一個非對稱不等式問題的探究
2022-07-09 01:15:40湖南省桃江縣第一中學413400胡芳舉
中學數學研究(江西) 2022年7期
湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉
湖南省岳陽縣第一中學 (414100) 胡燕玲
題目已知a,b,c≥0,a+3b+5c=9，求證：3a+3ab+4abc≤36.
本題是安振平老師在葉軍數學工作站第177期問題研究欄目提供的一個不等式：本文將給出該不等式的兩種證法以及三個變式.
證法一：記M=3a+3ab+4abc.
2.當b>1時，設b=1+d(d>0)，則a=6-3d-5c,M=36-(12cd2+20dc2+20c2+3cd+9d2+6c)<36.
綜上，M≤36(當a=6,b=1時取等號).
變式1 已知a,b,c≥0,a+3b+5c=9，m≥5，求3a+3ab+mabc的最大值.
變式2 已知a,b,c≥0,a+3b+5c=9，求使不等式3a+3ab+mabc≤36恒成立的最佳常數m.
