基于包絡法的冗余機器人運動可靠性研究

丁力，谷加輝，周金宇，康紹鵬，陳逸飛，李子依

(1.江蘇理工學院 機械工程學院，江蘇 常州 213001；2.金陵科技學院 機電工程學院，江蘇 南京 211169)

0 引言

機器替人是未來制造業的發展趨勢，是實現工業智能化、數字化和自動化的保障。其中，工業機器人是智能制造的重要基石，它能顯著提高生產效率、降低勞動成本[1]。實際生產中，機器人的制造、裝配、疲勞磨損等因素會給本體帶來幾何誤差[2]，從而導致末端執行器的實際軌跡與預定軌跡存在誤差。另外，關節摩擦間隙、測量噪聲及惡劣的服役工況也會進一步放大上述軌跡跟蹤誤差，從而降低機器人作業精度。機器人運動可靠性能夠定量評估末端執行器實際位姿滿足定位精度要求的程度，為評價機器人質量和修復機器人性能提供理論依據。

不確定性的描述方法主要包括概率法、區間數理論及模糊理論[3-4]。王偉等[5]考慮了尺寸誤差和間隙誤差對機器人運動軌跡的影響，基于4階矩估計法得到了PUMA560機器人的位置可靠性，結果表明該算法比一次2階矩估計法快了3～4倍，但結果精度易受樣本數量的影響。潘敬鋒等[6]綜合了鏈傳動、桿長和關節角3種誤差因素，分別采用大數據法和試驗法統計了隨機變量分布特征，對噴涂機器人4種不同軌跡進行了可靠性分析，發現試驗與仿真聯合分析法具有更高的分析精度，缺點是只考慮失效概率密度最大點的誤差，忽略了軌跡其他點造成的影響。文瑞橋等[7]將連桿長度、連桿轉角和關節轉角作為變量，利用包絡法計算出了末端軌跡在3個位置上的時變可靠性，但沒有分析不同誤差精度對可靠性的影響。Wu等[8]采用稀疏網格數值積分法和鞍點逼近法，評估了工業機器人單坐標、單點、多點和軌跡精度的可靠性，通過4個仿真實例驗證了該方法在精度和效率上的綜合優勢，不足之處在于該方法只適用于一些特殊的誤差模型。張春宜等[9]等以柔性機器人為例，提出了基于智能算法的先進極值響應面法，研究了機器人動態可靠性，克服了極值響應面法求解可靠性效率慢的缺點，同時還保證了該算法在精度上與蒙特卡洛模擬(MCS)法相一致。

本文針對上述問題，采用包絡法來分析機器人末端執行器的運動可靠性，并給出了評價綜合位姿運動可靠度的指標。以7軸冗余機器人為例，分析連桿長度、連桿偏距和關節角對機器人末端軌跡的影響，采用1階泰勒公式對誤差函數近似處理，基于概率法獲得末端失效模型，然后采用包絡法將時變運動可靠性問題轉換成時不變運動可靠性問題，通過多維正態積分計算出可靠性評價數值。通過仿真算例，驗證了包絡法計算機器人運動可靠性的可行性。

1 機器人運動學

本文研究的7軸冗余機器人虛擬樣機如圖1所示。圖1中，X0、Z0為基坐標系，Xi、Zi(i=1～7)為第i關節的坐標系，X8、Z8為末端坐標系(機械手長度100 mm)，dj(j=2～7)為Xi-1移動到Xi的距離，a3為Z3移動到Z4的距離，a4為Z4移動到Z5的距離。

圖1 7軸冗余機器人三維模型圖Fig.1 Schematic diagram of 7-DOF redundant robot

采用改進的D-H參數法[10]獲得機器人的結構參數，如表1所示。

表1 7軸冗余機器人的改進D-H參數Tab.1 Improved D-H parameters of 7-DOF redundant robot

表1中：θmax和θmin分別為關節角轉動上限和下限，關節8為虛擬軸，實際上并不轉動(θ8=0°)，其作用是更加快捷地得到機械手的位姿，從而便于實際操作。

相鄰關節i-1到i的位姿變化可由齊次變換矩陣描述，即

(1)

