基于Shepard 插值殘差修正的TIN 模型預測高程異常

趙春艷

（1. 唐山市水利規劃設計研究院，河北 唐山063000）

隨著衛星定位技術的發展，高程測量方法由傳統的水準測量逐漸向GNSS測量轉變。如何實現大地高轉化為正常高是相關工作人員的研究熱點[1-3]。目前常見的數學模型有二次曲面模型、多面函數模型、最小二乘配置模型和半參數模型等，配合常用的重力場模型例如EGM96、EGM2008、EIGEN-CG01C，可以獲取厘米級的高程異常擬合成果，但上述數學模型均是在一定區域內構建總體模型，待定點計算的高程異常成果僅與其坐標值有關，未能與臨近已知點產生關聯[4-12]。針對上述問題，移動曲面模型可以根據待定點與已知點的距離定權進行擬合，但精度未有明顯提高，考慮到狄洛尼三角網（TIN）能夠對測區進行細化，本文使用TIN模型進行高程異常擬合計算，針對靠近三角形邊界的待定點，加入Shepard插值進行殘差修正。

1 高程異常的TIN模型

狄洛尼三角網是相互連接但互不重疊的三角形的集合，各三角形的外接圓均不包含其他點，建網時的步驟為：選取最西南方向一點作為起始點，與相鄰一點形成基邊；然后尋找第三點形成三角形；再以新生成的兩條邊分別作為基邊，繼續構建三角形，構建時應當滿足各三角形的外接圓均不包含其他點的條件。

在高程異常擬合中，狄洛尼三角網應當以已知點作為三角形頂點，布網結束后應確保所有待定點有且僅有一個所屬三角形。此時各待定點的高程異常值與其所屬區域有關，也與所屬區域頂點的高程異常值有關，可取待定點到三角形頂點的距離定權，則高程異常的TIN模型待定點高程異常計算公式如式（1）所示：

式中，ξ為待定點高程異常值；S1,S2,S3為待定點至頂點的距離；ξ1,ξ2,ξ3為頂點的高程異常值。

如上文所述，高程異常的TIN 模型存在待定點處于邊界時的不確定問題，因為TIN模型是根據待定點所屬區域確定其高程異常值，若待定點處于邊界附近，其與本區域的相關性就會降低，與鄰近區域的相關性提高，在式（1）中體現的就是待定點至頂點的距離明顯增加，導致高程異常值結果精度降低。針對此問題，考慮到Shepard 插值也是根據待定點與已知點的距離進行擬合，因此使用Shepard 插值對處在邊界上的待定點進行殘差修正。

2 基于Shepard插值殘差修正

Shepard插值的計算式如式（2）所示：

式中，n為使用的已知點的個數；ξi為已知點高程異常值；為待定點至已知點的距離的u次方，一般取2。

由式（2）可以看出，當n=3,u=1 且ξi與Si均取三角形頂點時，Shepard 插值就轉化為高程異常的TIN模型，即TIN模型是Shepard插值的一種局域化形式。通過限定Shepard 插值的參數達到根據待定點所屬區域確定其高程異常值的目的，但待定點存在處于三角形邊界的情況，且即使待定點處于三角形內部，只要待定點與三角形邊界距離足夠近，也會引起精度降低，因此本文提出基于Shepard 插值殘差修正方法，具體步驟如下：

當判斷待定點處在三角形邊界或鄰近邊界時，將鄰近邊界所在的三角形與待定點所在三角形拼接為四邊形，根據式（2）將四邊形的邊界作為已知點進行待定點高程異常值計算，即式（2）中n=4，u的取值由2～4 進行調整，以獲取最優的次數取值。通過基于Shepard 插值殘差修正方法，預期將處在三角形邊附近的待定點在四邊形內進行高程異常值擬合，以克服此類待定點精度較低的問題，下面將結合實例計算對本文提及的理論進行驗證。

