異步切換下切換系統的動態輸出反饋保成本控制

李同彬, 高 娟

(1. 哈爾濱師范大學經濟學院，哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱師范大學數學科學學院，哈爾濱 150001)

0 引言

作為一類重要的混雜系統，切換系統由若干個子系統以及一個協調各子系統之間切換的切換策略構成[1]。許多現實世界的過程、工程和社會系統都可以建模為切換系統，如化學過程、計算機控制系統、能源管理、航空航天和空中交通管制。近年來，切換系統受到了廣泛的關注，切換系統的穩定性分析和鎮定問題已被廣泛研究[2–7]。然而，在實際應用中，系統不僅要穩定，還要保證足夠的性能水平，這就是保成本控制問題。保成本控制最早由Chang 和Peng[8]提出，保成本控制的主要思想是設計一個控制器來穩定系統，并給出二次型成本函數的一個上界。到目前為止，已經有很多關于切換系統的結果，動態輸出保成本控制器已經在文獻[9—10]中被設計出來，文獻[11—12]研究了最優保成本控制問題，文獻[13]研究了具有事件觸發策略的不確定切換線性系統的狀態反饋控制。許多方法被用來解決保性能控制問題，如Lur’e-Postnikov 形式的Lyapunov 函數[14]、線性矩陣不等式(LMI)[15]和Riccati 不等式[16]。值得注意的是，上述所有關于保性能控制問題的結果主要集中在非切換系統上。事實上，關于切換系統的保成本控制問題[17–18]的研究比較少。正如文獻[19]指出，切換系統的保性能方面的研究并非易事。

另一方面，在實際操作中，需要花費一些時間來識別子系統，并在切換瞬間應用匹配的控制器。因此，子系統和控制器之間不可避免地存在異步切換。許多學者對異步切換系統進行了研究[20–25]。因此，研究異步切換下切換系統的保性能控制問題具有挑戰性和實用價值，這促使我們開展本研究。

本文研究了一類切換系統在異步切換下的動態輸出反饋保成本控制問題。首先，利用分段Lyapunov 函數方法和平均駐留時間技術，得到了動態輸出反饋保成本控制器存在的一個充分條件。然后，基于所得到的條件，構造期望的動態輸出反饋保成本控制器。此外，還解決了保成本優化問題。最后，給出了一個仿真實例證明所提出方法的可行性和有效性。

1 問題描述及引理

考慮如下切換系統

其中0

注1 0

考慮如下的動態輸出反饋控制器

對系統(1)定義二次性能指標

其中Q和R為給定的正定加權矩陣。

將控制器(2)應用于切換系統(1)，得到下面的閉環切換系統

其中

定義1[26]如果存在常數δ ≥1 和λ>0，使得系統(1)的解滿足

則稱閉環切換系統(4)的平衡點x?=0 是指數穩定的。

定義2 對于系統(1)，如果存在控制律u(t)和一個正數J?，使得閉環系統(4)是指數穩定的，并且閉環性能指標(3)滿足J ≤J?，則J?稱為切換系統(1)的一個性能上界，u(t)稱為切換系統(1)的一個保成本控制律。

定義3[27]給定常數τa>0, N0≥0 和任意的T2>T1≥0，若不等式

成立，則稱τa為切換信號σ(t)的平均駐留時間，其中Nσ(T1,T2)為切換信號σ(t)在時間區間(T1,T2)上的切換次數，N0為顫抖界。

引理1(Schur 補引理) 給定一個適當維數的對稱矩陣

引理2[28]如果存在函數ψ(t)和φ(t)滿足

那么

其中η>0, γ>0, t ≥t0。

本文的主要目標是設計動態輸出反饋控制器u(t)，使得閉環切換系統(4)是指數穩定的且閉環性能指標(5)有一個性能上界。

2 主要結果

首先給出閉環切換系統(4)存在動態輸出保成本控制律的充分條件。

那么對于任意平均駐留時間滿足

的切換信號，閉環切換系統(4)是指數穩定的，其中μ≥1，則

此時，閉環性能指標(5)的上界為

證明 選擇下面的分段李雅普諾夫函數

沿著系統(4)的軌跡求導可得

由(10)式和(11)式，可得

對(17)式的兩端進行積分，得

由(13)式，有

令T?(0,t)和T+(0,t)分別表示系統在時間區間[0,t]上的匹配時間和不匹配時間。由(18)式和(19)式，當t ∈[tk?1+?k?1,tk+?k)時，得到

