利用一維波動方程模型解析海洋駐波的運動軌跡

張春玲 施圳 胡松 程靈巧

摘? 要：CINEMA 4D（簡稱C4D）是由德國Maxon Computer公司出品的一款三維軟件，其具有行業公認的強大建模、渲染、動畫功能，且配合XP粒子可以模擬流體和自定義波浪和海洋。另外，隨著MATLAB的功能的日趨完備，其在海洋實際問題中的應用也越來越廣泛。文章以海洋駐波為例，通過推導一維波動方程進行其運動軌跡的可視化，然后結合C4D的XP粒子海洋模擬模型，借助于CINEMA 4D和MATLAB進行運動軌跡的可視化建模驗證，從而探討其對應的物理意義。

關鍵詞：C4D R21;XP-particles;MATLAB;可視化;海洋駐波

中圖分類號：TP391.9 ? ? ? ?文獻標識碼：A文章編號：2096-4706（2022）03-0095-03

Analysis on the Motion Trajectory of Ocean Standing Wave by the Model of One-Dimensional Wave Equation

ZHANG Chunling， SHI Zhen， HU Song， CHENG Lingqiao

（College of Marine Sciences， Shanghai Ocean University， Shanghai? 201306， China）

Abstract： CINEMA 4D （short for C4D） is a 3D software produced by Maxon Computer in Germany， which is recognized as having powerful modeling， rendering and animation functions， and it can simulate fluids and custom waves and oceans with XP particles. In addition， with the increasingly complete function of MATLAB， it is becoming more and more widely used in marine practical problems. This paper takes the ocean standing wave as an example， carries out its motion trajectory visualization by deducing one-dimensional wave equation， and then combines XP particles ocean simulation model of C4D， carries out the visualization modeling validation of motion trajectory with the help of CINEMA 4D and MATLAB， so as to explore its corresponding physical significance.

Keywords： C4D R21; XP-particles; MATLAB; visualization; ocean standing wave

0? 引? 言

計算機語言最初是為了解決數學問題而誕生的，在物理模型和數學計算要靠手算的年代里，前沿科技的進步是緩慢的。二十世紀五六十年代開始，隨著電子技術的飛速發展，計算機進入大型機時代，一些高級語言被逐漸開發出來主要用于系統級編程和數學計算，例如Fortran，COBOL，C++，BASIC等。當人們發現上述的計算機語言已經不能滿足科研的需要時，又特化出一系列如MATLAB這種的工程類編程語言。隨著MATLAB的商業化，很快被應用于矩陣運算的教學，并且開發作者Liitle和Bangert對初版MATLAB做了許多重要的修改提高，其中最重要的是函數、工具箱和圖形化[1]。從簡單的計算器開始，到目前已成為一個富有生命力的計算系統，支持著各個領域的技術實現。

海洋數理基礎是一門入門困難，但是真正掌握后能化枯燥為神奇的學科。在復變函數的學習中，有些人甚至會選擇直接放棄，而有些人也能通過磨礪堅持到了最后。那么如果通過MATLAB結合C4D具體地刻畫所學的內容，并讓學生能夠應用的話必能吸引同學學習的興趣，在這條真理之路上走得也會相對輕松。C4D與實驗整合的物理情景創設的意義在于，“C4D”是英文CINEMA4D的縮寫，最初是由Maxon Computer開發的一款三維軟件，可以將實驗不具備的微觀的宏觀的無法模擬和展示、無法暫停或快進實驗的某一個過程、三維空間的實物與平面上物體的轉換困難等問題解決掉，利用其輔助實驗是非常有必要的。相比其他視覺特效軟件，C4D多出了一個動力學模塊功能[2]，擁有真實的力的作用效果，如模擬風力，同時也可以模擬各種形變、碰撞、摩擦等，也可以表現這些物質的動態變化，物體的顆粒感等視覺。結合XP粒子，便可以模擬海洋波浪等動力學效果[2]。

