極坐標巧解涉及多點聯動問題的最值

安徽省亳州市第十八中學 (236800) 郭中華 張官升 陳 思

近年來，各種聯考中涉及求解三角形邊長、面積的最值問題，一直以壓軸小題形式出現，試題求解往往是利用正余弦定理來解決，但關系復雜、計算繁瑣，特別是其中的聯動點的軌跡問題更為繁瑣.這類問題利用極坐標的思想方法來求解相對容易.本文從三個方面例析尋找隱圓方法求其最值.

1 涉及動點到定點的距離最值

例1 已知圓O：x2+y2=1，若A,B是圓O上兩個不同的兩點，以AB為邊作等邊△ABC，則線段OC的最大值是( ).

圖1

圖2

評析：本題中A,B,C均為動點，已知點A,B在定圓上，點C隨著A,B的運動而運動. 且動點C(x,y)坐標之間的關系不明確. 因為兩個點都在運動，所以不容易判斷，求解中通過先固定點A，再觀察到點B在圓上的運動，那么聯動點C的運動軌跡就很容易發現. 再利用GeoGebra畫圖軟件的追蹤工具，便可以發現點C的軌跡是一個圓. 由于點C、B為聯動點，所以其軌跡形狀相似. 通過建立極坐標系的方法，由B點的軌跡和固定角∠CAB=60°，求出C的軌跡.

2 求有固定夾角的兩動點距離最值

圖3

評析：本題是多點聯動類問題，根據條件先固定D點，由動點A,B都在以D為圓心的圓上，再根據聯動原理，易知動點C的軌跡也是一個圓. 再建系處理點B、C的軌跡. 進而求出圓的軌跡方程達到求出CD的最小值.

3 求三角形面積的最值

例3 如圖4所示，在平面四邊形ABCD中，已知AB=1,BC=2,△ACD為正三角形，求△BCD的面積的最大值.

圖4

圖5

評析：本題涉及到多點聯動變化而引起的面積最值類問題.動點A在以點B為圓心的圓上，根據聯動原理，可知動點D的軌跡也是一個圓. 通過求出圓的極坐標方程就可以解決三角形頂點D到底邊BC的最大值求解問題，由此求得△BCD面積最大值.