立足培養數學核心素養的解題教學*
——以一道三角結構不良試題為例

福建省廈門第一中學 (361003) 王淼生

1 聯考真題呈現

試題在①tanB=2tanC，②3b2-a2=12，③bcosC=2ccosB三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知△ABC的內角A，B，C及其對邊a，b，c，若c=2，且滿足，求△ABC的面積的最大值.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)(2021年名校聯盟優質校高三大聯考第18題)

2 結構不良試題

Reitman(1965)首次從認知心理學層面提出結構良好問題與結構不良問題的理論.將這一理論遷移到數學問題，形成結構良好試題與結構不良試題.長期以來，高考數學試題中主要考查結構良好試題.隨著高考命題理念從最早的“知識立意”到后來的“能力立意”再到如今的“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”轉變，旨在優化學生思維，發展學生智力，提升學生素養，落實立德樹人的根本任務.自從2016年教育部考試中心提出構建高考評價體系以來，近年逐步出現結構不良試題，并越來越受到關注.盡管目前對結構不良數學試題還沒有統一的、權威的、標準的定義，但遵循數學學科特點，依據Reitman理論，一線教師將那些初始狀態(條件、信息)、目標狀態(確定、開放)和解決問題策略(方法、途徑)等因素中至少有一項沒有明確界定的數學試題稱為結構不良試題.據此可知，本題屬于典型的三角知識模塊下的初始狀態不夠清晰的結構不良試題.

3 深入剖析條件

波利亞在名著《怎樣解題》中提出解題四部曲：剖析條件、擬定計劃、實施計劃、回顧反思.由于本題初始狀態中有三個選項供選擇，因此深入剖析條件，厘清條件之間的關系，對最終解決問題具有決定性作用.

(1)逐個條件單獨分析

僅從單個條件看，條件①：tanB=2tanC中僅僅涉及角，由此聯想到遇切化弦，或直線斜率，或構造直角三角形；條件②：3b2-a2=12中僅僅涉及邊且出現邊的平方，由此聯想到余弦定理；條件③：bcosC=2ccosB中既有角又有邊，由此聯想到利用余弦定理轉化為邊，或正弦定理轉化為角，或應用射影定理.

(2)全部條件整體分析

既然有三個條件供選擇，哪三個條件之間是否有關聯呢？

由此說明條件①、②與③相互等價，從而，無論選擇條件①、②還是③，△ABC的面積的最大值都是相同的.

(3)待求結論條件分析

本題關鍵在于將已知條件①，或②，或③，結合公共條件c=2，積極地向上述三角形面積公式“靠近”，尋覓已知條件與求解結論對接的“橋梁”，形成解決問題的“抓手”，進而借助數學方法(如配方、基本不等式等)求出最值，其本質就是構建數學模型的過程.

4 立足核心素養的解題教學

盡管條件①、②與③相互等價，但仍有不少考生難以入手，這是導致考生放棄的主要原因.解題教學中該如何決策呢？

(1)側重代數(運算)視角——以條件②為“抓手”，著力培養數學運算素養

倘若從條件②出發，可得以下構思過程：

既然可以從cosA入手，是否也可以從cosB或cosC入手呢？其實，類似于上述解法1與解法2，針對角B、角C分別得到解法3、解法4及解法5、解法6(過程略).

評注：以條件②為抓手，屬于典型的代數解法，有利于培養數學運算素養.數學運算素養的核心就是理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果.其中，解法1與2、解法3與4、解法5與6本質相同(即運算對象)，掌握運算法則(面積公式)、探究運算方向(瞄準面積公式)、選擇運算方法(代入、配方、基本不等式)、設計運算程序(先求余弦值，再求正弦值)、求得運算結果，但是仔細體會卻有細微差異，主要表現為用選擇(1)還是選擇(2)代入，導致運算步驟與運算量不同.至于解法7，如果直接全部展開，運算量很大，于是將l與l-c、l-a與l-b兩兩結合，并借助平方差公式優化運算，這正是培養運算素養的關鍵所在.教學中應該將運算過程詳細展示，必要時還要給出特寫“鏡頭”，將培養運算素養的舉措落到實處.

(2)側重幾何(圖形)視角——以條件①為抓手，著力培養直觀想象素養

評注：直觀想象就是借助于見到的或想象的幾何圖形進行直觀感知、整體把握的能力.克萊因認為：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上.”史寧中指出，在大多數情況下，數學的結果是“看”出來，而不是“證”出來的.就本題而言，條件①：tanB=2tanC通過構造三角形，將三角(代數)問題轉為具有幾何直觀的圖形，實現由數思形、以數構形，不僅大大簡化了運算，而且凸顯問題的本質，即上述解法8、解法9及解法10的實質就是對于斜邊為定值的直角三角形，當且僅當等腰三角形時，直角三角形面積最大.

(3)側重解析(數形結合)視角——以條件①、②為抓手，著力培養邏輯推理素養

數學是研究數與形的科學，因此數形結合是解決數學問題的重要思想方法，其中最為常見的就是建立適當坐標系，將圖形中的元素用坐標來表示，進而轉化為代數運算.

評注：在解析視角下，通過推理及坐標運算，純代數問題轉化為具有幾何意義的相關問題，這正是邏輯推理素養的體現.邏輯推理素養是描述思維品質中深刻性的重要指標之一.數學解題教學中的邏輯推理是指依據一些事實和命題，按照數學邏輯規則得到新命題的思維過程.邏輯推理能夠揭示出隱藏在情境中的事物或現象背后的本質規律，并預見事物或現象的發展進程.上述解法11與解法12，不僅簡捷地求出了△ABC的面積的最大值，而且發現了本質規律：由于c=2，即|AB|=2，滿足條件的動點C的軌跡是一個定圓.

5 結構不良試題的解題教學是落實核心素養的良機

本題是一道典型的結構不良試題，盡管條件①、②與③相互等價，但是條件①、②與③的功能與側重點不盡相同.其中，條件②側重于代數視角，這就是上述解法1—解法7的由來；條件①側重于幾何視角，這就是上述解法8—解法10的由來；同時條件①與條件②兼具數形雙重“身份”，這就是上述解法11、解法12的由來.命題專家精心設計三個選項，意在詮釋《新課標》基本理念：以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，面向全體學生，人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.

事實上，條件③：bcosC=2ccosB?sinBcosC=2sinCcosB.倘若從條件③出發，還可以得到以下賞心悅目的構思過程(解法13、解法14)，極大激發學生學習數學的積極性.不僅學會了知識與技能，而且展示了過程與方法，更加凸顯了情感態度價值觀的培養.

相對于初始條件明晰、目標設置明確、解題方法明顯的結構良好試題，結構不良試題具有難度高、跨度大、視角廣、路徑多的特點.教師在解題教學過程中，根據具體問題，引領學生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，達到優化學生數學思維的系統性、靈活性、深刻性與創造性.

林崇德教授把學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適合個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力界定為核心素養.依據數學學科特征，《新課標》明確提出六大數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析.它們之間既有區別又有聯系，既各有側重，又形成和諧統一，你中有我，我中有你，形成和諧有機整體.比如，在涉及概率統計模塊的結構不良試題，主要培養數學抽象、數學建模、數據分析素養；在涉及立體幾何模塊知識的結構不良試題，主要培養直觀想象、邏輯推理素養、數學運算素養.數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質.在數學教學活動(概念傳授、解題教學)中，持之以恒地重視核心素養，樹立優化核心素養的意識，落實培養核心素養的措施，創設合適的教學情景，感悟數學的思想方法，積累數學思維的經驗，在潛移默化中形成和發展核心素養.