基于“函數主題”教學的《冪函數》教學思考

福建省三明市永安市第一中學 徐來艷 賴紹生

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱“課程標準”）實施建議中明確指出教師“不僅關注每一節的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標，明晰這些目標對實現數學學科核心素養發展的貢獻”。課程標準還提出“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續和階段性發展”。貫徹落實新課改的主陣地——課堂教學是發展高中生數學核心素養的關鍵所在。本文通過對《冪函數》教學的思考，與老師們探討如何進行主題教學，從而啟發學生的數學思維，凸顯知識間的聯系。

一、問題的提出

高中數學從知識上看盡管內容豐富，但本質上是一個互相聯系的整體，不同知識、不同單元之間都有著實質性的聯系。在高中必修第一冊中，函數主題是最重要的主題。本文選自人教社2019 版《普通高中教科書數學必修第一冊人教版》第三章第三節，是函數的概念性質后的第一個基本初等函數的學習，既是之前函數知識的延續也是后續學習的基礎，起著承上啟下的作用。“上”與整個學期教學目標相連，“下”與課時教學任務相接。作為“函數主題”教學里的第一個基本初等函數教學，對于學生基本初等函數知識的整體建構起了非常重要的作用。一方面要深度分析函數性質內涵，通過具體冪函數把函數的性質外顯，另一方面要探索基于核心素養的“主題教學”落實策略，從而探究出如何在課堂上讓核心素養落地、生長和發展的規律。

二、圍繞“函數主題”探索教學策略

必修第一冊中“函數主題”教學是整冊書的重要主線，應積極探索以函數概念、知識為主題的教學內容、建立函數思想方法為主題的教學目標。在這個指導思想下，本文嘗試教學緊扣知識本質、細化教學目標、恰當探究活動設置，讓知識在活動探究中生成，讓方法在交流中形成，讓數學核心素養在數學學習中滲透并養成。本文嘗試通過課堂教學實踐逐步形成函數主題教學的一般模式：“看—想—說—寫”。“看”即學會用數學的眼光觀察世界，“想”即學用數學的思維分析世界，“說、寫”即用數學的語言描述世界。通過開展主題教學，關注知識背后的數學思想、數學方法之間的融會貫通，從而啟發引導學生進行深度學習，把握知識之間的邏輯線索，進一步加強學生在數學實踐活動中運用數學知識的能力。

三、課堂展示

1.情境創設探尋規律。

客觀世界中有著各種各樣的運動變化現象，例如天宮二號在發射過程中，離發射點的距離隨時間的變化而變化；我國高鐵營運歷程逐年增加，已突破2 萬公里……。所有這類問題都表現為變量間的對應關系。在數學中，這類關系常常用函數模型來描述，并且通過研究函數模型來把握相關的運動變化規律。函數是貫穿高中數學的一條主線，是解決數學問題的基本工具。本章課本從三個具體實例引發大家的思考。這三個問題貫穿整個單元的教學，突出函數主題核心知識，揭示函數本質規律，讓學生學會用數學的眼光觀察。

創設情境引入新課：

國慶剛過，我們來一起欣賞一下各地的國慶煙花秀吧！（課件展示）

設計意圖：新課標要求課程內容要結合學生的年齡特征和學科特點有機融入社會主義核心價值觀，培養學生的社會責任感和實踐能力。這就要求數學課堂需要挖掘其育人價值，實現課堂“教”“育”。本節課通過國慶煙花秀的播放，引導學生用數學的眼光來觀察世界，觀察分析煙花綻放形成的軌跡，引出函數圖像性質的學習，同時借此機會培養學生的愛國熱情，鼓勵學生將來通過所學積極投入到祖國需要的各行各業，為祖國的建設獻出自己的力量。

問題情境探尋規律：

閱讀課本（《2019 人教版普通高中教科書》P89）五個問題。

思考1：以上問題中函數的解析式有什么共同特征？能否找到一般形式？

設計意圖：充分利用教材，指導學生學會數學閱讀，并能夠用數學的眼光來看問題。同時解決數學問題需要通過聯想，把問題與它相關聯的數學知識進行化簡化歸。由于學生自主進行類比、聯想、化歸的能力較弱，因此教師的適當啟發引導就非常重要。指導學生閱讀課本，教師引導幫助學生更深地認識和把握數學知識之間的聯系，并學會用數學的眼光觀察世界。通過情境引入，充分調動學生的學習積極性，引發學生思考，為本節內容做好鋪墊。

