基于“三教”理念的數學建模素養培育探索

王美娜，楊孝斌

（1.興義民族師范學院，貴州興義 562400；2.貴州師范大學，貴州貴陽 550025）

一段時間以來，一談到數學建模能力的訓練（數學建模素養的培育），部分數學教師認為只能在特定的教學內容（如應用題、實際問題）、特定的教學形式（如綜合實踐、課題學習）下才能進行.事實上，數學建模是一個過程、一種活動，也是一種思想、一種方法，更是一種觀念、一種意識.數學建模作為高中課程標準修訂過程中所強調的六大數學核心素養之一，其理念是貫穿整個高中數學教育的.

在《普通高中數學課程標準（2017 年版）》中，把“數學建模活動與數學探究活動”作為高中數學課程的一條主線，全文一共92次用到數學建模一詞.其中關于數學建模的具體表述是：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題［1］.

貴州師范大學呂傳漢教授于2014 年初提出了用“教思考、教體驗、教表達”（以下簡稱“三教”）的教育理念來引領課堂教學、培育學生的核心素養的觀點.筆者接下來著重討論，如何在數學教學中，通過“教思考、教體驗、教表達”來實現數學建模素養的培育.

1 “三教”理念概述

“三教”理念，是呂傳漢教授及其團隊經過長期的理性思考與實踐探索，在回顧、反思十余年的基礎教育課程改革經驗的基礎上提出來的.該理念的提出，是對學科教育理念的高度概括.

所謂“三教”指的是教思考、教體驗和教表達.“教思考”主要是指教師在數學教學中幫助學生理清數學知識的邏輯結構，找出解決問題的思維線索，引導學生在數學活動中領悟數學思想方法；“教體驗”是指教師引導學生在數學活動過程中獲得對知識學習、問題解決和科學研究的過程體驗和情感體驗，進一步獲得對數學思想方法的理解與把握；“教表達”不僅包括提高學生的口頭表達能力，也包括提高學生的書面表達能力，對于數學教學而言，主要是指培養學生用數學語言來討論數學、表述數學問題、表達數學結論的能力［2］.

2 數學建模素養培育的相關研究綜述

關于數學建模素養，許多研究者從教學實踐（培育）方面進行了廣泛討論.如高遠［3］以數學建模為例，從數學核心素養如何落地的角度，構建了數學建模教學的一條途徑——教師要盡可能地將數學知識與生活中的一些現象聯系在一起，要讓數學從生活中來，再到生活中去；要根據學生在建模過程中的表現，去優化學生數學建模的過程，保證學生在建模的過程中認識到數學模型的價值，知道數學模型是怎樣形成的.王志俊等［4］以“案例教學中提升數學素養”為主題，分別從應用統計類模型、函數類模型和線性規劃模型的角度進行分析，展示數學建模思想和方法，反映數學建模對學生數學能力發展和素養提高的影響，討論了如何提升高中數學建模能力訓練的效果.胡高嵩［5］以“三角函數的簡單應用”為例，探討基于數學建模的高中三角函數內容的設計策略.研究認為教師應在現實問題的基礎上，鼓勵學生通過“發現—探究”學習形式，分析問題中隱含的信息，建立數學模型并運用數學相關的語言、符號、圖表來解決實際問題，從而培養學生的數學建模能力和數學應用意識，發展和提高學生的數學素養.焦宇［6-7］從數學建模進入中學數學課堂的意義以及中學如何開展數學建模等問題論述了“數學建模進入中學數學課堂的思考”；并以“僅用一張A4 紙和計算器測量西安大雁塔的高度”為例，展示了如何幫助學生有效地認識數學建模在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，幫助學生如何運用所學知識分析問題、思考問題并解決問題，提升學生的實踐能力.

以上研究表明我們既可以在綜合實踐、課題學習中加強數學建模能力的訓練，更要在日常教學中滲透數學建模的思想和方法；既要向學生展示數學建模的意義和價值，更要著眼于學生在數學建模過程中的表現以及數學上的獲得；既要關注在數學建模素養培育過程中學生的數學思考、數學體驗，也要提高學生的數學表達能力.

3 “三教”理念下數學建模素養的培育

下面以類比梯形面積公式理解等差數列前n 項和公式、構建模型理解二項式定理、類比“等差數列{an}中am+an=ap+a（q其中m+n=p+q）”的結論推出等比數列中的相應結論的教學為例，具體討論如何在“三教”理念下培育學生的數學建模素養.

3.1 在教思考中培育數學建模素養

教思考，重在教會學生學會思考，其核心是掌握思考問題的方法.數學是模式的科學，數學中的很多問題、很多結論具有相似性.在數學教學中，教師可以利用這種相似性，引導學生進行類比學習，幫助學生理解知識.

舉例來說，我們在引導學生學習等差數列的前n項和公式Sn=時，就可以借助該公式與梯形的面積公式S梯形=在結構上的相似性，幫助學生理解公式之間的聯系，幫助學生形成良好的數學認知結構.

同時，還可以類比梯形面積公式的推導方法，創設合適的情境，幫助學生理解公式推導過程中的“倒序相加法”（注：梯形面積公式的推導是利用兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形，這里可采用類似的方法，自然引出倒序相加法，如圖1所示）.

