平面幾何中與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題

崔懷勝

【摘要】動點(diǎn)和最值的綜合問題是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，很多學(xué)生遇到此類問題時(shí)不知道如何下手.因此，教師有必要在復(fù)習(xí)階段引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地將常見的動點(diǎn)和最值的綜合問題進(jìn)行歸類分析和深化探究，使之掌握解決此類問題的基本思路和常用方法.

【關(guān)鍵詞】平面幾何;動點(diǎn)問題;最值問題;中考真題

平面幾何中的動點(diǎn)和最值綜合問題常常出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)各類試題中，而且多以壓軸題的面目示人. 難度大，分值高，讓諸多基礎(chǔ)差的學(xué)生望而卻步.動點(diǎn)問題就是在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或幾個(gè)可移動的點(diǎn)，探尋移動點(diǎn)的幾何關(guān)系的問題.平面幾何中最值問題大都?xì)w于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”和“三角形兩邊之差小于第三邊”等模型.掌握解決動點(diǎn)和最值綜合問題的基本思路，舉一反三.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐優(yōu)選幾道2022年中考真題對如何解決動點(diǎn)和最值綜合問題進(jìn)行探討.

1一個(gè)動點(diǎn)

例1如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF.連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值.

解如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥AC，過點(diǎn)D作DH⊥FM于點(diǎn)H，

易證△ABE≌△AMF，

則AM=AB=4，

CM=AC-AM=1，∠AMF=90°，

故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最小.在△CMJ與△CDA中，

所以Rt△CMJ∽Rt△CDA，

所以Rt△CMJ∽Rt△DHJ，

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由題意可知，∠DAE=∠RAF，

所以△ADE≌△ARF，

所以∠ARF=∠ADE=90°

故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最小.

由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90°，

故四邊形DQRK是矩形，

所以DK=QR，

注本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.單個(gè)動點(diǎn)問題相對容易解決，但是有時(shí)也需要結(jié)合題意轉(zhuǎn)變思路.

2兩個(gè)動點(diǎn)

解因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

根據(jù)勾股定理得

由翻折知

由旋轉(zhuǎn)知EF=EG，

所以點(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，EG為半徑的圓上，

所以B′G的最小值為B′E-EG，要B′G最小，則EG最大，即EF最大，

因?yàn)辄c(diǎn)F在AD上，所以點(diǎn)在點(diǎn)A或點(diǎn)D時(shí)，EF最大，

注本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱線的性質(zhì)，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離最值問題，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

3三個(gè)動點(diǎn)

例3如圖6，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，且BE⊥DC.

（1）求證：四邊形DBCE為菱形;

（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P，M，N分別在線段BE，BC，CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值.

解（1）證明：略;

（2）作N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N′，過D作DH⊥BC于H，

由菱形的對稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N′在DE上，所以

PM+PN=PM+PN′，

所以PM+PN≥MN′，

因?yàn)镈E∥BC，

所以MN′的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，

在Rt△DBH中，

∠DBC=60°，DB=2，

注兩個(gè)或三個(gè)動點(diǎn)類型的問題是一個(gè)動點(diǎn)問題的“加強(qiáng)版”，屬于初中數(shù)學(xué)中的高難度試題，常與實(shí)際問題結(jié)合設(shè)問.解決此類問題，我們要結(jié)合數(shù)學(xué)知識來尋找多個(gè)動點(diǎn)之間的幾何關(guān)系和函數(shù)關(guān)系，讓動態(tài)問題變成有規(guī)律可循的靜態(tài)問題.