基于結構化數學教學的深度學習探究

吳秋香 福建省廈門海滄區青礁小學

數學常常被稱為“結構的科學”，因為它結構嚴謹，環環遞進，任何一個環節缺漏都會導致學生認識上的障礙而難以進行后續學習。深度學習是指在教師的引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。基于結構化教學的深度學習探究，教師應明確把握知識的本質，理解知識內涵，引導學生聯系現實問題情境，積極參與、深度體驗、合作探究等積累活動經驗，會用結構化的思想和數學的眼光去觀察世界、分析世界和表達世界，會用數學的思維解決現實生活中的問題。因此，教學中要準確把握教材的整體結構，著力在關聯、遷移、重組中積極實施結構化教學，促成學生深度學習的發生。

一、整體關聯，讓學習深度發生

數學學科知識具有很強的邏輯性和嚴謹性，但由于課堂教學的需要，教材都是把這些知識分割成一個個獨立的教學內容，知識的呈現以螺旋式上升為主，存在序列性、遞進性的特點。如果教師對教材體系和知識本質把握不到位，學生學習就會出現表面化、淺層化、困難化的形式。因此，在教學上要把這些獨立的、零散的知識內容整合成一個穩定的知識結構，分析其本質屬性并溝通其聯系顯得尤為必要。結構化教學強調全面把握教材的整體結構，關注教材的橫向關聯、縱向關聯，將不同年級、不同學段的相關教學內容進行整合，由點帶面，織面成網，形成知識體系，從而讓學生在數學學習過程中不斷完善知識結構，促進學生的深度學習。

（一）橫向關聯

橫向關聯就是利用不同知識之間的內在聯系，用聯系的眼光，把零散的、碎片式的、雜亂無章的知識點多維度地審視和建構。教師引導學生抓住“一條主線”，根據當前的學習經驗去聯想、調動、激活以往的經驗，以融會貫通的方式組織學習內容，這樣有利于學生深入理解知識，整體建構知識體系，形成網狀的知識結構，從而實現深度學習。

例如，以五年級上冊的“多邊形的面積復習課”教學為例，長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積計算公式，看似相互獨立，實則相互關聯。為了幫助學生厘清它們之間的關系，建立平面圖形面積計算的知識結構，教師提出：1.把平行四邊形割補成長方形，什么變了，什么不變？2.三角形和梯形的公式為什么要除以2？

課堂上教師留給學生足夠的時間去獨立思考，在合作探究后集體交流，在同學間的相互傾聽、反思、討論中，有的學生在同學的相互補充與啟發下，能夠明白如果以梯形的面積計算公式（S=（a+b）×h÷2）為“軸”，如果梯形的上底縮小為0（b=0），就成為一個三角形，所以三角形面積S=a×h÷2；如果上下底一樣長，就變成了平行四邊形（長方形或正方形），所以面積S=a×h或S=a×a（如圖1所示）。

這樣，通過公式梳理，萬象歸一，學生能夠感受到數學知識結構的統一美，同時啟迪了思維，促進了學生的深度學習，從而打通知識間的內在關聯，形成一個知識網絡。

圖1

（二）縱向關聯

布魯納指出：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構。”布魯納特別強調掌握知識內部的基本結構對于學生深度學習的重要作用。在小學數學教學中，數學知識的四個領域的內容分別編排在教材的不同階段，教師不僅要橫向對比教材，還要縱向對比教材，立足于知識體系，引導學生進行知識的聯結和建構，引導學生去聯想、調動、激活以往的經驗，引導學生深度學習，關聯知識之間的結構。

例如，教學六年級下冊總復習“常見的量”。“常見的量”在小學階段知識點有很多，這些知識點是雜亂、零散的，1～6 年級全部有分布，即使經過梳理，學生也很難掌握。復習時可以提出核心問題引導學生獨立思考，合作探究長度單位、面積單位、體積單位、質量單位、時間單位之間的關聯，最后再集體匯報交流。教師根據學生的匯報制作成表，通過圖表的展示及學生間的思維碰撞，溝通對比不同量之間在計量的步驟、過程、標準的一致性，即“先確定計量標準（定標準）；然后用這個標準去測量需要測量的對象（去測量）；最后數一數有幾個這樣的標準量（得結果）”，打通它們之間的內部結構。學生在教師的引領下，帶著問題深入探究，縱向溝通面積單位之間的聯系，橫向溝通長度單位、面積單位、體積單位之間的關聯，使之整體化、結構化，從而使學生自我建構知識之間的聯系，加深對數學整體性和結構性的認識，培養學生思維的邏輯性和嚴謹性。

