“畫”說解決問題 構建數學模型
——以《植樹問題》為例

文 管茂堂

植樹問題是一類典型的應用問題，是一種應用廣泛的數學模型。植樹問題的數量關系比較復雜，解決問題的基礎是理解除法的意義，核心是正確分析段數與棵數之間的關系。學生在解決植樹問題時，常常難以進行有效的數量推理，本教學中是借助圖畫突破這個難點，引導學生認識數量關系，選擇正確的計算方法。畫圖既是解決問題的手段，也是實現教學目標的抓手。

【教學過程】

一、畫圖初建數學模型

師：今天我們要學習植樹問題，關于植樹問題，你們有什么問題要問嗎？

生：什么是植樹問題？

生：為什么要學習植樹問題？

出示：在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？

1.數據分析，猜測結果。

師：讀一讀，在題中你讀到哪些信息？誰來說一說？

生：100米是一共的長度，5米是兩棵樹之間的距離。

生：一邊指的是路的左邊或者右邊。

生：兩端都栽是起點和終點都要種。

師：猜測一下，你覺得要種多少棵樹，怎樣列式？

生1：100÷5=20（棵）。

生2：100÷5+1=21（棵）。

生3：100÷5+2=22（棵）。

師：這些方法有什么相同的地方，有什么不同的地方？

生：相同的地方都用100除以5，不同的地方有的不加、有的加1、有的加2。

2.化繁為簡，畫圖驗證。

師：到底是+1？+2？還是不加呢？我們可以用什么方法來驗證？

生：可以畫線段圖來驗證。

師：你準備怎樣畫呢？

生：我們用一條線段來表示100米，每隔5米種一棵，照這樣畫下去。

師：其他同學怎么看？你們有什么好的建議嗎？

生：我們可以先想20米長的路種樹是什么情況。

師：這個建議真不錯。當我們用大的數據來尋找規律比較麻煩時，可以考慮先用小的數據找找規律，再推廣到大數據中去。我們先截取100米中的一小段來研究，這種方法能夠——化繁為簡。

師：請各自在作業紙上畫圖，看一看，你有什么發現？

師：這是第一位同學的畫法，你們怎么評價？

生：這幅圖與條件不符，沒有平均分完，總長與段數不符合。

生：總長20米，5米種一棵，種那么多肯定超過20米了。

師：這是第二位同學的畫法，你們怎么評價？

生：這也不對，圖中有5個5米，總長應該是5×5=25米了。

師：每隔5米種一棵，現在這幅圖畫的總長是多少米？怎么修改？

生：去掉一小段。

生：保留四段。

師：（畫對的學生）你是怎么想的，怎么畫的？

生：總共20米，5米分一段，所以一共只能分成4段。

師：那樹有幾棵呢？

生：5棵。

師：怎么得到的？

生：數出來的。

3.一一對應，分析規律。

生：也可以分析出來，棵數比段數多1棵。

師：你是怎么想的？

生：第一棵樹對應第一段，第二棵樹對應第二段……最后一棵沒有對應的段，就是多出的那棵。

師：用對應的方法思考問題，真好。誰聽懂了？

師：在畫圖的基礎上，你能列式來表示這個分析的過程嗎？

生：20÷5=4（段），4+1=5（棵）。

生：20÷5+1=5（棵）。

師：這兩個算式都能看懂的同學請舉手。誰來試試解釋算式的意義？

生：20除以5，表示把20米5米5米地分，可以分4次，就是4段路。4+1是因為樹的棵數比路的段數還要多1，最后1棵樹沒有對應的路段。

4.反復驗證，總結規律。

師：我們得到了棵數比段數多1或者說段數比棵數少1的結論。這個規律是不是普遍存在？可以推廣到更長的距離中嗎？

師：大家各自截取一段路，再畫一幅圖。看看是否還是這樣的規律？

出示學生畫的圖：

生：其實不用畫圖也可以。現在的段數比棵數少1，如果再增加一段，就要再種一棵樹，這樣一直增加下去，段數始終比棵數少1。

生：我們還可以這樣想，無論你畫多少，第一棵對應第一段，倒數第二棵對應最后一段，最后還有一棵，因此，段數總比棵數少1。

師：我們通過畫圖發現了規律，用推理解釋了規律，現在我們可以得到的一個重要的結論——

生：段數+1=棵數。

師：現在你知道前面的三種算法，哪一種是對的？

師：如果列出一個綜合算式，怎么列？

生：100÷5+1=21（棵）。

師：表示什么意思？

生：總長÷間距+1=棵數。

師：類似的問題，如果小路長1000米，兩端都種，可以種幾棵？

生：1000÷5+1=201（棵）。

師：我們再來看前面交流的另外兩種算法，一種是不加，一種是加2，你覺得題目怎么改動一下，這樣算就可以？

生：也可以第一棵不要種，只要一端種樹一端不種就可以了。

師：你們的意思是，一端不種一端種的情況下，段數=棵數。

師：那有沒有什么情況下，棵數等于段數加2呢？

生：沒有，棵數不可能比段數多2。

生：棵數可能比段數少1，就是兩端都不種的情況。

小結：植樹方式不同，棵數與段數之間的關系就不一樣。

【設計意圖：畫圖發現數量之間的關系是解決問題的關鍵。讓學生獨立思考，通過畫圖分析數量關系、利用關系，把求棵數的問題轉化為求段數的問題。求段數的方法是唯一的，即除法中包含除的意義。學生經歷了觀察現象、形成猜想、推理驗證、結論變式、解決問題的過程，這種過程性的思維經驗是可以遷移的。】

二、運用數學模型畫圖解決問題

出示：一盒9響鞭炮，從聽到第一聲爆炸聲開始計時，到第二聲響起時，經過2秒鐘。當聽到最后一聲響起時，一共經過幾秒鐘？

師：老師帶領大家做一個小游戲。對著鐘面，當秒針走到1時，拍一下掌，表示鞭炮的響聲；5秒后走到2時，再拍一下掌；走到3時……走到9時，拍最后一下。現在，你能把剛才玩的放鞭炮游戲畫下來嗎？

生：我是從鐘面的1開始，到9結束，每個數字代表一次響聲。

生：我把鐘面拉直后，從1開始，數到9，一共隔了8個5秒。

生：我發現數字相當于樹，9個數字就是9棵樹，一共有8段，每段是5秒，所以一共是40秒。

生：我是用方程來做的。我把總時間當作總長，每個數字當作樹，5秒當作間隔長。根據總長÷間距+1=棵數，可以得出：總秒÷間距秒+1=響數。列出方程：x÷5+1=9。

師：那你們知道生活中還有哪些也是植樹問題嗎？

生：敲鐘也是植樹問題。

生：還有排隊問題，人就是樹，人與人之間的距離就是間隔長。

【設計意圖：引導學生結合畫圖，在圖中找出鞭炮問題和植樹問題的關聯：聲音是“樹”，兩響之間的間隔時間就是間隔長。進一步讓學生舉例生活中的植樹問題，如裝路燈、排隊、敲鐘等，真正建立數學模型思想。】

應用問題的核心是分析數量關系。本課教學，通過畫圖的活動，引導學生利用幾何直觀分析和概括數量之間的關系，有效解決問題。通過畫圖，把抽象的問題直觀化，隱蔽的關系顯性化，讓更多學生更加主動地參與到學習活動中，不僅對植樹問題生成更深層次的數學理解，而且積累到研究數學問題的具體經驗，落實學生數學素養的發展。