兩種視角審視一類平面向量問題

江蘇省昆山市柏廬高級中學 (215300) 汪 梅

數學是關于數量關系和空間形式的一門科學，向量兼具代數與幾何的雙重身份，是解決數學問題的基本工具，也是進一步學習和研究其它數學問題領域的基礎，在解決問題中發揮重要作用.在高中數學的學習中，與向量有關的面積比問題頻頻出現，其中有一類與平面向量線性表示相關的面積比問題可以利用共線向量定理和建立平面直角坐標系即坐標法兩種方法解決，這類問題在數學試題中屬于中檔題或難題，也是學生易錯點甚至是盲點.筆者對該類問題進行初步研究并總結整理成文，供大家在課堂教學中借鑒參考.

一、問題呈現

思路探尋：為解決面積比問題，需確定點P的位置.

思路1 直覺思維：直覺思維是指對一個問題未經逐步分析 ，僅依據內因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想、設想.

圖1

評注：從系數的特征入手,從特殊的數據出發，找到了三點共線，從而問題得到解決,即關注系數的特征.

思路2 轉換視角： 我們知道笛卡爾建立的平面直角坐標系架起了幾何與代數的橋梁，那么本題能不能用代數的方法解決這個幾何問題呢？我們知道解答填空題有更簡便的方法,可以將問題特殊化：將△ABC特殊化為等腰直角三角形，通過建立平面直角坐標系即坐標法解決問題.

圖2

評注：第一種角度是從系數的數據的特殊性出發，第二種角度是從特殊的三角形出發，體現了數與形的特殊性，可解決一類高考填空題，拓寬了我們的視野，靈活了我們的思路.

二、問題升華

思路1 構造三點共線

圖3

評注：妙用“x+y=1”，構造三點共線，水到渠成.

思路2 三角形特殊化畢竟是解決填空題的好方法，但存在題型的局限性，下面采取非特殊化建系解決

圖4

三、歸納、總結提升——問題的推廣與探究

圖5

圖6

四、變式訓練、建構內化——問題的遷移與思路的加深

圖7

從不同的角度入手，下面提供兩種解法.

圖8

圖9

五、結語