軸對稱凸域的弦協差及其應用

趙江甫， 劉海

1. 福建江夏學院 數理教研部， 福州 350108； 2. 華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心， 武漢 430079

在不考慮旋轉與反射的前提下， 弦協差能否唯一確定一個凸體? 這就是著名的馬赫猜想． 馬赫猜想也等價于這樣一個問題： 所有的有向弦長分布能否確定一個凸體? 運用弦長分布來證明馬赫猜想是一個非常有效的辦法． 目前， 當n=2時， 馬赫猜想得到了肯定的回答[1-3]．

隨著學者們的不斷深入研究， 弦協差已經應用到了眾多領域， 比如凸幾何、 圖像分析、 傅里葉分析中的相位恢復、 晶體學[4-6]等． 因此求出弦協差的具體解析式顯得尤為重要， 但這并不容易． 在這方面， Ohanyan和他的團隊做出了很大貢獻． 他們利用定義法， 得到了一些特殊凸體(比如圓盤、 等邊三角形域、 矩形域、 圓柱體、 橢圓柱體、 三棱柱、 球體等)的弦協差解析式[7-14]．

盡管如此， 仍有很多凸域(比如正五邊形域、 任意四邊形域、 任意正多邊形域等)的弦協差沒有解決． 而且目前的研究成果大多是針對中心對稱區域， 軸對稱區域較少． 為此， 本文以正五邊形域為例， 研究軸對稱凸域的弦協差及其在幾何概率中的應用．

1 預備知識

在n維歐氏空間Rn中， 設K為凸體(具有非空內點的緊凸集)，Vn為n維勒貝格測度，Sn-1為球心在原點的n-1維單位球面[15-16]．Sn-1中的每一個元素u稱為一個方向． 經過原點且與方向u平行的直線記為Gu． 垂直于方向u且通過原點的n-1維子空間記為u⊥． 凸體K在u⊥上的正交投影記為∏ru⊥K．

定義1[13]設G(x，u)為平行于方向u且與∏ru⊥K相交于點x處的直線， 則稱函數

為凸體K在t∈R1處沿方向u的定向弦長分布函數， 其中bK(u)=Vn-1(∏ru⊥K)．

定義2在Rn中， 稱函數tmax(u)=max{V1(Gu∩K)}為凸體K沿方向u的最大弦長．

定義3[17]在Rn中， 稱函數r(l，u)=min{l，tmax(u)}為凸體K的限弦函數．

定義4[18]在Rn中， 設y∈u⊥， 則稱函數

XuK(y)=V1{K∩(Gu+y)}

為凸體K沿方向u的X-射線．

定義5[18]在 Rn中， 稱函數

AK(t，u)=Vn-1{y∈u⊥：XuK(y)≥t}

為凸體K的限弦投影函數． 特別地， 當t=0時，AK(t，u)就是K在u⊥上的正交投影； 當t≥tmax(u)時，AK(t，u)=0．

定義6[13]在Rn中， 稱函數

CK(h)=Vn(K∩(K+h))h∈Rn

為凸體K的弦協差[1]， 其中K+h={x+h，x∈K}． 特別地，CK(0)=Vn(K)．

注1對于每一個h∈Rn， 都會存在一個方向u∈Sn-1以及常數l， 使得h=(l，u)． 為方便起見， 記

CK(l，u)=CK(lu)F(t，u)=F(tu)

其中l為h的長度． 特別地， 當l=tmax(u)時，CK(lu)=0．

性質1[2]設AK(t，u)和CK(lu)分別為Rn中凸體K的限弦投影函數和弦協差， 則有

(1)

特別地， 當l=0時， 由(1)式， 可得

(2)

將(2)式代入(1)式， 可得

(3)

注2在R2中， 方向u∈S1可表示為(cosφ， sinφ)，φ∈[0， 2π]， 所以凸體K∈R2的限弦投影函數AK(t，u)、 弦協差CK(lu)、 定向弦長分布函數F(tu)分別可用AK(t，φ)，CK(lφ)，F(tφ)替代， 因此(3)式可化為

(4)

其中F為凸體K的面積．

2 主要結論

定理1設Π是邊長為a的正五邊形域， 當0≤l≤a時， 其弦協差函數為

(5)

其中，CΠ1，CΠ2，CΠ3如(12)-(14)式所示．

定理2設Π是邊長為a的正五邊形域， 當0≤l≤a時，Π在t處沿方向u的定向弦長分布函數為

(6)

定理3設Π是邊長為a的正五邊形域，N是長度為l(≤a)的無向小針， 則小針N含于Π內的運動測度為

(7)

定理4設Π是邊長為a的正五邊形域，N是長度為l(≤a)的無向小針， 則小針N含于Π內的幾何概率為

(8)

定理5設Π是邊長為a的正五邊形域，Nu是長度為l(≤a)且方向為u=(cosφ， sinφ)的有向小針， 則小針Nu含于Π內的幾何概率為

(9)

