融入數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)列復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)研究

◎王雨紅 楊 劉(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

一、引 言

數(shù)列是普通高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修二第四章的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識點(diǎn).學(xué)習(xí)數(shù)列不僅可以加深對數(shù)、方程、函數(shù)等知識的理解，而且能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以有很多的演變，是高考必考的考點(diǎn)，是解決問題的一種重要工具.數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要素材，是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)很好的載體，比如數(shù)列的通項(xiàng)公式、推導(dǎo)求和公式的過程，都是建立數(shù)學(xué)模型的過程.本節(jié)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完等差數(shù)列、等比兩種數(shù)列的相關(guān)基礎(chǔ)知識后進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)，對數(shù)列知識進(jìn)行復(fù)習(xí)與提高，有利于學(xué)生更加深刻地理解數(shù)列的意義，同時有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使其將數(shù)學(xué)知識靈活運(yùn)用在生活各處.

數(shù)列復(fù)習(xí)課主要圍繞數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n和公式等基礎(chǔ)知識進(jìn)行系統(tǒng)梳理與知識鞏固.教科書在閱讀與思考和探究與發(fā)現(xiàn)部分介紹過 “斐波那契數(shù)列”“ 九連環(huán) ”和“購房中的數(shù)學(xué)”等問題，但很多學(xué)生對此認(rèn)識并不深刻.高三學(xué)生對于數(shù)列已具備一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，我們從數(shù)學(xué)建模角度來看高中數(shù)學(xué)的數(shù)列教學(xué)，以現(xiàn)代買房中的數(shù)學(xué)為切入點(diǎn)做一些深入探討，旨在幫助教師改進(jìn)數(shù)列教學(xué)，讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性.在課堂中，教師讓學(xué)生根據(jù)具體的實(shí)例，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析出這是哪一種數(shù)列，進(jìn)而采用相應(yīng)的公式來解決生活實(shí)際的問題，開闊學(xué)生的學(xué)科視野.

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)

早在1983年，清華大學(xué)的蕭樹鐵教授就在高校開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，還組織了教師培訓(xùn)班，培養(yǎng)教師的數(shù)學(xué)建模能力.這也驗(yàn)證了這句話：要想培養(yǎng)出具有數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的學(xué)生，首先要有懂得數(shù)學(xué)建模教學(xué)的老師.1985年，我國在重慶大學(xué)舉辦了全國數(shù)學(xué)模型教學(xué)研討會，對數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)及教材建設(shè)進(jìn)行了研討，為數(shù)學(xué)建模課程的大范圍落實(shí)提供了可能性.在20世紀(jì)80年代，有少量學(xué)校進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，為數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)積累了經(jīng)驗(yàn).到1990年12月，數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽在上海市舉行，這是國內(nèi)舉行的首次數(shù)學(xué)建模競賽.從1994年起，我國規(guī)定了每年舉辦一次全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽.近年來，數(shù)學(xué)建模不只存在于在大學(xué)教育中，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也有所規(guī)定，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了包括數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在內(nèi)的六大核心素養(yǎng)，在必修和選修課程中都專門設(shè)置了數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動單元，且必修課程建議進(jìn)行6課時，選修課程建議進(jìn)行4課時,教師要以課題研究的形式開展教學(xué)，而且要求學(xué)生完成一個課題研究，并將數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)劃分為三個水平，要求學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.所以教師在平時的教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，教授給學(xué)生建模的方法，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生感悟現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)，循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).新課改體現(xiàn)了國家對于教育培養(yǎng)人才的質(zhì)量規(guī)格有所變化，更加重視學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，不只是教師教，學(xué)生學(xué)，也要重視學(xué)生用.知識的教學(xué)不能脫離生活情境，學(xué)生如果學(xué)了知識，在生活中識別不出數(shù)學(xué)關(guān)系，就解決不了問題.長此以往，學(xué)生可能會認(rèn)為除了考試以外數(shù)學(xué)沒有那么大的作用，進(jìn)而喪失對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，容易產(chǎn)生懈怠心理.所以數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣格外重要，教師將建模思想滲透在教學(xué)中是十分必要的.