指向結構化的課堂，不僅要重知識“求聯”，也要重思維“發展”，讓學生感受到知識結構化和數學的力量，達到以結構化促進課堂效率的提升。同時也要精準研讀學生，提升學生思維與品質，讓學習的深度真正發生。

二、遷移類比，讓學習深度發生

遷移和類比是深度學習中常用的學習方式，解決的是學科知識向學生個體經驗轉化的問題。結構化教學注重教材知識編排的邏輯關系，強調將學習到的知識舉一反三，主張將熟悉的經驗、規則、方法遷移到新的情境中，為學習相似的、關聯的問題自然地進行正遷移。

（一）方法遷移

學生有著與生俱來的好奇心和探究欲望。面對新的學習情境，面對具有挑戰性的學習任務，學生的學習積極性往往更加高漲，自主探究的熱情也更加持久。數學教材將知識內容按照螺旋式上升編排，有許多知識內容之間具有相似性，教師在教學中要讓學生把熟悉的學習方法或知識結構遷移到相似的學習任務中，有利于學生自主探究、自主建構，有利于學生的深度學習。

例如，教學“兩位數乘兩位數”時，由于學生已經學習了多位數乘一位數，因此大部分學生能利用已有知識計算“42×12”，因為兩位數乘兩位數的計算方法與多位數乘一位數的計算方法在算理上是一致的，不同的是一個因數由一位數變成了兩位數。但是，學習僅僅止于學生會算是不夠的，教師應適時地追問：“這樣的計算你們以前學過了嗎？”“沒學過為什么都會了？”引導學生去思考已有舊知與新知的聯系，深入思考兩者之間的異同處。學生會在思考交流中發現：用兩位數乘兩位數的方法能解決三位數乘兩位數的問題，方法都是相通的，都要逐位計算。“那如果第一個因數變成了四位數、變成了五位數，怎么辦呢？”“千位上的數也要乘，萬位上的數也要乘”“不論第一個因數有幾位，都要依次去乘。”學生不再停留在計算兩位數乘兩位數，而是通過深入剖析舊知與新知之間的聯系，將方法繼續遷移，從而實現一節課走向一類課，由一類課走向一節課的雙向跨越。緊密的知識點融為一體，讓學生在層層遞進的遷移過程中建構知識體系，收獲學習成功的體驗，實現深度學習。

（二）結構遷移

數學知識具有很強的內在邏輯性，許多同類知識具有相似的學習結構。教師在教學中要善于捕捉知識點之間相同的學習結構，并遷移到新的學習任務中，為學生開拓獨立自主的探究空間，促進學生學習的深度發生。

例如，教學“乘法交換律”時，由于乘法交換律與加法交換律的學習結構極其相似，因此，教師可以將二者結合起來。教師要厘清運算的本質，“數源于數”，比如，加法交換律、乘法交換律，為什么可以交換？加法交換律的本質是：改變加數位置，和不變。教學時可借助數數活動，兩堆物體，不管先數甲堆還是先數乙堆，合并起來總數總是一樣的；乘法交換律的本質是：改變乘數位置，積不變。借助數數活動，先數每行個數乘以行數或先數每列個數乘以列數，總數不變。因此，教師要從加法交換律的教學過程中提煉出“觀察算式—仿寫算式—解釋規律—表述規律—應用規律”的學習結構，并引導學生將該學習結構遷移到乘法交換律、分數的基本性質、小數的基本性質、比的基本性質的學習中，這將為學生架設起自主探究的“腳手架”，為學生留足自主探索的空間，為學習的深度發生提供強有力的支撐。

