(guān)系如圖6 所示,從圖6 中可以看出,出現(xiàn)位置概率密度的條目寬度越大KL 散度越大,當(dāng)條目寬度小于約0.4 個(gè)波束寬度時(shí),KL 散度趨于收斂.但是,條目寬度越小計(jì)算量也會(huì)增大,因此條目寬度的選取也不宜過小.為了計(jì)算方便,引導(dǎo)信息概率密度的條目寬度取值為0.1 個(gè)波束寬度.

圖6 條目寬度與KL 散度之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between item width and KL divergence

在波位編排優(yōu)化求解過程中,適應(yīng)度與迭代次數(shù)之間的關(guān)系如圖7 所示.

由圖7 可以看出,迭代次數(shù)大約為20 次時(shí),算法開始逐漸收斂,最終求得最優(yōu)解.三種波位編排方式中,低損耗點(diǎn)波位編排方式求解結(jié)果適應(yīng)度最高,列狀波位編排方式適應(yīng)度最低.

圖7 波位編排優(yōu)化求解中適應(yīng)度變化Fig.7 Change of fitness in the optimization of wave position arrangement

搜索策略計(jì)算過程中,在不同波位編排方式下的KL 散度距離的變化如圖8 所示.由圖8 可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,KL 散度距離逐漸減小,最終收斂,可以求出KL 散度距離的最小值.在三種波位編排方式下,低損耗點(diǎn)波位編排方式覆蓋率最大,求得的KL 散度距離最小;列狀波位編排方式覆蓋率最小,求得的KL 散度距離最大.因此,KL散度距離隨著波位編排覆蓋率的增大而減小,采用低損耗點(diǎn)波位編排方式求解出的KL 散度距離最小.

圖8 KL 散度距離變化Fig.8 Change of KL divergence distance

每一種搜索策略的KL 散度距離是不同的,通過捕獲概率與KL 散度距離之間的關(guān)系,如圖9 所示,分析各搜索策略的優(yōu)劣.

由圖9 可以看出,捕獲概率隨著KL 散度距離的增加而降低,KL 散度距離達(dá)到最小時(shí)可以獲得最優(yōu)捕獲概率;在相同的KL 散度距離下,交錯(cuò)波位編排方式和列狀波位編排方式的捕獲概率小于低損耗點(diǎn)波位編排方式,波位編排覆蓋率高的搜索策略,捕獲概率則越高.

圖9 不同搜索方法下的捕獲概率Fig.9 Capture probability under different search methods

2)性能分析實(shí)驗(yàn)

為了分析本文所提搜索方法的性能,對求解得到的搜索方法進(jìn)行目標(biāo)搜索仿真實(shí)驗(yàn).統(tǒng)計(jì)在一定的搜索波位數(shù)量的條件下,搜索方法能夠達(dá)到的捕獲概率;以及雷達(dá)在一定的檢測概率條件,搜索方法能夠達(dá)到的捕獲概率.

每次以固定搜索波位個(gè)數(shù)進(jìn)行搜索實(shí)驗(yàn),不同搜索波位個(gè)數(shù)下的捕獲概率如圖10 所示.由圖10可以看出,當(dāng)搜索波位較少時(shí),捕獲概率會(huì)隨著搜索波位數(shù)量的增加而變大,隨著搜索波位的增加,捕獲概率會(huì)收斂到某一值范圍不會(huì)有太大的變化.另外,交錯(cuò)波位編排方式和列狀波位編排方式的捕獲概率明顯小于低損耗點(diǎn)波位編排方式.由此可知,搜索波位越多搜到目標(biāo)的可能性就越大,即捕獲概率越大.

圖10 不同搜索波位下的捕獲概率Fig.10 Capture probability under different search wave positions

雷達(dá)中不同的參數(shù)設(shè)置對捕獲概率也會(huì)有不同的影響,由于雷達(dá)參數(shù)較多無法逐個(gè)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).雷達(dá)中大多數(shù)參數(shù)的改變會(huì)使雷達(dá)檢測概率發(fā)生變化,因此,為了研究雷達(dá)參數(shù)對捕獲概率的影響,通過改變檢測概率進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).設(shè)定仿真場景中的檢測概率為不同值,以同一種搜索方法分別進(jìn)行搜索仿真,得到捕獲概率的變化曲線,如圖11 所示.

圖11 不同檢測概率下的捕獲概率Fig.11 Capture probability under different detection probabilities

由圖11 可以看出,雷達(dá)對高超聲速飛行器的捕獲概率會(huì)隨著雷達(dá)的檢測概率增加而變大.在不同的波位編排方式下,列狀波位編排方式和交錯(cuò)波位編排方式的捕獲概率小于低損耗點(diǎn)波位編排方式.因此,由仿真結(jié)果可以看出,雷達(dá)檢測概率的提高能夠提高捕獲概率,但是,如果搜索區(qū)域的波束覆蓋率較低,雷達(dá)檢測概率的提高,對捕獲概率的改善并不是很大.

