一道雙零點導數壓軸題的解法分析與拓展
2022-07-09 01:14:46福建省福清第一中學350300李云杰
中學數學研究(江西) 2022年7期
福建省福清第一中學 (350300) 李云杰
試題呈現已知函數f(x)=ex-1-a(x-1).
(1)討論f(x)的零點個數；
(2)若f(x)有兩個不同的零點x1,x2，證明：x1+x2>4.
上述試題是廣東省清遠市2022年高三期末教學質檢第22題，試題在素材的選取以及問題的鋪設方面均與2016年全國卷Ⅰ理科數學第21題：
已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(1)求a的取值范圍；(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.保持高度的一致.
本文對該題第(2)問的解法與延伸做一些思考，與同仁交流.
構造偏差函數是破解上述問題慣用的方法.事實上，問題(2)還可以通過比值代換消元法進行求解.