X-Particles是用于Maxon的Cinema 4D的功能齊全的高級粒子和VFX系統。其獨特的行動規則系統可以完全控制粒子模擬。XP粒子液體和顆粒求解器使我們能夠創建令人驚嘆的大型和小型流體模擬，本次實驗中運用到了XP粒子中的xpocean插件，它可以模擬出一片永不衰減的海洋模型，用于模仿真實的海洋觀測。

在學習數學物理方程的過程中，“不知有何用”的想法容易減少學生的學習動力，因此結合計算機軟件，可以使得課程教學效果有顯著提升。本文以海洋駐波為例，用MATLAB繪出其運動軌跡圖像，并且跟C4D中XP粒子的海洋模擬建模相結合，從而佐證由MATLAB推得圖形的可信度。

1? 一維波動方程方程解析海洋駐波的運動軌跡

海洋中存在各種形式、各種時空尺度的波動現象，而根據波形是否傳播又可以分為行波和駐波[3，4]。在數學上，駐波對應于有限邊界條件下的波動方程，并可以通過分離變量法來求解，其傅里葉解的形式為無窮級數，既無限多個正弦波或余弦波的疊加[5]。因此，海洋中的駐波可以被化簡為一維線性波動方程來研究。假設有一根長度為L質量為M的繩，其兩端受力，取一微元dx，質量為

ρ是繩子的密度。如果繩子保持平衡，那么右邊軸力減去左端軸力N（x）等于繩子微元產生的慣性力，即：，兩邊同除以dx，可以得到。而軸向線應變，使得方程變化成：，等價于。通過邊界條件列出以下方程式：

（1）

假設初始位移，初始速度為0，通過計算可得：

（2）

首先定義方程式中x與t函數的取值范圍，x=[0：1/50：2]，t=[0：1/10：10]，然后用MESHGRID設為一個x0和t0的矩陣，令un為u（x，t），利用for-end循環函數表達累加，最后用plot函數畫出隨著t（時間）的增長un的變化曲線，如圖1所示。由圖可見，在任意固定時刻，每個位置點的振幅呈等差數列疊加，并且對于固定的位置點，振幅隨時間均有明顯的周期變化，其變化周期與規律符合真實的海洋波動規律。

通過反復實驗得出：系數跟波長成正比，通過改變方程的系數可以調整波長到實驗所需的長度。一維波動方程是以弦振動模型推導而成的，然而在現實中的波浪往往要考慮更多的因素，例如海風，海流等對波浪造成的影響。結合實際來說，海洋駐波的圖像也和建立的波動方程模型有所區別。是否一維弦振動方程能夠模擬出海洋駐波的模型需要更多的海洋觀測數據和實驗。現階段僅僅借助MATLAB的功能是不夠的，我們需要借助C4D強大的構建力學模型的力量，給我們帶來跟現實最接近的海洋模型進行分析。

運行代碼：

clc;

clear all;

close all;

x=[0：1/50：2];

t=[0：1/10：10];

[x0，t0]=meshgrid（x，t）;

a=1;

un=0;

for n=1：100

un=un+（16./（n.^2*pi.^2））.*sin（n.*pi/2）.*cos（n.*pi.*a.*t0/2）.*sin（n.*pi.*x0/2）;

end

plot（t，un）

2? 海洋駐波軌跡驗證

首先使用新的生成器xpOcean創建逼真的海面。調整波浪高度、風速等參數。再在軸心處建立一個立方體。賦予這個立方體材質和碰撞體積，用約束效果把立方體的軸心約束到海洋模型的表面，把強度調到百分之百，并且把立方體的位移關閉。這樣這個立方體就變成了海洋波浪表面的跟蹤器，再把這個立方體等比縮小到一定大小。如果這個正方體足夠小，就可以看作海洋駐波的一個微元，以此為標準記錄Y坐標的變化并畫出圖像，看與MATLAB所畫圖像是否相似，如圖2所示。

