優化習題教學 提升解題素養

淮北師范大學數學科學學院 (235000) 莫煥群廣西民族大學數學與物理學院 (530006) 毋曉迪

1.引言

習題作為學生運用所學知識學以致用的重要資源，既是理解教科書并達到有效學習的輔助工具，也是評估學生學習目標是否達成的核心載體.當前習題課普遍存在的問題是，教師注重在自己的經驗范疇內預設問題，忽視學生在問題情景中的真實想法.此外，習題教學方式單一，主要以“知識點+講解”套解試題模式循環進行，長此以往，學生的學習目標難以落實到求是求真的層面，難以實現提升學生解題素養的目的.為此，要以培育和發展學生核心素養為著力點，需改觀傳統習題教學模式，重新定位習題教學目標.基于此，筆者以學生如何在習題教學中引發高階思維活動，增強遷移應用能力，實現知識深度理解為導向目標，精準重組習題教學內容，合理選取教學方式，使習題教學成為促成學生發展數學學科核心素養的門徑.

2.兩種習題教學理論觀點

在教育理論知識的學習和研究中，發現維果茨基認知發展理論說、布魯納的認知層次發現說等對本研究具有指導價值和意義.

一是維果茨基認知發展理論說.維果茨基認為人的認知水平可以劃分為“已知區”、“最近發展區”和“未知區”三個層次.這三層次在學習活動中可以呈相互轉化、螺旋上升態勢.對于提出過易或過難的問題會減弱學生求知欲望的這一觀念，需啟發教師重點關注學生“已知區”與“最近發展區”的維系點.這一維系點即為知識的增長點，利于新知識的同化與完善學生的認知結構，使“最近發展區”化歸為“已知區”.

二是布魯納的認知—發現理論說.如圖1所示，布魯納將學生的行為從簡到繁進行排序，并認為好奇心是學習的內在動力，其中直覺思維在學習活動中起到舉足輕重的作用，并促使學習成為一個逐步探究的過程，同時提醒教師在教學中著重關注學生的信息加工和提取.

圖1

3.優化習題教學對策

3.1 關注問題轉化 引發高階思維活動

學生在問題解決的過程中思維處于內隱狀態，教師要有意引導學生挖掘問題的“題眼”，而學生對關鍵信息進行提取、分析、加工及表征等一系列操作，需要學生高階思維深度參與.

例1 已知點P在直線l:x+y-3=0上運動，點O是原點，點B、C的坐標分別為(2,0)、(1,0)，點A為坐標平面內一點，且有∠ACB=2∠AOB，求∠APC的最大值.

由題干信息作出直觀圖2，由關聯條件并思考問題：如何轉化關鍵信息∠ACB=2∠AOB?

此時，我們應該關注學生的“學”，窺視學生能否自主挖掘信息，由于點A是個動點，取不同位置時的點Ai(i=1,2,3,...)，如圖2所示，連接AO、AC，將新舊知融合關聯，引導學生突破以下關鍵點：

圖2 圖3 圖4

關鍵點1：∠ACB=∠AOB+∠CAO，得∠AOB=∠CAO，即|CO|=|CA|=1.

關鍵點2：|CA|=1，知動點A到定點C的距離為定長1，即點A只能在以點C為圓心，半徑為1的圓周上運動，如圖3所示.

再提出問題：點A是圓上的動點，點P是直線上的動點，它們分別運動到哪個位置時，∠APC的值最大?

關鍵點3：不論點A、P運動到哪個位置，∠APC一定是個銳角，采取“動”點A、“靜”點P相結合思路，如圖4，得到當AP與圓C相切時∠APC取得最大值.

自然得到問題：當點P在直線l:x+y-3=0上運動到哪個位置時，|CP|最小?

在本題的解析過程中，首先理清問題的來龍去脈，學生需要逐一突破關鍵信息，自然而然地把環環相扣的問題進行思路轉化，融數、形、意三方面為一體來解決數學問題是高階思維能力的直接體現，促進深度學習主動生成.

3.2 融合知識關聯 增強遷移應用能力

一般地，在解決數學問題時，需要多知識點關聯交匯.若知識關聯程度較弱，不利于促進學生有效提取、挖掘、檢索以及深加工關鍵信息.數學問題解決能力和遷移應用能力的培養與發展與數學認知結構的完善程度密切相關.換句話說，在習題教學時，通過問題解決窺視學生在知識關聯程度上暴露出的認知缺陷，為完善認知結構，增強遷移應用能力起到助推作用.