注意到

可得

由定義3，有

又注意到

其中

結合(23)式和(24)式，可得

根據(12)式，可以得出系統(4)是指數穩定的。

接下來，我們尋找閉環性能指標(5)的一個上界。由(10)式和(11)式，可得

其中Φ(t)=ξT(t)?ξ(t)。由引理2，有

由(27)式，當t ∈[tk?1+?k?1,tk+?k)時，令

我們可得

又V(t)≥0，可得

由(21)式，可得那么，結合(30)式和(31)式，可得

進一步，由定義3 和(12)式，如下不等式成立

因此，可得到

令t →∞，得到

注2 定理1 中，我們需要找到一個滿足(13)式的常數μ ≥1。事實上，如果μ足夠大，它一定滿足(13)式。可以如文獻[18]使用矩陣特征值方法來尋找，或者利用文獻[23]的線性矩陣不等式方法來尋找。

下面，給出動態輸出保成本控制器的線性矩陣不等式求解方法。

其中

則對于任意的平均駐留時間滿足(10)式的切換信號，閉環切換系統(4)是指數穩定的且閉環性能指標(5)的上界是

控制器增益為

其中Mi和Ni滿足下面條件的非奇異矩陣

證明 定義矩陣Pi和它的逆矩陣為

定義如下變量

不等式(45)可簡寫為

注4 可以看出來一個小的α有利于(37)式的可行性，一個大的β有利于(38)式的可行性。于是，在上述算法中，可以選擇一個小的α和一個比較大的β保證(37)式和(38)式的可行性。

定理2 給出了設計動態輸出保成本控制器的方法。下面的定理將給出優化成本上界(41)的控制器設計方法。

定理3 對于系統(1)和性能指標(3)，如果下面的優化問題

證明 由定理2 可知，定理3 中的(i)和(iii)是顯然的。由引理1，線性矩陣不等式(49)等價于x(0)TGix(0)<γ。由式(41)，即J?<γ。線性矩陣不等式優化問題(48)的凸性確保了全局最優。

3 數值仿真

下面給出一個數值例子來驗證本文結論的正確性。

考慮由兩個子系統組成的切換系統(1)，子系統矩陣參數為

取α= 3.2, β= 11.2, ?= 0.1。性能指標(2)的加權矩陣Q=R=I。解線性矩陣不等式(36)和(37)式，并根據(43)式計算矩陣Mi和Ni，可得控制器增益為

解線性矩陣不等式(38)得到Pij，由(39)式得μ=1.652 5。計算可得

圖1 給出子系統和控制器的切換信號。圖2 和圖3 分別描述的是開環系統和閉環系統在初始值x(0) = [1,0.8]T下的狀態曲線?？梢钥吹經]有控制的系統是不穩定的，在設計的動態輸出反饋控制器下的切換系統是穩定的。相應的閉環成本上界為J?= 7.927 1。解定理3 中的優化問題，可得次優化成本上界為J?=0.353 7。

圖1 切換信號

圖2 開環系統的狀態響應

圖3 閉環系統的狀態響應

4 結論

本文研究了異步切換下切換系統的動態輸出反饋保性能控制問題。基于分段Lyapunov 函數方法和平均駐留時間技術，我們得到了保性能動態成本控制器存在的一個充分條件。利用線性矩陣不等式設計了動態輸出反饋保性能控制器，并給出了成本上界的優化方法。最后，數值仿真算例表明了本文方法的有效性。