一類帶阻尼項(xiàng)和記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程解的破裂

杜嘉儀，明森，麻雅嫻，楊婕

（1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西太原 030051；2.中北大學(xué)大數(shù)據(jù)學(xué)院,山西太原 030051）

本文研究如下帶散射阻尼項(xiàng)和組合記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題

其中Ω=B1(0)是Rn中的單位球，Ωc=RnB1(0)，μ(1+t)?αut(μ>0，α>1)為散射阻尼項(xiàng)，Nγ,p,q(u,ut)=為組合記憶項(xiàng)，0<γ<1，cγ=1/Γ(1?γ)，p，q>1。u0(x)∈H1(Ωc)，u1(x)∈L2(Ωc)為非負(fù)光滑函數(shù)，且不恒等于0。supp{u0(x),u1(x)}?BR(0)={x∈Ωc||x|≤R}，R>2，ε>0為任意給定的參數(shù)。

近來(lái)，很多學(xué)者研究非線性波動(dòng)方程解的破裂現(xiàn)象及其生命跨度的上界估計(jì)[1?14]。文獻(xiàn)[1?3]研究了外區(qū)域上變系數(shù)波動(dòng)方程utt??i(aij(x)?ju)=f(u,ut)的初邊值問(wèn)題，其中f(u,ut)=|u|p或f(u,ut)=|ut|p。利用Kato引理得到解會(huì)在有限時(shí)間破裂以及解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[4]利用檢驗(yàn)函數(shù)方法證明了外區(qū)域上二維波動(dòng)方程utt?Δu=|u|p的解會(huì)破裂。并且在次臨界與臨界時(shí)得到解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用Kato引理在Rn中建立了帶組合非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程utt?Δu=|ut|p+|u|q解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[6]研究了帶散射阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程utt?Δu+μ(1+t)?βut=|ut|p+|u|q(β>1)的Cauchy問(wèn)題，利用迭代方法得到解的破裂及其生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[7]證明了帶尺度不變阻尼項(xiàng)μ(1+t)?1ut的波動(dòng)方程解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[8]研究了帶冪次記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程utt?Δu=的小初值問(wèn)題，得到其解具有臨界指數(shù)p0(n,γ)。當(dāng)n=1時(shí)，p0(n,γ)=∞；當(dāng)n≥2時(shí)，p0(n,γ)是二次方程?(n?1)p2+(n?2γ+3)p+2=0的正根。文獻(xiàn)[8]運(yùn)用迭代方法證明了次臨界與臨界情形問(wèn)題不存在整體解，并且得到解的生命跨度的上界估計(jì)。文獻(xiàn)[9]在一維情形證明了外區(qū)域上帶冪次記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程的解會(huì)在有限時(shí)間破裂，但未得到解的生命跨度波估動(dòng)計(jì)方。程文獻(xiàn)[10]證明了帶弱阻尼項(xiàng)和記的憶項(xiàng)初值的問(wèn)題的解會(huì)破裂，但未給出解的生命跨度估計(jì)。其他相關(guān)研究見文獻(xiàn)[11?14]。

關(guān)于外區(qū)域上帶散射阻尼項(xiàng)和組合記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題尚無(wú)研究結(jié)果。因此，本文擬利用檢驗(yàn)函數(shù)方法和迭代方法研究問(wèn)題(1)解的破裂性態(tài)。主要結(jié)果如下。

定理1令n≥2，p>1，1

其中C是與ε 無(wú)關(guān)的正常數(shù)。

定理2設(shè)n=1，p>1，q>1.若問(wèn)題(1)的解u滿足suppu?{(t,x)||x|≤t+R}，則解的生命跨度估計(jì)為

定理3令n≥2，p>2(n+1?γ)/(n?1)，1

注1定理1中q<2n/(n?2)(n≥2)滿足記憶項(xiàng)的可積性。

注2本文在n≥3，n=2，n=1時(shí)分別選取不同的檢驗(yàn)函數(shù)φ0(x)，利用迭代方法證明了初邊值問(wèn)題不存在整體解以及解的生命跨度的上界估計(jì)。將文獻(xiàn)[1?3]中利用Kato引理研究的變系數(shù)波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題推廣為帶散射阻尼項(xiàng)和記憶項(xiàng)情形。將文獻(xiàn)[6]中帶組合非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程推廣為外區(qū)域上帶組合記憶項(xiàng)的情形。將文獻(xiàn)[8,10]中證明的帶冪次記憶項(xiàng)的初值問(wèn)題推廣為帶散射阻尼項(xiàng)和組合記憶項(xiàng)的初邊值問(wèn)題。將文獻(xiàn)[9]中研究的一維初邊值問(wèn)題推廣為帶散射阻尼項(xiàng)和組合記憶項(xiàng)的情形，并建立解的生命跨度的上界估計(jì)。另外，通過(guò)比較可知，(4)式中的生命跨度估計(jì)優(yōu)于(2)式中的生命跨度估計(jì)。

下面給出定理證明時(shí)需用到的引理以及問(wèn)題(1)弱解的定義。

引理1[1?3]存在常數(shù)C，C1，C2>0及函數(shù)φ0(x)∈C2(Ωc)使得

當(dāng)n≥3時(shí)，φ0(x)→1(|x|→∞)，且0<φ0(x)<1，?x∈Ωc。

當(dāng)n=2時(shí)，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且0<φ0(x)

當(dāng)n=1時(shí)，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且C1x<φ0(x)

引理2[6]設(shè)

則有Δφ1(x)=φ1(x)，φ1(x)|?Ωc=0，0<φ1(x)<其中C為正常數(shù)。

令Φ(t,x)=e?tφ1(x)，則有?tΦ(t,x)=?Φ(t,x)，

引理3[1]令n≥1，p>1，p′=p/(p?1)，常數(shù)C>0.則對(duì)?t≥0，有

引入乘子m(t)=exp(μ(1?α)?1(1+t)1?α)，可知

令

1 定理1的證明

在式(5)中令φ(t,x)=φ0(x)，利用引理1，并且等式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，則有

兩邊同乘以m(t)，可得

結(jié)合(6)式，計(jì)算得到

由(8)式可知

利用Holder不等式，得到

根據(jù)引理1可得，當(dāng)n≥3時(shí)，

另一方面，運(yùn)用式(8)可知

類似于文獻(xiàn)[6]中引理3.1和引理4.1的證明過(guò)程，得到

利用式(12)、引理3及Holder不等式，則有

結(jié)合式(11)和式(13)，可得

下面運(yùn)用迭代方法計(jì)算。假設(shè)

利用式(15)—式(17)，可得

(2)n=2時(shí)，將式(15)代入式(10)，得到

所以

類似于n≥3情形的計(jì)算過(guò)程，可得T(ε)≤

2 定理2的證明

類似于定理1的證明過(guò)程，可得式(14)。假設(shè)

所以

3 定理3的證明

t充分大時(shí)，由式(14)可知，注意到p>2(n+1?γ)/(n?1)時(shí)，n+2?γ?(n?1)p/2<1。故線性增長(zhǎng)優(yōu)于(14)式的增長(zhǎng)。

利用式(7)得到

結(jié)合(6)式，則有

(1)n≥3時(shí)，結(jié)合式(10)與式(20)，可知

假設(shè)

將式(21)代入式(10)，則有

將式(21)代入式(10)，可知

類似于n≥3情形的計(jì)算過(guò)程，得到T(ε)≤