圖1 倒序相加法示意圖

由此我們可以看出，數學上的很多公式，其本質就是一種結構，就是一個模型，其中的字母可以用其他東西去替換.在數學教學中，教師要善于透過現象看本質，善于用類比的方法啟發學生思考，通過引導學生在認識和理解數學對象的結構和模式的過程中，提高學生構建模型的意識和識別模型的能力，發展學生的數學建模素養.

3.2 在教體驗中培育數學建模素養

教體驗，本質是引導學生獲得數學體驗，讓學生在數學實踐活動中認識數學，引導學生親身經歷數學活動的全過程.

數學體驗，主要包括體驗數學概念的形成過程、體驗數學結論的產生過程、體驗數學問題的探究過程、體驗數學思想方法的應用過程等.而在這些過程中，都或多或少蘊涵著數學模型的思想或數學建模的過程.因此，可以通過引導學生獲得數學體驗來培育數學建模素養.

比如說，在二項式定理的教學過程中，無論是引導學生利用多項式乘法從(a+b)2=a2+2ab+b2出發，逐步計算(a+b)3、(a+b)4后，猜出結論——(a+b)n=，還是由老師直接給出這個結論，但最終都回避不了這節課最令人困惑的一個問題——如何向學生解釋這個結論？這就需要教師巧妙構建分步計數模型，利用乘法原理，幫助學生理解.

可構造模型解釋如下：

我們知道，(a+b)n就是n個(a+b)相乘.每個(a+b)在做乘法時，有兩種選擇，要么選a要么選b.由分步計數的乘法原理可知，(a+b)n的展開式應該有2n項（包括同類項），其中每一項中都只含有a和b，且每一項的指數和都是n，即如an-kbk（k=0,1,2,…,n）的形式.對于每一項an-kbk，它是由k個(a+b)中選了b，其余n-k個(a+b)中選了a得到的，因此每個an-kbk出現的次數等于從n個(a+b)取出k個b的組合數（當然也可以說是取出n-k個a，因為），于是就得到二項式定理的展開式

像這樣的數學教學過程，就是在引導學生經歷數學體驗的同時，提高對數學模型（這里是分步計數模型）的認識與理解，進而培育他們的數學建模素養.

3.3 在教表達中培育數學建模素養

所謂表達，就是將思維所得的成果用語言（包括語音、語調）、表情、行為等方式反映出來的一種行為.對于數學教學而言，主要就是要引導學生利用自然語言（口頭語言）、文字語言、圖形語言、符號語言乃至邏輯語言，討論數學問題和表達數學結論.

比如說，在引導學生理解“等差數列{an}中am+an=ap+a（q其中m+n=p+q）”這個結論時，就需要從以下幾個方面加以解釋：

（1）首先，滿足{an}是等差數列；

（2）其次，m+n=p+q；

（3）再次，可利用結論am+an=ap+aq（其中m+n=p+q）的特殊情形m+n為偶數且p=q=，即am+an=，幫助學生理解等差中項的概念；

（4）進一步，通過上面的討論，引導學生認識到：結論am+an=ap+aq的等號兩邊的項的個數要一樣多，換句話說，一般情況下沒有am+an=am+n這個結論（事實上要滿足這個結論，必須要滿足a1=d，這個問題可以留給學生討論）；

（5）更進一步，可將等差數列{an}中的結論am+an=ap+aq推廣為等號兩邊有多個項的情形，只要滿足等號兩邊的項的個數一樣多且下標之和相等即可，即（其中下標之和）.而要得到這個結論，就需要教師從等號兩邊均有兩個項，推廣到均有三個項，再推廣到均有多個項的情形，并逐步引導學生從口頭表達到書面表達，最后用數學符號語言抽象表達（注：對連加號∑的運用，教學中要遵循嚴謹性與量力性相結合的原則），而這一教學過程對學生表達能力的提高就顯得格外重要了；

（6）最后，在等比數列的教學中，將有類似的結論產生，即：等比數列{an}中有am×an=ap×aq（其中m+n=p+q），教師在等比數列這部分內容的教學中可引導學生通過類比的方法得到相應的結論.

教學實踐表明，通過這樣的反復解釋、深入討論，能夠引導學生充分認識、準確表達，可以幫助學生深刻理解上述結論，并認識到實際上“等差數列{an}中am+an=ap+aq（其中m+n=p+q）”的這個結論本質就是一種數學結構、一種數學模型，而這個結論成立的條件就是：等號兩邊的項的個數一樣多且下標之和相等.只要學生理解了這個問題的關鍵，相應地，在等比數列的教學中引導學生去探究和理解類似的結論就容易得多了，那時只需要強調把等號兩邊的項分別乘起來即可.至于為什么在等差數列中這個結論是做加法，而等比數列中要做乘法，這又是一個可以引導學生深入討論的問題.

這樣做的目的，就是要引導學生在各種數學語言間自由地轉換，最終達到能用各種數學語言準確表述數量關系和空間關系，正確表達問題結論，清晰理解數學結構，直至合理構建數學模型，為培育學生的數學建模素養打下堅實的基礎.

4 結束語

通過上面的例子表明，基于“三教”理念，并以具體的數學內容為載體，通過“教思考、教體驗、教表達”的數學教學過程，可以提高學生的模型意識和建模能力，培育學生的數學建模素養.這樣的教學具有較好的操作性和可行性，對落實數學建模素養的培育有一定的理論意義和實踐價值，同時也切實體現了“數學建模活動”融入高中數學課程全過程的這一課改理念.