3 工程概況

實驗數據選取文獻[13]中表1的數據，GNSS控制點共計24 個，選取其中的HM01、MH02、HM09、MH12、MH20 作為待定點，其余19 個點作為已知點，點位分布如圖1所示，其中紅色點表示待定點，黑色點表示已知點。X坐標由3 063 483.914～3 076 071.229 m；Y坐標由524 279.238～536 033.195 m；高程異常值由-19.226～18.999 m。根據狄洛尼三角網的劃分原則，將圖1 中的區域劃分為狄洛尼三角網。如圖2 所示，其中藍色標記區域為待定點區域，紅色標記區域為無待定點區域，下一步擬合值計算主要針對藍色標記區域進行，藍色標記區域編號為：W，X，Y和Z，其中W 區域待定點為MH20，X 區域待定點為HM01 和MH12，Y區域待定點為MH02，Z區域待定點為HM09。

圖1 點位分布

圖2 狄洛尼三角網劃分

4 TIN模型實例驗證

各待定點區域的三角形邊界點如表1 所示，由于圖2 中可以看出HM01 處在鄰近邊界上，其點位標記已與邊界線重合，因此將XK 的聯合區域也作為待定點區域，以便后續使用Shepard插值進行殘差修正。

表1 三角形邊界點

使用TIN模型中式（1）對待定點進行高程異常值計算，同時為方便比較，使用二次曲面擬合模型對待定點也進行計算，計算成果如表2所示。

表2 二次曲面與TIN對比/m

對比真誤差，W 區域的MH20 與X 區域的MH12在TIN模型中有明顯的真誤差減小，由3 cm以上降低到2 cm以下，Y區域的MH02和Z區域的HM09在TIN模型中真誤差降低一個數量級，由厘米級降低為毫米級。觀察圖2 中的區域劃分，可知以上4 點均未與三角形邊界點重合，雖然W 區域的MH20 與Y 區域的MH02 點位與邊界線鄰近，但點位標記存在一定的半徑，實際點位與邊界線仍有一定的距離；X 區域的HM01 其點位標記與邊界線出現重合，導致其TIN 模型的擬合精度相對于二次曲面反而降低，說明在該點擬合中，二次曲面的整體擬合效果優于TIN模型的局部擬合效果，因此該點所在區域的局部選取存在不足，需要對其進行殘差修正。

5 Shepard插值殘差修正實例驗證

以上內容驗證了TIN 模型中存在的弊端，針對此問題結合本文的理論基礎，將HM01在XK區域內進行重新計算，計算時對距離u的次數分別取2，3，4，計算成果如表3所示。

表3 HM01點Shepard插值殘差修正/m

當u的次數增加時，Shepard插值的真誤差逐漸減小，在u=4 時降至亞mm級，說明本文使用的Shepard插值的殘差修正對TIN模型的邊界點有較好的真誤差修復效果，將待定點在邊界線上的情形轉化為鄰近三角形拼接，在四邊形中進行Shepard 插值計算更符合該種待定點的特性，修復后的TIN 模型與未修復的TIN模型、二次曲面模型對比曲線如圖3所示。

圖3 真誤差對比

計算3種模型的平均相對誤差如表4所示。

表4 平均相對誤差對比

本次實例計算中，選取區域較小，因此待定點數量有限，改進的TIN模型精度提升不明顯，若在大區域中使用本文的方法，則隨著邊界線上的待定點增加，改進的TIN模型的效果會逐漸增大；在未進行改進時，TIN 模型也優于常規的二次曲面擬合模型。需要注意的是，TIN模型在計算前需要進行三角網劃分，使得該方法在大區域擬合中會降低計算效果，因此應當權衡精度與成本，選取合適的高程異常擬合模型。

6 結 論

本文由TIN 模型入手，驗證了其在高程異常擬合中相較于常規模型的優勢，針對該模型存在的缺陷，結合與之原理近似的Shepard 插值法進行了殘差修正，結果表明Shepard插值法能有效克服TIN模型中待定點處于邊界線上的缺陷；Shepard插值法隨著其距離次數u的增長，真誤差逐漸減小；待定點使用改進后的TIN模型后真誤差由0.019 52 m降低為0.000 7 m，最終平距相對誤差為0.036%，由于常規二次曲面的0.124%與未改進的TIN模型的0.055%。在實際使用中應注意，實際點位劃分很難嚴格遵循狄洛尼三角網的劃分原則，如何尋找一種更優的三角形劃分方法，是下一步研究的重點。