根據正向運動學[11]可得機器人末端位姿矩陣為

(2)

式中：R為姿態矩陣；P為位置向量；x、y、z為機器人末端位置；rm1、rm2、rm3(m=1，2，3)分別為X8、Y8、Z8在基坐標系中的投影(Y8可根據右手準則建立)，代表機器人的姿態。

(3)

2 誤差函數以及運動可靠性模型

2.1 誤差函數

機器人運動可靠性可定義為其末端執行器在指定區間內實際輸出的軌跡落在許用誤差范圍內的概率[12]。如圖2所示：若機器人末端執行器軌跡(如青色曲線)控制在許用誤差邊界內則有效；若有超出誤差帶的情況(如紅色曲線)則失效。

圖2 機器人末端運動軌跡圖Fig.2 Kinematic trajectory of robot end-effector

一般而言，幾何誤差是影響末端精度的主要因素，故本文借鑒文獻[13-14]的研究成果，假設連桿長度、連桿偏距和關節轉角存在幾何誤差，并且都服從正態分布，變量之間也相互獨立，則末端執行器位姿誤差描述為

gj(X,θ)=ψj(X,θ)-ψj(θ)

(4)

由于隨機變量標準差的量級遠小于各變量均值的量級，故誤差函數可以通過1階泰勒式[15]在X的均值μ處展開

gj(X,θ)≈aj0(θ)+aj(θ)·(μ-X)

(5)

將服從正態分布的X轉化為服從標準正態分布的U，即

(6)

則(5)式可改寫為

gj(U,θ)≈Lj(U,θ)=bj0(θ)+bj(θ)·U

(7)

式中：bj0(θ)=aj0(θ)；bj(θ)=(aji(θ)σi)n×1，aji為aj的第i個元素，σi為Xi的標準差。

2.2 運動可靠性模型

工程實際中，機器人的關節變量是與時間相關的，故可以將(4)式中的末端執行器位姿誤差轉換成與時間相關的函數。以末端執行器的x位置為例來闡述運動可靠性模型的推導過程。當運動時間t∈[to,te]時，設置運動的起始和終止時間分別為to和te，并指定運動公差為ε。當t∈[to,te]時，可定義x位置的運動可靠性模型為

Rx(to,te)=Pr{|g1(X,t)|≤ε,?t∈[to,te]}

(8)

則其對應的失效概率模型可表示成

Pfa(to,te)=1-R1(to,te)=
Pr{|g1(X,t)|>ε,?t∈[to,te]}

(9)

同理，可得機器人末端執行器的綜合位姿可靠性模型為

(10)

機器人末端執行器的綜合位姿失效概率模型為

(11)

3 包絡法

3.1 包絡方程

(12)

當Δt→0時，有

(13)

(14)

從(14)式第2個等式中，可得

(15)

將(15)式代入(14)式的第1個等式，可得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

圖3 Lj(U,t)=ε在的展開點Fig.3 Expanded points of Lj(U,t)=ε at

U可以改寫成

(21)

式中：c為1個常數。將其代入(20)式的第1個等式，得

(22)

從而解得c為

(23)

(20)式的第2個等式變成

(24)

(25)

同理，G-(U)=0的表達式為

(26)

展開點為

(27)

(28)

為了使得可靠性模型更加精確，還要考慮to和te兩個端點，則最終的運動可靠性模型為

(29)

(30)

3.2 可靠性評估

根據L(U,t)服從正態分布的特性，可靠性數值可以通過計算展開點的均值μL和協方差矩陣Σ得到：

R(to,te)=Φ(ε,μL,Σ)

(31)

式中：Φ(·)為標準正態分布函數；μL的計算公式為

μL=(s(tu)μL(tu))1×v=(s(tu)bjo(tu))1×v

(32)

協方差矩陣Σ的第c行第d列元素為

σcd=s(tc)s(td)b(tc)b(td)

(33)