2.探索新知揭示本質。

冪函數定義：閱讀課本P89，并在課本標注出冪函數概念。形如：y=x（aa∈R），其中x是自變量，a是常數。

設計意圖：對于數學概念的學習，學生常常不重視，沒有深入理解概念本質與內涵，教師要指導學生充分發揮課本的價值，課本是標準，同時規范自己的語言表達和習慣。

探究活動一：冪函數的圖像

讓學生利用所學過的方法通過小組合作探究的形式，探索冪函數圖像，最后讓學生匯報探究成果并展示。

思考2：結合以往學習經驗，如何研究冪函數？從哪些角度入手？

思考3：如何畫出一個函數的圖像？（分組討論，合作交流）

教師引導學生應用函數的性質畫圖像，如：定義域、奇偶性；

學生利用所學知識和方法嘗試作出五個具體冪函數的圖像，觀察圖像，體會冪函數圖像的變化規律。

設計意圖：

冪函數的定義來自于實踐，它是一種基本初等函數，與接下來要學習的指數函數、對數函數一樣是一種“形式定義”，引導學生注意概念辨析，并指導學生學會用數學的思維來分析。

前面已經學習過一次函數、二次函數的圖像畫法和性質學習，因此在冪函數性質的學習時指導學生應用類比、聯想的方法，對后續學習其他基本初等函數的有關知識有著非常重要的意義。

3.小組合作探索本質。

探究活動二：冪函數的性質

思考4：觀察函數圖象并結合函數的解析式，y=x-1，分組討論探究歸納冪函數的性質以及在第一象限的圖象變化規律，將你們發現的結論討論交流，寫在表格內：

解析式 y=x … y=x-1定義域值域奇偶性單調性過定點

設計意圖：教師在教學時，課堂教學目標中以數學知識為載體堅持素養導向，依據發展學生核心素養的要求教師選擇和組織學習素材，通過創設情境和任務驅動等方式，將學生分組。分組探究冪函數的性質可以讓學生在學習和交流中形成理性思維，在數學觀察中學習，在數學交流中成長，從而發展學生的數學核心素養。小組成員各抒己見，通過互相討論相互學習進而歸納出冪函數的有關性質。指導學生學會用數學的思維分析問題，從而用數學的語言表達問題。

4.范例分析應用新知。

類型一、冪函數的概念

典例1（1）已知冪函數f（x）=xa的圖像過點（），則式子4a的值為（ ）

（2）已知函數f（x）=（3-m）x2m-5是冪函數，則

思考5：求解析式的方法有哪些？怎么選擇恰當的方法？

設計意圖：學生在概念學習之后，需要時間將概念內化，所以在概念教學中就要求“慢工出細活”，通過概念應用，給學生緩沖的時間，采用啟發式教學，引導學生分析問題，用自己的語言進行辨析，幫助學生內化概念，引導學生鞏固冪函數的概念，同時幫助學生建構求函數解析式的一般方法。

類型二、冪函數的圖象及應用

典例2（1）如圖的曲線是冪函數y=xn在第一象限內的圖象，已知n分別取四個值，相應的曲線C1，C2，C3，C4對應n依次為（ ）

思考6：冪函數圖象在第一象限規律如何？（在第一象限作直線，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上順序，冪指數按從小到大的順序排列）

類型三、利用冪函數的單調性比較大小

典例3已知則（ ）

A.b

C.b

思考7：兩個數比大小的方法有哪些？

設計意圖：引導學生學以致用，形成數學應用的意識。學生在積極探索思考冪函數圖象性質規律的過程中，培養和滲透數形結合思想，養成良好的數學思維習慣。

類型四、函數圖象的應用

典例4畫出函數的圖象，并判斷函數的奇偶性，討論函數單調性。

典例5 利用圖象判斷方程解的個數

思考8：對未知函數該如何畫出大致圖象？（描點法？平移法？變換法？……如何選擇適當的方法）

設計意圖：讓學生學會思考，學會知識的遷移與應用。教師指導學生在函數單元的學習中，養成畫圖用圖的良好習慣，滲透數形結合的數學思想方法，引導學生養成積極思考的思維習慣，形成數學思想方法，不斷總結提升，并學會用規范的數學語言表達，進而提升數學素養。通過題型的歸類，為后續整個函數單元學習進行學法指導。