數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題進(jìn)行抽象，明確問題中的變量和參數(shù)、已知和未知，然后根據(jù)已知條件創(chuàng)建他們之間的某種數(shù)學(xué)聯(lián)系，再運(yùn)用所學(xué)知識近似地求解.數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)思考方法，它外顯為符號化或者形象化的表示，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言去表達(dá)問題、解決現(xiàn)實(shí)問題.在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)建模扮演著重要的角色.例如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、統(tǒng)計(jì)概率等實(shí)際問題都與數(shù)學(xué)建模密切相連，學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中已經(jīng)有了建模的過程，只是很少系統(tǒng)地總結(jié)出來.教師通過實(shí)際案例的教學(xué)，學(xué)生自主探索、合作探究，以及教師適時的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程，歸納出數(shù)學(xué)建模的一般過程，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.掌握數(shù)列基本知識，深刻理解并活學(xué)活用，學(xué)會在具體的問題情境中識別出數(shù)學(xué)關(guān)系，辨別出數(shù)列的等差或等比關(guān)系，進(jìn)行問題解決.

2.經(jīng)歷探尋實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)元素、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、進(jìn)行符號化處理、創(chuàng)建起數(shù)學(xué)模型、通過模型求解實(shí)際問題的過程，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識來解決問題的一般思路和方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力的形成.

3.通過討論、探究活動，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于猜想的求知精神，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力，拓寬學(xué)生思維.

(二)教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)學(xué)問題解決及利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題的一般思路和方法.

難點(diǎn)：能在具體的問題中提取、抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)行求解.

(三)教學(xué)方法：啟發(fā)法、討論法(四)教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)回顧

教師借助PPT，讓學(xué)生回顧與數(shù)列相關(guān)的基礎(chǔ)知識.

等差數(shù)列等比數(shù)列定義an+1-an=dan+1an=q(q≠0)通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n項(xiàng)和Sn=n2(a1+an)Sn=na1+n(n-1)2dSn=a1(1-qn)1-qSn=a1-anq1-q

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過復(fù)習(xí)，可以對學(xué)過的知識進(jìn)行鞏固，喚起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)列知識經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課后續(xù)的相關(guān)學(xué)習(xí)奠定一定的知識基礎(chǔ)，有利于學(xué)生將知識系統(tǒng)化，更好地運(yùn)用所學(xué)知識.

2.提出問題

貸款買房已經(jīng)成為一種新式的買房方式，基本每個家庭都有買房的需求，對于普通工薪階層來說，要一次性拿出大數(shù)額金錢去買房，實(shí)在有點(diǎn)困難，應(yīng)運(yùn)而生的貸款買房方式成為人們實(shí)現(xiàn)買房夢的最優(yōu)選擇，人們對購房決策有不同的看法，不同家庭也會有不同的選擇.現(xiàn)有一對夫婦欲購置新房，但缺乏資金，現(xiàn)需要向銀行借貸款150萬元，貸款年限20年，年利率為0.043，有等額本息和等額本金兩種還款方式，請你幫忙分析下，他們用哪一種還款方式更劃算?

設(shè)計(jì)意圖：教師從貼近生活的實(shí)例出發(fā)，引起學(xué)生對解決實(shí)際問題的強(qiáng)烈求知欲,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為以后的數(shù)學(xué)思維活動構(gòu)建起感性的認(rèn)識基礎(chǔ)，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極程度，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)踐性,以培養(yǎng)其數(shù)理視野，對日常生活中的實(shí)際現(xiàn)象展開理性思考，密切聯(lián)系日常生活實(shí)踐，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型思維的應(yīng)用落實(shí).

3.合理假設(shè)，提出要求

(1)貸款期限確定后，在貸款期內(nèi)，貸款月利率保持不變.