再如，教學“分數乘整數”時，學生對于“求一個數的幾分之幾為什么用乘法”總是存在疑惑，教材設計借助數量關系：一桶水的質量×桶數=總質量，所以一桶水重3 千克，一桶水的就是3 千克的也用乘法計算。教學時，可以借助直觀圖讓學生看到：把3 千克水平均分成四份，其中的一份就是3 千克的其實也可以看成3 個這樣就把一個數的幾分之幾為什么用乘法納入到原有的乘法意義的體系中：求幾個相同加數的和的簡便計算可以用乘法。

借助比較，發現不管是分數乘法、小數乘法還是整數乘法，都可以劃歸為表內乘法，只是計算單位不同。通過這樣“結構式”的教學，幫助學生進行前后知識的聯系，將數學知識串成線，潛移默化地指導學生的思維，讓學生學會思考，提升學生的數學素養。

三、重組教材，讓學習深度發生

結構化教學主張在全面把握教材的整體結構及邏輯脈絡的基礎上對教材內容進行調整及組合，通過教材的重組讓教學更符合學生的認知規律，讓學生的學習深度發生。

（一）調整順序

教材知識的編排順序通常是從易到難、螺旋式上升的，但有的知識因受到負遷移的影響，較難實現知識的同化。此時若能調整教材的呈現次序，為學生制造認知沖突，打破原有的認知平衡，則更有利于學生實現知識的遷移，達成對知識的深度建構，促使學習深度發生。

例如，在教學人教版四年級下冊“小數的加、減法”時，教材例題1 的兩道題（6.45+4.29 和6.45-4.29）都是兩位小數的運算，學生雖然能算對，但并不一定理解算理，可能有部分學生受到負遷移，會誤以為小數加、減法也可以“末位對齊”。例題2 的兩道題（6.45+8.3 和8.3-6.45）存在小數數位不同的問題，如果將例題2 前置，當學生的計算出現分歧，即爭論到底是末位對齊還是小數點對齊時，學生原有的認知平衡將被打破，迫使其改造已有的知識或經驗，建立新的認知平衡，順利地實現知識的遷移，較好地建構新知，實現對知識本質的深度認識。

（二）整合課時

結構化教學強調在寬廣的知識背景中自主探究、主動建構，強調知識的網狀結構。對于相似度高、容易混淆的教學內容，可以把它們整合在一個課時，并提供豐富的學習素材，讓學生在深度的思考、激烈的爭辯中實現知識的自我建構，促進學習的深度發生。

例如，人教版四年級下冊“三角形”的教學中安排了三角形的認識（概念、各部分名稱、底和高）、三角形的穩定性、兩點之間的距離、三角形的三邊關系、三角形的分類、三角形的內角和、四邊形的內角和的知識。按“概念”“特性”“邊”“類”“角”這樣的順序編排，看似合理。但仔細思考這些課時，發現應將知識間橫向并聯、并列的內容整體呈現。在教學過程中，我們發現在探究“三角形的高”時，對于鈍角三角形的三條高沒辦法展開討論，因為學生還未學習三角形的分類；在對三角形分類教學時，還未學習三角形的內角和，對直角三角形和鈍角三角形解釋也不夠，這樣的教學有點“不通”“不透”的感覺，無法讓學生深度學習。基于這樣的考慮，我們可以對本單元的課時進行整合，單元內容前置性學習，大概念統整，把單元內容縱向打通，形成結構，從整體上把握教材。

表1 單元課時整合教學框架

總之，實現學生的深度學習，教師要用整體關聯的思想去理解教材，掌握知識間的縱向與橫向聯系；教師要用遷移的思想去讀懂教材，將知識間的方法結構進行遷移同化；教師要用重組的思想去把握教材，在把握教材的整體結構及邏輯脈絡的基礎上對教材內容進行調整及組合。教師要有意識地從整體上認識和把握教材，解析教材，提煉核心知識，讓學生“見樹木，更見森林”，采用關聯、遷移、重組進行“結構化”的引導。學生不斷運用舊知識建構新知識的成長過程，有利于他們形成結構化的認識，從而實現他們的深度學習。