一道向量數量積問題的解法探究*

福建省莆田哲理中學 (351100) 吳毓敏

福建省莆田第二中學 (351131) 盧 妮

平面向量的數量積涉及夾角、模、投影向量等問題，融合了代數、幾何及三角函數，是一個重要的知識交匯點，也涉及函數與方程、數形結合、化歸與轉化等思想方法,主要考查學生的空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力、應用能力和創新能力，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科素養.其解題入口寬，解法靈活多樣，有定義法、幾何法、基底法、坐標法、轉化法、極化恒等式法等.可謂花樣繁多，讓人眼花繚亂.那如何撥開層層迷霧，探尋數量積最值問題的簡便解法？這就需要學生解題時要綜觀題目條件，靈活選用方法，從而盡可能地選出簡便的方法.本文以一道莆田市2022屆高中畢業班教學質量檢測題為例，進行多視角探究解法.

一、試題呈現

A.16 B.12 C.5 D.4

二、解法探究

圖1

評注：注意到△ABC是正三角形，根據對稱性，建立平面直角坐標系，利用坐標運算，以“數”解“形”，從而達到簡化運算.

圖2

評注：巧借幾何意義，以“形”助“數”,發現點P在過B點的垂線上,橫坐標為定值2，省去了求點P橫坐標的過程，從而簡化了計算.

圖3

三、拓展應用

圖4

圖5