挖掘不等關系 妙求橢圓離心率的范圍

江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學 (215000) 何小寅

離心率的范圍問題是高考的熱點題目之一，各種題型均有涉及，因涉及的知識點較多，且處理問題的思路和方法比較靈活，而此類問題解題關鍵是如何確定不等關系式，也就是得到一個關于離心率的不等式，再通過解不等式求得離心率范圍.本文通過題例分析，介紹挖掘不等關系求橢圓離心率范圍六種思路，供讀者朋友參考.

一、抓住幾何圖形中的不等關系

根據平面圖形的關系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質中的最值等得到不等關系，然后將這些量結合曲線的幾何性質用a,b,c進行表示，進而得到不等式，從而確定離心率的范圍.

圖1

例1 已知橢圓的中心在O,右焦點為F，右準線為l，若在l上存在點M，使線段OM的垂直平分線經過點F，求此橢圓的離心率的取值范圍.

點評：離心率的范圍實質為一個不等式關系，如何構建這種不等關系？可以利用方程和垂直平分線性質構建.利用題設和平面幾何知識的最值構建不等式往往使問題簡單化.

二、抓住題目中給出的不等信息

根據題目本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點或直線使方程成立，Δ的范圍等，進一步得到離心率的不等關系式，從而求解.

點評：本題主要考查了橢圓標準方程中相關元素的關系，抓住已知的不等式求范圍是成功解題的一個重要環節.特別須注意對隱含條件挖掘，如本題中的b>c.

三、利用三角函數確定不等關系

在一些題目中會采用角度表示相關幾何圖形的變化，我們如果能夠用三角函數表示有關的線段長建立相關的等式或不等式，最后就可運用三角函數值的范圍解決問題.

圖2

四、利用代數式的變形得到不等關系

利用曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式，通過代數式的運算確定表達式的變化范圍，達到求解離心率的范圍的目的.

五、利用動點在橢圓上用定義得到不等關系

橢圓的定義是所有橢圓問題的根本所在，若條件中含有一動點在相關曲線上，能想到運用此曲線的定義解題是非常好的思路之一.

例5 設橢圓的兩個焦點為F1,F2，若橢圓上恒存在一點P，使∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的范圍.

點評：通過整體的把握題意，在余弦定理和基本不等式等知識的支持下，構造出關于a、c的不等式.

六、利用橢圓的性質得到不等關系

點評：注意到P為橢圓上的一點是本題的關鍵條件，根據圓錐曲線的共同特征把|PF1|·|PF2|=2c2轉化成基本量a，c，e與x0的關系式，結合橢圓的范圍，即可得到e的不等式，從而就順利求出了離心率的范圍.

以上典型例題的分析探究，介紹了靈活運用不等關系求橢圓離心率的范圍問題，有一些可能是老生常談，但作為系統方法的表述，這里不得不再一次強調.在具體解題中，根據問題特點可能會有許多其它特殊的方法，限于篇幅，這里只能無情割愛了.