在探究和思辨中凸顯理性精神
——《平行四邊形的面積》教學設計（一）

文|談 瑩

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第7、8頁。

【教學過程】

一、復習引入，激活已有知識和經驗

師：同學們，我們已經掌握了計算長方形和正方形面積的方法。回憶一下，長方形和正方形的面積是怎么計算的？

生：長方形的面積是長乘寬，正方形的面積是邊長乘邊長。

師：瞧，這是什么圖形？（平行四邊形）關于“平行四邊形”，你覺得平行四邊形面積的大小會與什么有關呢？（如圖1）

圖1

生：平行四邊形的面積與底和高有關。

生：平行四邊形的面積與長邊和短邊有關。

師：是這樣嗎？今天這節課我們就一起來研究它。

【設計意圖：在研究平行四邊形的面積之前，學生已經在三年級時積累了很多“計算長方形和正方形面積”的經驗，在四年級認識平行四邊形時又積累了“把一張平行四邊形紙剪成兩部分，再拼成一個長方形”的經驗。眾所周知，長方形是特殊的平行四邊形，因此，在“平行四邊形面積”的導入環節，選擇復習引入，激活學生的已有知識和經驗。對于平行四邊形的面積公式，在課前調查中，不少學生已經知道了是底乘高，個別學生會因為長方形面積公式的負遷移，認為是長邊乘短邊。因此，直接拋出問題：你認為平行四邊形的面積與什么有關？在探究之前的回答都是一種猜想，具體與什么有關，有什么樣的關系，還需要進一步探究。】

二、自主探究，探尋平行四邊形面積計算公式

師：剛剛有同學認為平行四邊形的面積與底和高有關，還有同學認為與長邊和短邊有關，究竟與什么有關呢？有什么樣的關系呢？想怎樣探究呢？老師給每個小組準備了一些學習材料，我們一起看一看！

（學習材料：形狀各不相同的平行四邊形紙4張，剪刀，透明方格紙，可活動的平行四邊形）

師：在研究時，你可以借助這些材料幫助你證明平行四邊形的面積與什么有關，有什么樣的關系。也可以借助學習材料幫助你證明平行四邊形的面積與什么無關。選擇你們喜歡研究的問題，開始四人小組探究吧！

（學生操作交流）

【設計意圖：學生的學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。這節課主要探究平行四邊形的面積計算公式，但很多學生在課前就已經知道了平行四邊形的面積等于底乘高，不僅如此，還有很多學生知道了如何轉化平行四邊形得出計算公式。既然如此，不妨給學生提供一些學習材料，把探究的主動權交給學生，激發學生的探究欲望和學習積極性。在探究問題的過程中，讓已經掌握知識和技能的學生帶動對平行四邊形面積計算還不熟悉的學生，讓學生自主探索、互助交流，潛移默化地提高學習能力，培養合作意識。】

三、全班交流，凸顯“轉化”思想

師：哪個小組先來分享？

組1：我們組通過操作，認為平行四邊形的面積與底和高有關。（如圖2）把這個平行四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，然后平移直角三角形，就拼成了一個長方形。長方形的長就等于平行四邊形的底，長方形的寬就等于平行四邊形的高，平行四邊形的面積就等于長方形的面積，所以平行四邊形的面積等于底乘高。你們同意我們的想法嗎？誰還有補充？

圖2

組2：我們組也想到了剪、移、拼，但是我們剪的位置不同，（如圖3）我們把平行四邊形分成了兩個直角梯形，然后平移一個直角梯形，也拼成了長方形。長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，平行四邊形的面積等于底乘高。誰還有補充？

圖3

師：大家的剪、拼方法不完全相同，這些方法之間有相同的地方嗎？

生：都是沿著平行四邊形的高把平行四邊形分成了兩部分。

生：都用到了平移。

師：為什么要沿著平行四邊形的高分割平行四邊形？

生：因為沿著高分割，才會出現四個直角，有四個直角才會變成長方形。如果斜著分割，拼出來的還是平行四邊形。

師：將平行四邊形通過“剪、移、拼”變成長方形，這個過程就叫轉化。那老師還想問大家一個問題：任何一個平行四邊形都能像這樣轉化成長方形嗎？轉化得到的“長方形”與“平行四邊形”有怎樣的聯系？把你們剛剛研究的平行四邊形放在一起再比較一下，討論討論。