3)對比實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提方法與其他搜索方法相比具有更好的效果,分別與基于信息論的搜索方法[15]和傳統(tǒng)的幾何搜索方法[14]進(jìn)行比較.基于信息論的搜索方法,以信息熵最大為優(yōu)化目標(biāo),每搜索完一個(gè)波位都要通過計(jì)算求得下一個(gè)要搜索的波位,其目標(biāo)出現(xiàn)位置的概率密度分布通常假設(shè)為正態(tài)分布;傳統(tǒng)的幾何搜索方法有:平行搜索、隨機(jī)搜索和螺旋搜索,其目標(biāo)出現(xiàn)位置的概率密度分布通常假設(shè)為正態(tài)分布或均勻分布.

本實(shí)驗(yàn)中每種方法的引導(dǎo)信息包含的搜索區(qū)域是相同的,基于信息論的搜索方法假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)的概率密度為高斯分布,傳統(tǒng)的幾何搜索方法假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)的概率密度為均勻分布.波位編排分為優(yōu)化和未優(yōu)化的波位編排方法,都采用低損耗點(diǎn)編排方式,未優(yōu)化的波位編排方法如圖12 所示.在相同的仿真場景下,采用相同的雷達(dá)參數(shù),對同一個(gè)高超聲速飛行器軌跡進(jìn)行搜索仿真,各參數(shù)配置如前文所示.為了消除隨機(jī)性影響進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)100 次,仿真結(jié)果如表2 所示.

圖12 未進(jìn)行優(yōu)化的波位編排Fig.12 Arrangement of unoptimized wave position

表2 仿真結(jié)果對比Table 2 Comparison of simulation results

由表2 可以看出,由于未優(yōu)化的波位編排方式編排的波位數(shù)量多于優(yōu)化的波位編排方式,而且搜索波位的個(gè)數(shù)也多于優(yōu)化過的波位編排方式.另外兩種波位編排方式對搜索結(jié)果,即捕獲概率,沒有太大的影響.

本文所提方法相比其他兩種方法對高超聲速飛行器的捕獲概率提高了約23%～39%.基于信息論的動(dòng)態(tài)搜索方法,由于在搜索過程中不斷縮小搜索區(qū)域,所以其搜索波位個(gè)數(shù)較少,但是該方法對于不確定性較大的高超聲速飛行器來說,縮小搜索區(qū)域可能會(huì)漏掉目標(biāo),因此捕獲概率較小.傳統(tǒng)的幾何搜索方法沒有對搜索方式進(jìn)行優(yōu)化,使用傳統(tǒng)的搜索方式其捕獲概率也小于本文所提方法.通過比較可以知道波位編排優(yōu)化具有通用性,對文中提到的方法都可以使用,本文所提的方法主要在引導(dǎo)信息和搜索策略上優(yōu)于其他方法.本文所提的方法引導(dǎo)信息采用蒙特卡羅方法和非參數(shù)概率密度估計(jì)方法得到目標(biāo)位置分布的概率密度,比其他方法將目標(biāo)位置分布假設(shè)為高斯分布更加準(zhǔn)確,另一方面本文采用的方法使用的搜索策略與引導(dǎo)信息的匹配度更高,能夠按照目標(biāo)的分布規(guī)律進(jìn)行搜索.

5 結(jié)束語

針對高超聲速飛行器跳躍滑翔機(jī)動(dòng)帶來的觀測不連續(xù)問題,本文提出一種基于信息幾何的雷達(dá)搜索方法.首先利用預(yù)測區(qū)域的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù),通過非參數(shù)估計(jì)的方法得到搜索區(qū)域內(nèi)目標(biāo)位置分布的概率密度作為引導(dǎo)信息;然后,根據(jù)引導(dǎo)信息,按照搜索區(qū)域覆蓋率最大,波位重疊率最小的原則,建立了波位編排模型;最后,基于信息集合理論,將搜索策略建模為統(tǒng)計(jì)流形,通過改進(jìn)的遺傳算法,求解出統(tǒng)計(jì)流形上與引導(dǎo)信息最近的點(diǎn)即為最優(yōu)搜索策略.所提方法充分利用了引導(dǎo)信息,搜索策略與引導(dǎo)信息匹配度高,因此能夠達(dá)到較高的捕獲概率.在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了所提方法的有效性和可行性,對搜索方法進(jìn)行了性能分析,并與其他搜索方法進(jìn)行對比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提方法使搜索概率提高了23%～39%.