3 定理的證明

設G為R2中的直線， 其廣義法式方程為

xcosφ+ysinφ=p0≤φ<2π， -∞

定義7[17]設K為R2中的凸體， 對任意實數t， 當0≤φ<2π時， 稱函數

為凸體K的廣義支持函數．

凸體的廣義支持函數與限弦投影函數有以下關系[17]：

AK(t，φ)=p(t，φ)+p(t， π+φ)=2p(t，φ)

(10)

設Π是邊長為a的正五邊形域， 其邊界為正五邊形ABCDE， 現以AB所在直線為y軸， 線段AB的中點為原點O， 對稱軸OD為x軸建立直角坐標系． 由(9)式和(4)式可得弦協差為

(11)

下面證明定理1．

定理1的證明Π的5條邊所在的直線方程分別為：

其中

設直線G與5條邊AE，ED，DC，CB，BA的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)， 分別聯立直線G的方程與5條邊的方程， 可解得

則有

t1≥atmax(φ)=t2

因此， 當0≤t≤a時， 直線G與邊ED，DC相交， 且有

y2-y3=tcosφ

解此方程可得

因此弦協差為

(12)

則有

t3≥atmax(φ)=t4

因此， 當0≤t≤a時， 直線G與邊AE，ED相交， 且有

y1-y2=tcosφ

解此方程可得

因此弦協差為

(13)

則有

t5≥atmax(φ)=t6

則有

t7≥atmax(φ)=t8

因此， 當0≤t≤a時， 直線G與邊BA，AE相交， 且有y5-y1=tcosφ， 解此方程可得

因此弦協差為

(14)

則有

t9≥atmax(φ)=t10

綜上所述， 當t∈[0，a]時， 正五邊形域Π的弦協差為

引理1[12]設K為Rn中的凸體， 對于每一個方向u∈Sn-1， 當t≥0時， 其弦協差CK(tu)關于變量t可微， 且滿足

(15)

特別地， 當t=0時， 有

(16)

引理2[14]設K為Rn中的凸體，L是長度為l的線段， 則L含于K內的運動測度為

(17)

其中Oi表示i維單位球面Si的面積．

引理3[13]設K為Rn中的凸體，L是長度為l的線段， 則L與凸體K相交的運動測度為

(18)

其中?K表示凸體K的邊界．

引理4[11]設K為Rn中的凸體，Lu是長度為l且方向為u的有向線段， 則Lu含于凸體K內的概率為

(19)

定理2的證明由(15)式可得凸體K在t點處沿方向u的定向分布函數為

因此正五邊形域Π的定向弦長分布函數可表示為

(20)

由(11)式可得

(21)

由(16)式可得

(22)

將(21)-(22)式代入(20)式， (6)式得證．

定理3的證明由限弦函數的定義可得， 當l≤tmax(u)時，r(l，u)=l． 因此(3)式可表示為

當l≥tmax(u)時，r(l，u)=tmax(u)， 因此(3)式可表示為

綜上所述， 凸體K的弦協差可表示為

(23)

將(23)式代入(17)式， 得

(24)

在(24)式中， 取n=2， 可得長度為l的小針N含于正五邊形域Π內的運動測度為

(25)

將(12)-(14)式代入(25)式， (7)式得證．

定理4的證明長度為l(≤a)的無向小針N含于正五邊形域Π內的幾何概率為

(26)

在引理3中， 取n=2， 則長度為l(≤a)的無向小針N與正五邊形域Π相交的運動測度為

(27)

將(7)式、 (27)式代入(26)式， (8)式得證． 證畢．

定理5的證明在引理4中， 取n=2， 則長度為l(≤a)且方向為u的有向小針Nu含于Π內的幾何概率為

(28)

將(12)-(14)式代入(28)式， (9)式得證．

4 結語

本文以正五邊形域為例， 討論了軸對稱凸域的弦協差及其應用， 其他軸對稱凸域(如等腰梯形域)可類似討論． 首先詳細地給出了正五邊形域的廣義支持函數的求解過程， 并利用這個函數， 給出當l≤a時正五邊形域的弦協差的具體解析式， 增加了能夠求解弦協差解析式的2維凸域的種類． 接著， 利用弦協差得到小針含于正五邊形域內的運動測度． 在此基礎上， 分別計算了無向小針、 有向小針含于正五邊形域內的幾何概率． 雖然以上結果討論的均是當小針長度不超過正五邊形邊長時的情形， 但卻提供了一種計算方法， 其他情形都可類似討論．

另外， 利用定理3中的結果， 可進一步將Buffon投針問題進行推廣， 求出小針與特殊網格相遇的概率． 雖然正五邊形不能鋪滿整個平面， 無法組成Buffon網格， 但是添加一個邊長與之相等的菱形， 卻可以鋪滿整個平面． 因此， 利用定理3所得的運動測度， 可進一步研究小針與此新型網格相交的概率．