5.歸納小結、鞏固新知。

學生總結：

從知識上本節課學習了冪函數的概念及五個常見冪函數；同時學習了冪函數圖象及其性質，以及簡單應用；從數學思想方法上本節課主要有數形結合、歸納、類比等。

教師補充：

本節課同學們通過自主學習、合作交流，探究冪函數圖象與性質應用的規律和方法；通過學習，提高了探索實踐與合作交流的能力，歸納冪函數的圖象性質提升學生的數學抽象、邏輯推理素養；同學們積極參與、大膽探索、敢于質疑的科學精神，在今后的學習生活中都是寶貴的財富。

6.課后作業、學以致用。

必做題：課本習題3.4 綜合運用1、3

探究題：

用你喜歡的形式寫成數學小論文，班級交流討論。

設計意圖：通過課本作業鞏固所學新知識；通過對新函數的圖象性質的探究與發現，鞏固學習方法，培養科學探索精神。

四、課后反思與評價

1.關注學情，合理設置學生活動。

我們的課堂希望大部分學生都能有所收獲，而不是讓課堂成為優等生的舞臺。因此適當地探索對學生的發展是有幫助的，讓同學匯報探究結果能很好地激發學習熱情，但對于學習能力較弱的同學可能沒辦法完成，這堂課處理成探究課對學生的觀察力、總結能力都有著較高的要求，對一些基礎薄弱的學生來說就顯得有些力不從心，本節課的探究活動相對比較簡單，學生通過小組討論積極思考合作探究，讓學習能力相對弱一些的同學也能找到成功的體驗，進而提高學習積極性與學習效率。

2.關注課堂動態，及時調整課堂節奏。

數學課堂是個動態的課堂，我們面對的是不同的學生，學生的思想不是一成不變的，因此就要求教師有著良好的應變能力，當學生產生我們意料之外的行為時，要及時處理，同時調整接下來的步驟，而不能不管不顧仍按部就班。

在引入課題前，適當介紹函數的發展，這樣設計可以吸引學生的注意力，激發學生的好奇心和求知欲，滲透數學文化，培養數學素養，但不能過多渲染，否則會把數學課堂變成文學課堂。小組交流與合作探究是本節課知識發現與形成的重要部分，教師用了大量的時間和精力引導學生進行探究與歸納，冪函數的圖像與性質是本節課的重點，也是難點。學生對冪函數在第一象限的圖像規律的得出存在困難，教師通過引導思考，創設合理探究活動，符合學生的思維發展特點，降低了難度。

在課堂小結環節學生不僅從數學知識，還從數學方法、數學思想方面談到了自己的收獲，教師適時點評，可以引出下節課應用知識，同時可以引導學生思考該如何應用所學知識與方法探索發現新函數的圖像性質，寫成小論文的形式，是數學寫作的嘗試與探索，對培養學生的科學探索精神有著積極的意義。

3.關注學生，實現高效課堂。

本節課采用小組合作的教學模式，探究韻味濃厚。從問題的提出到問題的解決學生積極參與深度學習與交流，探究結果讓學生上臺暢所欲言，把探究的方法與同學共享，教師適時的進行分析與總結。

同時注意到課堂不應該只是枯燥的學習和計算，讓學生進行發言，一方面，可以提高學生的語言組織能力，提升學習數學的信心；另一方面，學生通過發言和總結可以進行數學方法和解題經驗的交流，讓學生不僅學會用數學的眼光看世界，同時學會用數學的思維來分析時間，更要學會用數學的語言來表達世界。

教師是課程與教材的主導者、使用者、創新者，要深刻領會新課程理念，把握好新教材，遵循學生學習的一般規律。根據課程實施的水平目標，新教材確立了若干個教學主題，教師教學時以主題為線索，開發和重組相關的教學內容，進行連續課時單元教學的教學方式，體現學習領域水平目標達成的針對性、知識技能教學的連貫性和生本化、生活化等特性，將平時的教學活動置于具體的生活情境之中，對學生知識技能的意義建構非常有意義，重視學生技能的綜合運用的實踐體驗，提高學生理解和運用知識和技能的能力和意識。