運用GeoGebra軟件助力數學實驗探究教學*
——以一類解析幾何定點問題為例

廣東省中山市濠頭中學 (528437) 閆 偉

《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求注重培養學生在學習上的自主探究，鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決數學問題[1].為了讓學生真正參與到課堂教學中，經歷主動獲取知識的過程，提升學生的直觀想象能力，筆者以一節高三數學復習課中有關橢圓的定點問題為例，說明運用GeoGebra平臺開展實驗探究的教學價值.

1 問題的提出

圖1

問題4 若將橢圓換成雙曲線，上述結論是否還成立呢？若換成拋物線，結果又會如何？

問題5 若點F不在對稱軸上，即是橢圓內其他點，根據上述條件作出直線BD，我們又會得出什么結論？

2 基于GeoGebra平臺的探究

大家對上面幾個問題都驚嘆不已，一個題目能衍生出這么多新問題，這些結論是否都成立呢？帶著諸多疑惑和興奮，師生開始了實驗探究之旅.問題2～問題5將橢圓和點F及對應的直線一般化，因涉及的運算和直線BD的直線方程較復雜，判斷上述結論成立與否有有較大的難度，故筆者借助GeoGebra平臺進行探究，通過實驗演示觀察該結論是否成立，同時為接下來的代數證明提供更加直觀的思路支持[3].

實驗1 (1) 在GeoGebra繪圖區中先設置兩個“滑動條”控制變量a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一個橢圓c.(2)輸入框中輸入焦點[c]，得到橢圓的右焦點F.(3)使用“滑動條”創設變量m,作出過點F的直線x=my+c，利用交點工具確定A,B.(4)在輸入框中輸入x=a^2/sqrt(a^2-b^2)得到直線l，作出直線l與x軸的交點H.(5)過A點作直線l的垂線交直線l為D點.(6)作出直線BD，借助GeoGebra中的“追蹤”功能顯示直線BD的軌跡，拖動“滑動條”的變量m發現直線BD恒過x軸上的一個定點(圖2).

圖2

實驗2 (1)按照上述實驗操作步驟修改第(2)、第(3)步：去掉右焦點，再通過“滑動條”設置一個變量t，作出點F(t,0)，并作出過點F的直線x=my+t.(2)第(4)步變為：在輸入框中輸入x=a^2/t得到直線l，作出直線l與x軸的交點H.(3)其他步驟不變.(4)先改變F點的位置，再拖動“滑動條”的變量m，發現直線BD仍恒過x軸上的一個定點(圖3)，而且定點的位置隨F點的變化而改變，且始終是直線l與x軸的交點H與F點的中點.當改變橢圓的方程時，師生發現仍然有同樣的結論.

圖3

3 推廣結論 揭示本質

根據以上實驗的探究結果，師生可以直觀認識到上述問題的結論都能成立，于是可以將上述試題推廣到一般情形.

當t=c時，F是右焦點，結論1是結論2的特例；若將橢圓換成雙曲線，利用GeoGebra軟件繼續探究，經同樣的實驗操作，發現直線仍恒過定點，如圖4所示，從而有如下結論：

圖4

結論3的證明和結論2的過程相仿，此處不再贅述；將橢圓換成拋物線(圖5)，師生有類似的結論：

圖5

結論4 過拋物線C:y2=2px(p>0)對稱軸點F(t,0)(t>0)且斜率不為零的直線與拋物線交于A,B兩點，直線l:x=-t與x軸交于點H，過點A作AD⊥l，垂足為D，則直線BD恒過定點(0,0).

圖6

結論7 過拋物線C:y2=2px(p>0)內側一點F(x0,y0)的直線與拋物線交于A,B兩點，過點F作直線l:p(x+x0)-yy0=0的垂線，垂足為H點，過點A作AD⊥l，垂足為D，則直線BD恒過線段FH的中點.

根據極點和極線的性質，師生可以將結論5～結論7統一概括為：

結論8 已知圓錐曲線C和異于曲線中心且不在曲線C上的一點F，點F關于曲線C的極線為l，過點F的直線與曲線交于A,B兩點，分別過點F、點A作直線l的垂線，垂足分別為H、D兩點，則直線BD恒過線段FH的中點.

4 探后反思 引領教學

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出，“提升信息技術的使用能力，通過信息技術與課程的深度融合以及課程資源開發的多樣化實現”. 這就需要合理運用信息技術，以此提高數學教學的有效性.在教學過程中，把信息技術與數學課程進行有效的整合，不僅能夠實現數學對象的多元表征(數字、表達式、圖形等)，而且會使抽象的數學知識變得形象直觀，有助于培養學生直觀想象等核心素養[1].

在“互聯網+”時代，信息技術的應用正在對數學教學產生深遠的影響，如何使數學教學適應時代的發展，已經成為新時代教師所關注的焦點. 在本文的實驗探究中，運用GeoGebra技術制作橢圓模型，再通過控制變量不斷改變動直線和方程參數來演示圖形變化過程，讓學生觀察所求點的軌跡的運動情況，進而將實驗結果拓展到曲線的統一結論，不僅為學生理解試題本質創設教學情境，而且為學生探索試題規律啟發思維，為學生解決數學問題提供直觀形象.GeoGebra平臺技術的可視化實驗讓學生有機會親身體驗探究問題背后的規律，還能“看透”深層次的數學本質，讓學生主動發現問題，解決問題，發現和體會數學的美，充分調動了學生的學習興趣和積極性,有助于學生樹立學好數學的信心，亦有利于培養學生邏輯思維、空間想象、探究學習、創新和實踐等能力, 從而促進學生數學學科素養的提升[2].