本題以向量模長運算問題為落腳點，如何發掘并關聯題干中給出的已知條件是本題的核心突破點，我們可以通過求向量模長設置問題情境.

針對上述預設的問題，將挖掘并關聯出的突破點逐一擊破.

預設問題2：針對關鍵點1，接下來如何運算？對所求式子直接平方可以嗎？

預設問題3：針對關鍵點2，你能快速運算求解嗎？

通過本習題的預設的教學設計，在解決問題的的思維脈絡上，選擇出合適的起點，步步遵循學生思維規律，以向量模長運算為突破口，實現多知識深度關聯，滲透轉化與化歸思想，通過不同角度描述向量模長，采取不同解法求解向量模長最值，讓學生切身體悟基礎知識深度轉化與關聯的價值.

3.3 聚焦模型建構 實現知識深度理解

數學模型的建構能力屬于高階思維能力.強化數學模型建構，推舉教學目標進階，有助于發展學生學科核心素養，有效培育學生綜合分析能力，提升信息的重組與整合能力[1].

例3 在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，BC=3，點D是邊BC的一個三等分點，且∠BAC=60°，求AD的最大值.

圖5

圖6

圖7

因此，在習題教學中，引導學生模型的構建要基于簡化研究對象為原則，要關注研究問題的本質特征，我們是為了掌握基本解題方法而去建構模型，進而在學生可望又可及的認知范圍內形成知識橫向和縱向螺旋上升的立體結構.從而加深學生對知識的深度理解，促使牢固把握解題的通性通法.

4.習題教學啟發與反思

4.1 分析問題時應培養學生有序邏輯推理習慣

在數學學習過程中，我們常會遇到題干抽象過程復雜的題目，如何尋求問題的突破口是解決問題的關鍵點，許多數學問題的解決需要綜合運用數學知識推知與論證，并科學規范表達、運算，進而一步一步深入分析.習題教學中，思路自然清晰、富有條理是我們竭力追求的效果.為此，要使學生解題素養得以發展和提升，在習題教學中形成有序的解題思維，那么培養學生的有序邏輯推理習慣是必要的[2].筆者認為習題教學中，對于問題的解決的流程可以經歷圖8所示的步驟.

圖8

4.2 解析過程應逐步深入聚焦問題本身

數學問題解決要從問題的本身出發，問題的本身就是思維的起點，也是教學活動中要進行啟發、探究和設問等環節的出發點.例如階段性考試，多數情況下是把剛學過系列知識“現炒現賣”，固然在短時間內能看到立竿見影的效果，但這與對知識的鞏固路徑不盡一致.

事實上，我們平時遇到的問題，尤其是綜合復習階段，不可能都是與我們剛學過的知識產生關聯.為此，固定模式套解題的方式顯然不可取，在分析問題的過程中，要從問題的本身出發，培養學生的動態思維，搭建問題解決的腳手架，并促使問題步步深入[3].唯有如此，學生思維的創新性才得以激發，對提升和發展學科核心素養具有促進意義.

4.3 解題步驟呈現應與學生思維同步

解題步驟的思維顯化呈現，是直接作用于習題教學效果的評價.若教師在問題解決的過程中沒有摸清學生的思路，“強制”要求學生按照自己思緒套路出牌，教學活動就會形成教師“一言堂”的態勢，學生思維深刻性的培育便不可企及.

鑒于此，在習題教學中，對于解題步驟的探究論證，要聯系學生的思維實際，揣摩學生心理狀態，在啟發中要與學生的思維同步，把握學生思維規律，預設學生在教學活動中可能凸顯出的各種思維活動，給學生留出思考的時間并及時排除思路偏移，活化學生的動態思維.

4.4 解題方法選取應讓學生感到可望可及

在習題教學中，多數教師青睞于運用多種方法達到問題解決的目的，啟發學生從不同角度思考問題，進而提高思維發散性與求異性；提高問題解決的應變與貫通能力，加深對數學概念、定理等的理解與深化運用.

而我們在習題教學時，常遇到教師講授了多種問題解決的方法和思路，但是學生也感嘆：“這樣的解題方法我想不到”，如果教師中斷解釋或者避開深入討論某些解題方法，那么習題教學就會變成“走馬觀花”式羅列解法的教學.因此，習題教學的方法應考慮學生認知規律，避免為追求習題解題的深度而超出學生自然而然地接受知識的范疇，應適可而止，使學生切身感悟到方法可望又可及，方能有所知、有所悟，這樣一來，習題教學的課堂生成會主動達成.