幾何探軌 巧解三角形*

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 黃少瑩

解三角形作為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，通常以解三角形為載體，考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，并綜合三角函數(shù)、不等式、向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)交匯命題，同時(shí)結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想在解題中進(jìn)行應(yīng)用.但由于解三角形深刻的幾何背景，常常可以結(jié)合圓等幾何性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解題.本文筆者主要以幾種常見(jiàn)的三角形模型來(lái)探討用幾何法求解一類最值(取值范圍)問(wèn)題的策略.

類型一、已知一角及其對(duì)邊的三角形模型

圖1

評(píng)析：根據(jù)正弦定理及已知條件可以確定△ABC的外接圓，從而得到頂點(diǎn)B的軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)從而得到△ABC面積的最大值.

類型二、已知一角及其一鄰邊

圖2

評(píng)析：該變式通過(guò)改變邊角的對(duì)應(yīng)情況，根據(jù)銳角三角形來(lái)限制角和邊的關(guān)系，解法中以直角作為劃分銳角與鈍角的分界，從而得到△ABC為銳角三角形時(shí)頂點(diǎn)C的軌跡，由此算出邊a的取值范圍進(jìn)而解決問(wèn)題.

類型三、已知一邊及另兩邊比為定值

圖3

圖4

圖5

類型四、已知一邊及另兩邊的平方和為定值

變式3 在△ABC中，AB=2，AC2+BC2=8，則(1)△ABC面積的最大值為；(2)角C的取值范圍為.

圖6

圖7

圖8

圖9

評(píng)析：由于A，B兩點(diǎn)確定，頂點(diǎn)C到這兩點(diǎn)的距離平方和為定值，因此考慮由坐標(biāo)法探尋點(diǎn)C的軌跡發(fā)現(xiàn)其軌跡為圓(不含與x軸的交點(diǎn))，從而求得第(1)問(wèn)中三角形面積的最大值.事實(shí)上△ABC中若AB與AC2+BC2為定值，則結(jié)合余弦定理可得AB邊中線亦為定值，由此也可得到頂點(diǎn)C的軌跡.這就是著名的阿波羅尼奧斯定理：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍.而對(duì)于第(2)問(wèn)中角C的取值范圍，則是利用圓的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)AB為圓的弦，點(diǎn)C,C1,C2分別在圓上、圓外、圓內(nèi)，則總有∠AC1B<∠ACB<∠AC2B.因此需作出經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與圓O相切的圓，則切點(diǎn)即為使得∠ACB最大的頂點(diǎn)C.因此解決三角形內(nèi)一些有關(guān)于角范圍的問(wèn)題也可考慮該做法.

結(jié)束語(yǔ)對(duì)于解三角形，教學(xué)中雖然應(yīng)注重通性通法，注重正弦定理、余弦定理、面積公式、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，但是對(duì)選擇題和填空題，教學(xué)中還是應(yīng)關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件判斷是否可以利用幾何法，巧妙快速地解題，這樣不僅能小題不大做，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).