多視角下同構(gòu)法的應(yīng)用*

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 吳寶樹 黃永生 林志敏

在一些數(shù)學(xué)試題命制過程中，命題者預(yù)設(shè)考察模型，并對(duì)考察模型中的變量多次賦值，使考察對(duì)象的結(jié)構(gòu)復(fù)雜化，從而提升試題的難度.考生若能通過觀察、變形找到命題者構(gòu)造的模型，那么解題效率將大大提升.找到這個(gè)模型的方法，稱為同構(gòu)法.本文從同構(gòu)法應(yīng)用出發(fā)，呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)若干板塊中常見的同構(gòu)式，總結(jié)解題策略，希望對(duì)讀者有所啟迪.

應(yīng)用一 方程組的解

例1 設(shè)x,y∈R,滿足

A.0 B.2 C.4 D.6

解析：原方程組變形為

評(píng)析：對(duì)于結(jié)構(gòu)相同的方程f(a)=0和f(b)=0，a,b可視為方程f(x)=0的兩根.解題時(shí)可通過觀察，將方程組變形得到同構(gòu)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù).

應(yīng)用二 數(shù)列的通項(xiàng)

評(píng)析：數(shù)列中可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于(an，n)與(an+1，n+1)的同構(gòu)式,從而構(gòu)造新數(shù)列便于求解.

應(yīng)用三 不等式

例3 若0

A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex1-ex2>lnx2-lnx1

C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1

評(píng)析：如果不等式的兩邊呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題.

應(yīng)用四 圓錐曲線的切線弦

例4 過直線x-2y+13=0上一動(dòng)點(diǎn)A(A不在y軸上)作拋物線y2=8x的兩條切線，切點(diǎn)為M,N,證明直線MN恒過定點(diǎn).

評(píng)析：在解析幾何中，如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構(gòu)式，則AB為方程所表示曲線上的兩點(diǎn).特別地，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線AB的方程.

應(yīng)用五 指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化