一道異面直線所成角問題的多解

山東省青島市西海岸新區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué) (266000) 馬長艷

求兩條異面直線所成角是高中數(shù)學(xué)立體幾何中的常見題型，是學(xué)習(xí)直線與平面所成角以及平面與平面的夾角的基礎(chǔ). 解決這類問題常用的方法有幾何法和向量法. 幾何法一般是找到平行線進(jìn)行平移，使兩條直線相交于一點，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.向量法主要是基底和坐標(biāo)法，借助空間向量的數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得. 此外，還可以考慮補(bǔ)形或者利用定理公式來解決.

圖1

圖2

注：若平面外的一條斜線與平面形成的角為θ1，平面內(nèi)任一條直線與這條斜線所成銳角或直角為θ，這條直線與該斜線在平面內(nèi)的投影所成銳角或直角為θ2，則有cosθ=cosθ1·cosθ2，這一關(guān)系被稱為三余弦定理.

圖3

圖4

點評：求異面直線所成角問題中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 通過幾何法解決異面直線求角，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，運算簡單，但通過平移找到異面直線所成角比較困難，往往出現(xiàn)“形難數(shù)易”的情形. 用向量法求解，入手簡單，很容易實現(xiàn)從“形”往“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，降低了思維難度，但相比而言運算量大.在實際解題中，空間直角坐標(biāo)系的建系和相關(guān)點坐標(biāo)的確定也是向量法中的難點. 補(bǔ)形法，體現(xiàn)了通過圖形的等價轉(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化為易于處理的幾何體.在實際解題中，利用定理和公式也能夠?qū)崿F(xiàn)快速解題. 在處理這類問題中，要因題而異，靈活選擇.