求解二維熱傳導(dǎo)方程的一個(gè)高精度顯格式

詹涌強(qiáng)

廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室， 廣州 510800

拋物型方程是偏微分方程中的一種重要方程， 它廣泛應(yīng)用于力學(xué)、 天文學(xué)、 物理學(xué)、 生態(tài)學(xué)及工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域中， 對(duì)于上述各領(lǐng)域中的許多問題， 為了定量或定性地對(duì)它們展開系統(tǒng)的研究， 需要建立各種數(shù)學(xué)模型， 而建立起來的這些數(shù)學(xué)模型最后都可歸結(jié)為求解相應(yīng)的拋物型方程， 這些拋物型方程是沒有精確解的， 我們只能通過計(jì)算機(jī)求它們的數(shù)值解， 常見的數(shù)值解法有有限元法、 有限體積法、 邊界元法和有限差分法等． 這些方法中， 有限差分法仍然是求解拋物型方程的重要方法． 經(jīng)典的差分格式， 有古典顯式格式、 古典隱式格式、 Crank-Nicolson格式等， 這些差分格式形式簡(jiǎn)單且穩(wěn)定性條件好， 但它們的截?cái)嗾`差(精度)低， 古典顯式格式與古典隱式格式的精度僅為O(Δt+Δx2)， Crank-Nicolson格式的精度為O(Δt2+Δx2)[1-2]， 與精確解的誤差都較大． 因此， 高精度且穩(wěn)定性好的拋物型方程的差分格式的構(gòu)造成了許多學(xué)者研究的問題．

生態(tài)學(xué)中提出的各種數(shù)學(xué)模型、 神經(jīng)軸突中電脈沖的傳導(dǎo)及燃燒理論等許多物理現(xiàn)象， 以及熱的傳導(dǎo)、 流體在多孔介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等可歸結(jié)為如下經(jīng)典的拋物型方程-熱傳導(dǎo)方程， 本文討論二維的情形：

(1)

1 一個(gè)差分近似式

化簡(jiǎn)得

為方便起見， 記

2 高精度差分格式的構(gòu)造

利用上面的差分近似式和已知的差分近似式構(gòu)造如下的差分格式來逼近方程(1)

(2)

將(2)式中各節(jié)點(diǎn)上的u在節(jié)點(diǎn)(jΔx，kΔy，nΔt)處作Taylor展開， 整理可得

(3)

解方程組(3)可得

將各參數(shù)的值代回(2)式中， 即得到一個(gè)截?cái)嗾`差為O(Δt3+Δx4)的三層顯式差分格式

(4)

3 差分格式的穩(wěn)定性分析

下面利用Fourier分析法分析格式(4)的穩(wěn)定性， 首先寫出與格式(4)等價(jià)的兩層格式組

(5)

其中：

g21=1g22=0

傳播矩陣G(s1，s2)的特征方程為

λ2-g11λ-g12=0

(6)

引理1[13]特征方程(6)的根滿足|λ1，2|≤1的充要條件是

|g11|≤1-g12≤2

(7)

引理2[13]差分格式(4)穩(wěn)定， 即矩陣族Gn(s1，s2)(0≤s1，s2≤2，n=1，2，…)一致有界的充要條件是

1) |λ1，2|≤1(λ1，2是方程(6)的兩個(gè)根)．

先討論g11≤1-g12， 可得

(8)

為確定起見， 不妨假定

1-12r2>0

該式成立的條件是

(9)

當(dāng)(9)式成立時(shí)， (8)式可化簡(jiǎn)為

8r2(6r-1)(s2+4s1)≤0

該式成立的條件為

(10)

-3(6r-1)+4r2s2+16r2s1>0

(11)

最后由-1+g12≤g11可得

24r2-6r+1+2r2(2r-1)(s2+4s1)≥0

(12)

24r2-6r+1+20r2(2r-1)≥0

也即

40r3+4r2-6r+1≥0

(13)

綜上所述， 由Lax的穩(wěn)定性與收斂性定理， 定理1得證．

4 數(shù)值算例

在本節(jié)中， 通過兩個(gè)數(shù)值算例， 利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬， 將本文提出的格式(4)與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]格式進(jìn)行比較， 進(jìn)一步證明本文提出的格式是一種高精度的差分格式．

例1考慮如下帶有初邊值問題的二維熱傳導(dǎo)方程

(14)

表1 在Δx=Δy=0.05， n=800時(shí)3種格式數(shù)值解與精確值的誤差絕對(duì)值和計(jì)算效率的比較

例2

(15)

表2 算例2中本文格式與文獻(xiàn)[12]格式和精確解之間的比較

從以上兩個(gè)數(shù)值算例可以看出， 本文格式的收斂性及穩(wěn)定性與理論分析一致， 說明本文格式是一種有效的差分格式．