需要說明的是，協方差矩陣Σ必須是正定的，并且行列式不能太龐大，否則不利于直接積分。當協方差矩陣Σ不滿足上述條件時，可通過排除失效概率較小的冗余點使矩陣達到滿秩狀態[17]。失效概率的計算公式為

(34)

(35)

新的協方差矩陣Σ′的第c行第d列元素為

σ′cd=s(t′c)s(t′d)b(t′c)b(t′d)

(36)

最后，機器人末端執行器運動可靠性計算公式為

(37)

4 仿真算例分析

4.1 仿真條件

以7軸冗余機器人為例，模擬汽車天窗的裝配任務，假設機器人起始位姿分別為Po=[525 mm，172 mm，-34 mm]T和Ao=[-121°,-31°,-21°]T，終止位姿分別為Pe=[611 mm，-93 mm，143 mm]T和Ae=[-174°，-69°，-16°]T，采用雅克比偽逆法[18]計算出起始和終止關節角分別為θo=[-150，229°，7°，134°，-121°，109°，37°]和θe=[-174°，195°，-11°，124°，-97°，84°，-2°]。進而利用5次多項式規劃出2 s內的機器人關節角運動軌跡，并通過正向運動學獲得機器人末端執行器從起始點到終止點的運動軌跡，如圖4所示。

圖4 機器人目標軌跡Fig.4 Robot target trajectory

為計算該軌跡的運動可靠性，需要結合冗余機器人3種變量的均值及其標準差，如表2所示。

表2 誤差變量的均值和標準差Tab.2 Mean and standard deviation of error variables

以MCS法的計算結果為基準，引入等效極值法[19]與包絡法比較，測試兩種算法獲得機器人運動可靠度的能力。仿真中，設定誤差半徑為1.4 mm，通過MCS法模擬2×105條末端執行器隨機運動軌跡，并在圖5中給出第2 s時刻的末端執行器位置誤差圖。從圖5中可以看出，只有216個三維末端隨機點落在了誤差球外，表明所選取的誤差半徑較為合理。這里需要指出的是，通過這種方法可以獲得合適的誤差半徑來確定仿真的初始條件。

圖5 隨機的末端點Fig.5 Random end points

4.2 運動可靠性驗證

圖6為3種算法獲得的機器人末端執行器位置可靠度。從圖6中可以看出，包絡法與MCS法的求解結果基本吻合，而等效極值法相對其他兩種方法精度略低，導致這種現象的原因是等效極值法只考慮了失效概率密度最大的點，忽略了軌跡其他點的失效情況。

圖6 末端執行器位置可靠度Fig.6 Reliability of robot position

表3統計了3種算法在參考精度分別為0.2 mm、0.4 mm和0.6 mm時獲得的機器人末端執行器位置可靠度。從表3中可以看出，隨著參考精度的增大，3種算法獲得的失效率降低，但包絡法獲得的失效率明顯比等效極值法更接近MCS法的結果；當機器人末端位置方向上的參考精度為0.6 mm時，包絡法較于MCS法的相對誤差分別為1.2%、1.8%、0.4%，而等效極值法較于MCS法的相對誤差分別24.0%、26.7%、29.4%。以上結果表明包絡法在計算位置可靠度方面具有較高的準確性。

表3 位置可靠度Tab.3 Reliability of position

圖7給出了包絡法獲得的機器人末端執行器運動失效率與對應MCS法獲得失效率的差值。從圖7中可以看出，包絡法與MCS法的差值整體上隨著位置參考精度的增加而變小，其中80%左右的數據都集中在±4×10-3區域，表明包絡法的魯棒性較好。

圖7 包絡法相對于MCS法的位置可靠度誤差Fig.7 Position reliability error of envelop method

利用3種算法評估機器人末端執行器姿態運動可靠度，仿真結果如圖8所示。從圖8中可以看出，包絡法獲得的失效率曲線與MCS法基本一致，在參考精度為0°～0.06°范圍內，包絡法的求解精度要明顯優于等效極值法。這可能是因為等效極值法在處理姿態運動可靠性時沒有考慮點與點之間的相關性，從而導致了全局求解精度的下降。

