含絕對值函數的幾個典型問題探究

江蘇省灌云高級中學 (222000) 張金香

在近幾年的函數與不等式問題的高考題中，經常出現含有絕對值的形式，其中如何化解掉絕對值是解題的關鍵，而通過平方、分類討論、畫函數圖像、利用絕對值的意義、運用絕對值不等式模型等方法等是非常有效的，請看題例分析.

一、解不等式問題

例1 已知函數f(x)=|3x-b|，若不等式f(x)<4的解集中的整數有且僅有1，2，3，求參數b的取值范圍.

點評：這是解絕對值不等式的逆運算，抓住不等式的有整數解的條件，找到限制了參數的范圍，從而就得到了參數的取值范圍.

二、函數零點問題

點評：此題表面上看是二次函數與絕對值的綜合問題，而實質是含兩個絕對值不等式問題，這里巧妙地利用了兩項絕對值和的幾何意義，使問題輕松獲解.

三、函數單調性問題

例3 若函數f(x)=x2+t|x-1|在[0,+∞)是單調遞增，求實數t的取值范圍.

點評：本題中已知函數的單調增區間，欲求其參數范圍就必須將函數轉化為常規的二次函數就可以了，故而通過分段討論化解絕對值是必然之路.

四、函數不等式恒成立問題

例4 已知函數f(x)=x|x-k|-2，若x∈[0，1]時，f(x)<0恒成立，求實數k的取值范圍.

點評：利用函數的最值(或值域)是解決不等式恒成立問題的有效手段，本題中由于已知變量范圍，故根據絕對值的性質轉化不等式是解決問題的有效方法.

五、函數不等式有解問題

例5 若存在x<0，使函數f(x)=x2+|x-a|-2有負值，求實數a的取值范圍.

點評：本題也是利用絕對值的性質通過反解不等式，將參數分離出來，然后構造函數，利用不等式的值域解決了不等式有解問題，這里必須注意有解與恒成立問題的區別.

六、函數方程的多解問題

例6 已知f(x)=

=m有三個根，求實數m的取值范圍.

圖1

點評：函數圖像是函數性質的直觀體現，解題時如果能夠畫出函數的大致圖像，并標出函數圖像的漸近線或經過的特殊點，即得到函數的主要特征，非常有助于問題的解決.