得益于C4D和XP粒子提供的強大海洋模型和漂浮效果，我們可以觀察到較為真實的海上波浪。通過觀察正方體的運動軌跡可以發現并不是有規律的上下波動，上浮的幅度比下沉的幅度要高得多，且遇到的波浪大小決定了立方體波峰和波谷的長度。因此我們采用一個周期的時間，來觀測立方體遭遇一個波浪的運動軌跡。

通過C4D中對立方體Y軸坐標的度數記錄下來并繪制成駐波曲線，如圖3所示，可以看出，模擬曲線與實際解的可視化運動軌跡非常相似，但是波峰和波谷振幅的幅度并不一致，因此海浪模擬曲線并不是關于X軸對稱的一條曲線。

其誤差產生的根本原因有兩個，一物體在隨著波浪運動時會受到Z軸方向的力，就會導致它的軸線產生微小的偏移，導致軸心發生轉動，間接對測得的結果也會產生影響。二是海浪和弦振動不同之處在于，弦振動在向下振動時是不受外力影響的（空氣阻力可以忽略不計），然而當我們把X軸看作水平面時，波浪向水平面以下的點做運動時就會受到來自水平面以下沿程阻力損失。若把水流看作一個管道，向下運動的波浪進到大的海流里面，會產生一定規模的渦流，因此可以看做成突擴管道模型，其必受到局部阻力損失。

運行代碼：

clc;

clear all;

close all;

x=[0.386，-2.9，-3.5 ，-4.9， -5.59， -6.09， -5.382， -4.98， -3.418 ，-2.207，-0.789，1.938，3.606，5.781，8.838，9.314，7.431，4.464，2.728，1.04，-0.85];

t=[0：20];

c = polyfit（t， x， 2）;

d = polyval（c， t， 1）;

plot（t， x， ‘r’）;

因此海洋駐波的運動軌跡除了根據一維弦振動建立模型以外還要考慮流體力學的相關知識。模型的建立必定會有誤差的產生，為了盡力減小誤差直至推導出近乎完美的海洋駐波運動軌跡，還需要多跟現實中海洋觀測得到的數據進行逐一分析，逐一比對。

3? 結? 論

對于簡單復變函數的圖像來說，MATLAB確實可以準確畫出其在三維的圖像。它可以幫助學生理解，掌握復變函數的抽象物理意義。另一方面，它可以通過一維波動方程圖像便捷實現，形象地刻畫海洋運動現象，而且與模擬海洋的波動方程非常相似，并且能夠展現實際與數模的不同之處和相對誤差，即，真實的海洋駐波雖然是建立在一維弦振動方程的基礎上的，但是還需要結合流體力學的知識才能完全模擬。可惜C4D這款軟件跟MATLAB不兼容，因此C4D每一幀所測得的數據不能直接導入到MATLAB中，這就會造成數據誤差。希望未來會有兼容MATLAB的海洋力學模擬軟件或者是聯通C4D和MATLAB的插件出現。這樣就能讓學生更直觀，沉浸地學習物理海洋學或是流體力學的知識，并在軟件的學習和應用中培養抽象思維，提高對流體和波浪的理解。

參考文獻：

[1] 李冰，吳迪.將MATLAB軟件在高中數學教學中進行推廣的幾點設想 [J].電腦知識與技術，2014，10（13）：3033-3034+3036.

[2] 楊常炳.C4D與實驗整合的物理情景創設實踐研究 [D].重慶：西南大學，2021.

[3] 馮士筰，李鳳岐，李少菁.海洋科學導論 [M].北京：高等教育出版社，2010.

[4] 侍茂崇，高郭平，鮑獻文.海洋調查方法 [M].青島：青島海洋大學出版社，2000：329.

[5] 姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等.數學物理方程講義：第3版 [M].北京：高等教育出版社，2007.

作者簡介：張春玲（1981—），女，漢族，山東德州人，講師，博士，研究方向：海洋數據分析研究;通訊作者：程靈巧（1985—），女，漢族，浙江臺州人，講師，博士，研究方向：海洋動力學研究。