雙變量值域中的存在性問題優解

安徽省安慶市第二中學 (246001) 王 慶

含有任意和存在的雙變量問題是數學中常見的兩類題型，常見解法是考慮兩者之間的最值和值域關系來解題.

題型1：?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)=g(x2)?f(x1)值域是g(x2)值域的子集.

題型2：?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)=g(x2)?f(x1)值域與g(x2)值域的子集交集非空.

若遇到雙變量不是前兩種情況的題怎樣處理呢？

題1 設函數已知函數f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R)，若函數f(x)的圖像上存在不同兩點A，B，使得曲線y=f(x)在點A，B處的切線相互垂直，則實數a的取值范圍是.

∴-1≤a≤1.

本題是一道雙切線求參數問題，通過導數研究曲線上某點的切線方程.解答的關鍵在于由關于a的方程的根求解a的范圍，具有一定難度，為了優化此題的解法先看兩個結論：

結論1 函數f(x)的圖像上存在A,B兩點，使得曲線y=f(x)在點A，B處的切線垂直，若f′(x)的值域為[a,b]，則ab≤-1.

結論2 函數f(x)的圖像上存在A,B兩點，使得曲線y=f(x)在點A，B處的切線垂直，若f′(x)的值域為(a,b](或為[a,b),(a,b))，則ab<-1.

同理可證結論2.

根據上面的結論，可得題1的：

結論推廣：

推廣1 函數y=f(x)的定義域為D，值域為[a,b]，若存在x1,x2，使得f(x1)+f(x2)=c，則2a≤c≤2b.

推廣2 函數y=f(x)的定義域為D，值域為[a,b]，若存在x1,x2∈D，使得f(x1)·f(x2)=c，當c<0，則ab≤c.

推廣3 函數y=f(x)的定義域為D，值域為(a,b]([a,b),(a,b))，若存在x1,x2，使得f(x1)·f(x2)=c，當c>0，ab≤0，則c≤{a2,b2}min.

推廣4 函數y=f(x)的定義域為D，值域為[a,b]，若存在x1,x2∈D，f(x1)·f(x2)=c，當c>0，ab>0，則{a2,b2}min≤c≤{a2,b2}max.

以上是關于同一個函數y=f(x)的存在問題，如果是兩個不同函數y=f(x)和y=g(x)呢？

題2 設曲線f(x)=-ex-x(e為自然對數的底數)上任意一點處的切線為l1，總存在曲線g(x)=3ax+2cosx上某點處的切線l2，使得l1⊥l2，則實數a的取值范圍為( ).

A.[-1,2] B.(3,+∞)

上面結論可以進行再推廣，得到如下結論：

推廣5 函數y=f(x)的定義域為D1，值域為[a,b]，y=g(x)的定義域為D2，值域為[m,n]，若存在x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=c，則m≤c-a且n≥c-b.

推廣6 函數y=f(x)的定義域為D1，值域為[a,b]，y=g(x)的定義域為D2，值域為[m,n]，若任意x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=c，則[c-b,c-a]?[m,n].

上述分析的是有界函數求解方法，如果是無界函數呢，則情況比較復雜，需要回歸到雙變量兩個基本題型，通過值域間的關系解決.

A.①② B.①④ C.②④ D.②③④

若A、B分別在x軸和y軸上，顯然滿足條件.所以②和④成立.

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