例談幾何法在圓錐曲線問題中的運用

廣州大學附屬中學 (510006) 朱驚濤

解析法和幾何法是解決圓錐曲線問題的兩大途徑. 幾何法的獨立運用或與解析法的有機結合有利于減少計算量，巧妙解決問題，同時，幾何法又有利于培養學生的觀察能力、直觀想象力和思維發散力，是培養學生創造性思維能力的重要手段. 本文通過一些實例介紹部分幾何性質在圓錐曲線問題中的應用，供讀者借鑒和參考.

一、線段比、面積比的轉化

1.共線下的線段比的轉化

圖1

點評：把線段比轉化為縱坐標差的比或橫坐標差的比是常用的方法，從幾何角度上看是構造相似的直角三角形，把斜邊比轉化為直角邊之比. 至于何時轉化為縱坐標差的比，何時轉化為橫坐標差的比，則需結合圖像和已經條件，以簡單化為原則來做選擇. 如在本例中，將線段比轉化為縱坐標差之比則簡單，若轉化為橫坐標差的比則變復雜.

2. 同底三角形面積比的轉化

圖2

點評：抓住兩個三角形同底的特征，通過三次轉化巧妙解決了問題. 轉化一：將面積比轉化為對應高的比；轉化二：將對應高的比轉化為線段MN與OM的長度之比；轉化三：將線段MN與OM的長度之比轉化為N、M、O三點縱坐標的差的比，從而直接代入坐標運算即可.

二、相似三角形的運用

1. 利用相似三角形對應邊成比例

圖3

點評：從幾何角度入手，利用FM//OE易得到△AFM∽△AOE且△BOQ∽△BFM，再將對應底邊之比轉化為x軸上的對應側邊之比，從而快速解決問題.

2. 利用相似三角形對應角相等

圖4

解析：如圖5，連接F1G，GF2，則∠F1GF2=90°，又由雙曲線的對稱性可知MF1=MF2,所以MO是∠F1MF2的角平分線，從而△F1MP的內切圓圓心G必在y軸上，且易有△GF1M≌△GF2M，所以∠GF1M=∠GF2M，又F1G為∠MF1P的角平分線，所以∠MF1G=∠GF1P，從而∠GF1P=∠GF2P，設F1P與GF2交于點Q，則有△F1GQ∽△F2PQ，從而有∠F1PF2=∠F1GF2=90°，命題得證.

圖5

點評：利用相似三角形證明角度相等是常見手法，本題易知有∠F1GF2=90°，為證∠F1PF2=90°，易想到證明△F1GQ∽△F2PQ，再結合F1G為∠MF1P的角平分線，則有∠GF1Q=∠GF1M=∠GF2P，從而命題得證.

3. 利用射影定理

例5 (2000年北京春季高考試題)如圖6，設點A、B為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求點M的軌跡方程.

圖6

三、圓的相關性質的運用

1. 四點共圓

圖7

點評：從幾何角度出發，由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|聯想到割線定理，進而得B、A、P、Q四點共圓，最后巧妙利用曲線系思想解決問題，其計算量相比常規的聯立直線方程與雙曲線方程求解的方法大幅降低.

2. 相交弦定理

圖8

解析：如圖9，設圓C與x軸交點坐標分別為E、F，連接ME、MF、NE、NF、OM、ON，則由相交弦定理有MA·AN=EA·AF，而EA=AB，AF=OA，所以MA·AN=OA·AB，所以M、O、N、B四點共圓，所以∠MBA=∠ANO，∠NBA=∠AMO，又ON=OM，∠ANO=∠AMO，所以∠MBA=∠NBA.

圖9

點評：利用MN、EF是圓O的一對相交弦，點A既是OF的中點，又是EB的中點，巧妙利用相交弦定理，將MA·AN=EA·AF轉化為MA·AN=OA·AB，從而得到M、O、N、B四點共圓，再將∠MBA、∠NBA轉化為∠ANO、∠AMO，則此題得解，從中可以看到觀察能力和思維發散能力的創造性.

3. 等弧對等角、等角對等弧

例8 如圖10，已知圓C:x2+y2=2，過點P(1,1)作兩條直線分別與圓C相交于點A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，判斷直線OP與AB是否平行，并請說明理由.

圖10

圖11

通過以上實例看出，幾何法在圓錐曲線問題中的運用常能出奇制勝，化繁為簡. 教師積極鼓勵學生從幾何角度觀察思考圓錐曲線問題，有利于幫助學生擺脫一味使用解析法的僵化思維，增強學生運用幾何原理解決問題的能力，使學生感受欣賞幾何法之精彩，進而幫助其拓寬解題思路、增進問題理解、提升解題能力.