（小組交流）

生1：我們小組討論后發現我們幾個人的平行四邊形都不一樣，卻都能轉化成長方形。因為平行四邊形都會有底和高，只要沿著高剪，經過平移就一定能轉化成長方形。

生2：在轉化前后，平行四邊形的形狀改變了，但面積沒有變。所以求平行四邊形的面積就等于求長方形的面積，而長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高。所以平行四邊形的面積等于長方形的面積等于長乘寬就等于底乘高。

生3：我有補充，如果是這樣的平行四邊形，沿著豎著的高分割后，無法直接平移成長方形，但我們組想到了另一個方式，我們從上面分割成上下兩部分，將上面的直角三角形平移過來就變成了長方形。所以，平行四邊形的面積還可能是這條底乘這條底邊上的高。（如圖4）

圖4

師：像這樣想下去，所有的平行四邊形都能轉化成長方形。算一算，這個平行四邊形的面積有幾種方法計算？（如圖5）

圖5

生4：兩種方法：15×8=120cm2，或者10×12=120cm2。

師：兩種方法的背后是兩種轉化方式。（如圖6）看來，平行四邊形的面積不只有一個底乘它對應的高，還可能是另一個底乘對應的高。

圖6

師：有沒有小組研究了平行四邊形與什么無關？

生5：我們組研究了平行四邊形的面積與長邊和短邊的關系。同學們請看：（如圖7）這里有一個長6厘米、寬5厘米的長方形，根據長方形的面積公式，可以算出這個長方形面積是30平方厘米。我這里還有一個長邊6厘米、短邊5厘米的平行四邊形，如果平行四邊形的面積是長邊乘短邊，那平行四邊形的面積就應該是30平方厘米，我們通過數方格驗證之后，發現平行四邊形的面積小于30平方厘米。所以平行四邊形的面積肯定不是長邊乘短邊。

圖7

師：為了讓大家看得更清楚，老師還帶來一個透明方格紙，請仔細瞧，（如圖8）長方形被拉動成平行四邊形的過程中，什么變了？什么沒變？

圖8

生：高變了，面積也變了。

生：長邊和短邊都沒有變，周長也沒有變。

師：這就是為什么平行四邊形的面積不能用長邊乘短邊的原因，在平行四邊形被拉成長方形的過程中，長邊和短邊始終沒有變化，但是面積變了。

師：經過今天的研究和發現，如果用S表示平行四邊形的面積，用a和h分別表示平行四邊形的底和高，那面積公式可以怎么表示？

生：S=a×h。

【設計意圖：數學學習往往會經歷從具象到抽象、從特殊到一般、由感性上升為理性的過程。結合學生將平行四邊形通過“剪、移、拼”變成長方形的具象，教師適時提出問題“不同的剪拼方法之中有什么相同的地方？”“為什么要沿著高剪？”從具體的轉化操作中凸顯轉化的本質，思考平行四邊形和轉化得到的長方形之間的聯系是“形狀變了，但面積不變”，將復雜的問題轉化為簡單的問題。接著，教師又提出新的問題“是不是任何一個平行四邊形都能像這樣轉化成長方形？”引導學生經歷從特殊到一般的演繹推理，發現不只手中的平行四邊形可以轉化成長方形，所有的平行四邊形都能等積轉化，由感性上升到理性。最后探討“平行四邊形被拉動成長方形時，什么改變了，什么沒變？”學生的學習材料中有可活動的平行四邊形和透明方格紙，鼓勵學生對錯誤的直覺“認為平行四邊形面積會是長邊乘短邊”進行修正，并給出圖8，讓學生思考發現平行四邊形被拉動前后，周長不變，面積隨著高的變化而變化。整個師生交流過程緊緊圍繞學生的探究和對問題的思辨，為理性思考埋下種子。】

四、變式練習，升華理解

師：知道了平行四邊形的面積公式，我們來解決一些問題。

【設計意圖：在練習中往往只會給出平行四邊形的一條底和對應的高，學生不用思考只要記得公式就能正確計算結果，缺失了思維的鍛煉。因此，第一題每個平行四邊形都給出了三個數據，讓學生結合今天的探究過程，有思考地選擇有用的數據進行計算。第二題給出的三個圖形面積相等，但形狀不同。希望通過此題，學生能夠在平行四邊形面積公式上有新的發現，原來只要平行四邊形等底等高，面積都會相等。盡管直覺上圖（3）看著跟圖（1）的面積不等，但通過比較和思考，發現圖（1）和圖（3）面積相等，凸顯數學理性。】

五、全課總結

師：通過今天的研究，你有了哪些收獲？還有疑問嗎？