巧用同構方法構造函數解決復雜問題

江蘇省溧陽中學 (213300) 徐 蘭

江蘇省連云港市錦屏高級中學 (222021) 車樹勤

同構式是指變量不同，結構、形式都相同的數學表達式.同構的過程就是通過移項、拆分、配湊等手段將一個數學表達式恒等變形，使其左右兩邊呈現形式、結構完全一樣的狀態，然后構造輔助函數，通過輔助函數的性質來解決問題.下面我們來體驗一下同構之路.

一、同構的初級階段

例1 (2020年全國1卷12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b-1.設函數f(x)=2x+log2x,∴原不等式等價于f(a)=f(2b)-1

二、同構的發展階段

例2 (2020年八省聯考)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( ).

A.c

C.a

A.(-∞,e] B.(-∞,e)

評注：本題中的兩個變量x2、x1不關聯，采用集中變量后出現了結構相同的式子，于是構造新的函數u(x)=xf(x), 利用函數的單調性來解決問題.

在以上的問題中構造出同構式的要求有所提高，但難度系數不大.這兩個問題的解決中，都是對表達式進行集中變量的變形就能得到相同的結構，構造出新的函數，通過導數研究函數的單調性就可以解決問題.

三、同構的演變階段

第四步：把原不等式用復合函數的形式表達出來f(e-x)≥f(xa),并分析內函數的取值范圍?原不等式等價于f(e-x)≥f(xa),∵x∈(1,+∞),e-x∈(0,1),又由選項可知只需研究a<0的情況，a<0時，xa∈(0,1)；

第五步：根據函數f(x)在(0,1)上單調遞減，把f(e-x)≥f(xa)轉化為e-x與xa之間的關系?e-x≤xa；

評注：利用指數對數運算的之間的內部關系，我們可以構造相同的結構e-x-lne-x≥xa-lnxa，通過構造新的函數f(x)=x-lnx，原不等式就可以等價變形為f(e-x)≥f(xa)，從而轉化為基本函數中利用函數的單調性來解決的常見不等式問題.達到了化陌生為熟悉的效果.

(1)函數f1(x)=x±lnx=elnx±lnx，與g1(x)=ex±x同構，或者變換g1(x)=ex±x=ex±lnex,與f1(x)=x±lnx同構；

(3)函數f3(x)=xlnx=elnxlnx與g3(x)=xex同構；或者變換g3(x)=xex=exlnex與f3(x)=xlnx同構.

可以發現，指對同構的過程中的核心是lnex=x=elnx，也就是利用指冪運算來構造相同的結構，指對同構的主要方法是指對式分離，找出內層函數.同構的演變題型其實就是命題人把一個結構整齊的同構式重新打亂，重組，變有序為無序，而我們要做的是將這打亂的式子按照一定的目標進行整合變形，合理拆分，使其恢復原貌,化復雜為簡單，利用同構構造出一個新的函數，把原式寫成復合函數的形式，再利用外層函數的性質轉變為內層函數之間的關系，達到化繁為簡. 弄清楚這種解法的數學思維起點在哪里，解決問題的數學本質是什么.

例5 (2020年山東高考卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積:(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析：(1)略.(2)中的這個不等式恒成立，既有指數式又有對數式，不妨用指對分離來試一試.

第一步：分離指對式，變換出lna?elnaex-1≥-lna+lnx+1；

第二步:變換為同構式,找到內函數lna+x-1?elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x；

第三步：構造函數f(x)=ex+x,且在定義域(-∞,+∞)上為單調增函數；

第四步：原不等式等價于f(lna+x-1)≥f(lnx)恒成立；

第五步：根據函數f(x)的單調性，轉化為lna+x-1≥lnx恒成立；

第六步：分離出lna，lna≥(lnx-x+1)max.令g(x)=lnx-x+1,求導求出最大值為0.∴lna≥0,解之a≥1.

通過以上分析，同構的演變題型都可以用這六步驟來解決問題，同構的外層函數總是由指數或對數函數與一次函數的組合而成，一旦式子兩邊構造出相同結構，就可以構造出新的函數，把一個很復雜的問題轉化為一個常見函數的性質來解決，難點就是對結構的變形處理，靈活處理指冪運算來達到自己想要的效果.