對(duì)楊學(xué)枝猜想17的證明及加強(qiáng)

山西省太原市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 (030031) 董立偉

文[1]中給出了有關(guān)不等式的22個(gè)猜想. 筆者經(jīng)過研究得到猜想17的一個(gè)證明，并對(duì)這一猜想做了加強(qiáng).

1 猜想17及其背景

這一猜想源于如下不等式(記作引理).

文[1]第270頁給出了引理的一個(gè)證明，此處不再贅述. 以下借助于數(shù)學(xué)歸納法給出猜想17的一個(gè)證明.

2 猜想17的證明

(1)當(dāng)n=1時(shí)顯然成立. 當(dāng)n=2時(shí)，由二元均值不等式及引理，也成立.

因此，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)n=2k時(shí)，不等式成立.

綜上，對(duì)任意n∈N+，原不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)取等號(hào).

3 猜想17的加強(qiáng)

事實(shí)上，從對(duì)猜想的證明及引理出發(fā)，可以得到該猜想的一個(gè)加強(qiáng).

命題中不等式的前半部分可由n元均值不等式直接得到. 以下證明不等式的后半部分.

(1)n=1時(shí)顯然成立.n=2時(shí)，由引理也成立.

因此，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)n=2k時(shí)，不等式成立.

由上述兩個(gè)式子，得

綜上，對(duì)任意n∈N+，命題成立，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)取等號(hào).