一道條件最值問題的多視角探究

廣東省韶關市翁源縣龍仙中學 (512600) 何瓊英

二元條件最值問題是各類考試中的熱點問題，這類問題形式新穎，題型靈活多變，難度比較大，技巧性強，以下來看一道這樣的題目.

1.試題呈現

2.試題評價

這是一道二元條件下求一個分式型式子的最值問題，已知條件式可以化成圓的標準方程.本題出現在選擇題第12題壓軸題的位置，具有很好的區分度，較好的考查了考生分析問題和解決問題的能力，同時考查了方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想及其反映出的數學運算能力和邏輯推理能力.

3.多解探究

解后反思：利用三角換元法將要求的式子利用輔助角公式化為形如Asin(ωx+φ)的三角函數，將x和y三角換元后代入已知方程后分離出sinθ，利用基本不等式求出sinθ的最小值，求出θ的取值范圍，利用三角函數的單調性可以求出最大值.

解后反思：運用圓的參數方程進行三角換元，把要求最大值的式子化為關于α的三角分式型函數g(α)，再求導函數，求出導函數的零點，討論函數g(α)的單調性，從而求出g(α)在閉區間[0,2π]上的最大值.

解后反思：先確定直線OM的傾斜角的取值范圍，再由待求式的結構特征，聯想到三角函數定義，再運用輔助角公式化簡，把問題轉化成求形如Acos(ωx+φ)的三角函數在給定閉區間上的最大值問題.

解后反思：由待求式的結構特征聯想到向量的數量積公式，再數形結合，可求出∠MON的最小值，從而求出cos∠MON的最大值，進而得出待求式的最大值.

解后反思：將待求式加絕對值后，進行變形，由式子結構特征聯想到點到直線距離公式和兩點間距離公式，可以借助解析幾何知識求解.

4.解題啟示

上述幾種解法，由待求式子的結構特征出發，運用齊次化法、三角換元法、平面向量的數量積和距離公式等方法和知識進行一題多解，這些不同解法都源于高中數學核心概念和核心方法，體現了運用的知識的基礎性和方法的創新性，可以促進學生深層次理解高中數學基本概念和基本公式，提升學生的解題能力，開闊學生的解題視野，優化解題思路，提升學生的數學學科核心素養，落實運算求解、邏輯思維和創新能力等關鍵能力的培養.