圖8 機器人姿態角可靠度Fig.8 Reliability of robot attitude

表4給出了3種算法在參考精度分別為0.02°、0.04°和0.06°時的姿態角失效率。數據顯示各算法的失效率均隨著參考精度的增長而降低，當參考精度為0.02°時，以MCS法的計算結果為基準，包絡法獲得姿態角失效率的相對誤差比等效極值法分別低了3.9%、29.6%和10.1%。進一步說明相對于等效極值法，包絡法具有較好的求解精度。

表4 姿態可靠度Tab.4 Reliability of attitude

圖9為包絡法與MCS法在參考精度為0.00°～0.14°范圍內時獲得的姿態運動失效率差值。圖9中曲線表明，當參考精度為0.05°～0.12°時，包絡法與MCS法的最大差值可達-4.5×10-2，但其余部分的差值都集中在-2×10-2～0內，表明了包絡法具有較好的魯棒性。

圖9 包絡法相對于MCS的姿態可靠度誤差Fig.9 Attitude reliability error envelop method

另外，在評估機器人末端執行器運動可靠性時，MCS法所需計算時間為4 657 s，包絡法所需計算時間為1 543 s，等效極值法所需計算時間為1 526 s。由此可以看出，包絡法的計算效率雖不及等效極值法，但也與它接近，故在綜合考慮計算效率和求解精度的前提下，使用包絡法來評估機器人運動可靠性是較為合適的。

最后，用上述包絡法求得關于時間的末端軌跡展開點來計算綜合位姿可靠度。需要指出的是，姿態誤差對綜合位姿誤差影響遠不及位置誤差，故接下來只分析綜合位置可靠度。由于綜合位置誤差函數不服從正態分布，難以靠多維正態積分求得可靠性結果，故將包絡法獲得的位置展開點近似為綜合位置誤差的展開點，進而可通過(37)式計算出綜合位置失效率。由于綜合位置誤差對應的協方差矩陣維度較高，采用直接積分法效率較低，故換用改進條件邊緣乘積(I-PCM)算法[20]來提高運算速度，結果如圖10所示。從圖10中可以看出：在失效率大于0.4時，包絡法與MCS法的差值隨著失效率的降低而減小，而等效極值法與MCS法的差值隨著失效率的降低而增長；在失效率小于0.4時，包絡法與MCS法的差值為0～0.03，相對誤差率為1%～42%，而等效極值法與MCS法的誤差為0～0.15，其相對于MCS法的誤差為39%～78%。以上結果表明等效極值法在求解綜合位置誤差上的精度遠不如包絡法。另外，盡管包絡法在高失效率區與MCS法存在一定的偏差，但它在低失效率區內能表現出較高的求解精度。

圖10 機器人綜合位置可靠度Fig.10 Integrated position reliability of robot

5 結論

本文以7軸冗余機器人為研究對象，用概率學方法建立了機器人運動軌跡的誤差模型，并基于包絡法得到該軌跡的運動可靠性。得出主要結論如下：

1) 在機器人正向運動學的基礎上，以概率學方法建立軌跡的運動誤差模型，并結合機器人參數變量正態分布的特點，使用1階泰勒公式線性化誤差函數，極大地減小了計算量。

2) 以MCS法計算的可靠度為基準，包絡法獲得的位姿失效率結果比等效極值法更接近于MCS法獲得的結果；在綜合位置失效率低于0.4時，包絡法相對MCS法的誤差為1%～42%，而等效極值法相對MCS法的誤差為39%～78%，表明包絡法具有較高的求解精度和魯棒性。

3) 在效率方面，包絡法、等效極值法、MCS法計算運動可靠性的總時間分別為1 543 s、1 526 s和4 657 s。綜合求解精度和計算效率，包絡法是評估機器人運動可靠性的最佳方法。

在今后的研究中，會研究其他如并聯機器人、混聯機器人、特種機器人的運動可靠性。同時，還將研究機器人變量服從非正態分布時的運動可靠性。