(2)不考慮物價變化等經(jīng)濟(jì)波動的因素.

(3)借款人每月都能按時支付買房貸款所需的償還款項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖：在數(shù)學(xué)上研究問題時，我們要考慮到在相應(yīng)的條件下問題發(fā)生的情況是否合理，所以將案例中可能與實(shí)際情況有出入的地方做一些規(guī)定，讓學(xué)生在相對理想的情境中解決問題，避免問題不必要的發(fā)散，降低問題的復(fù)雜性，將問題難度限制在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，將實(shí)際問題化為學(xué)生力所能及的、通過努力能夠解決的問題.

4.分析問題(學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論)

師：你能在這個例子中找到已知條件和要求解的目標(biāo)嗎？你能對他們進(jìn)行符號化嗎？

請同學(xué)們在小組內(nèi)部討論，討論結(jié)束派個代表來闡述你們的想法.

生：已知條件是貸款金額記為a=150萬，貸款月數(shù)記為m=240月，年利率記為R=0.048,月利率記為p=R/12=0.004.

(等額本金)方案一：第n月的還款金額記為An.(1

(等額本息)方案二：每月還款金額記為x.

求解目標(biāo)：計(jì)算出An和x.

設(shè)計(jì)意圖：明確問題才能更有針對性地解決問題，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)給定的實(shí)際問題，提取其中的數(shù)學(xué)信息，并進(jìn)行符號化處理，不僅能為后續(xù)研究做好準(zhǔn)備，還能讓學(xué)生對問題進(jìn)行再一次梳理，明確已知條件和求解目標(biāo)，有利于問題解決.

5.尋找關(guān)系，模型假設(shè)

師：明確了各個量的符號，那該如何計(jì)算、如何還款呢？

生：一片茫然.

師：(PPT演示)老師給出兩種還款方式的計(jì)算公式，根據(jù)剛才我們將各量進(jìn)行的設(shè)定，接下來同學(xué)們繼續(xù)認(rèn)真思考并討論，根據(jù)我們所學(xué)的知識，結(jié)合老師給出的計(jì)算方法，怎樣計(jì)算每個月還款金額呢？

方案一：等額本金

每月應(yīng)還本金=貸款本金÷還款月數(shù)

每月應(yīng)還利息=(貸款本金-已歸還的本金累計(jì)金額)×月利率

每月還款金額=(貸款本金/還款月數(shù))+(本金-已歸還本金累計(jì)額)×每月利率

方案二：等額本息

每月還款額=[貸款本金×月利率×(1+月利率)＾還款月數(shù)]÷[(1+月利率)＾還款月數(shù)-1]

設(shè)計(jì)意圖：教師將兩種還款方式給出計(jì)算公式，并對其進(jìn)行解釋說明，學(xué)生先獨(dú)立思考，有了初步的想法以后，再小組討論，得出各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并進(jìn)行合理假設(shè).教師引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)過的知識來剖析問題，了解題目的本質(zhì)，小組合作學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的意識.

6.模型建立與求解

師：同學(xué)們討論得非常激烈，哪個小組來分享一下？好，請第一組的代表來說.

生1：方案一(等額本金)

設(shè)An是第n月的還款金額.

?

?

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=222.3萬

a1=1.225a2=1.2225a3=1.22……am=0.6275萬

師：說得很好，同學(xué)們有不同意見嗎？沒有的話我們再請一組同學(xué)來分析一下方案二.

生2：方案二(等額本息)

m月后的本息總額Sm=a(1+p)m，

設(shè)每月還款金額為x,則x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-2+x(1+p)m-1=a(1+p)m，

可知，左側(cè)是首項(xiàng)為x,公比為(1+p)的等比數(shù)列，

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=391萬，x=0.9734萬.

設(shè)計(jì)意圖：建立模型是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)建模活動最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，基于此，以實(shí)際問題為驅(qū)動，為學(xué)生創(chuàng)造了探究發(fā)現(xiàn)、合作學(xué)習(xí)、交流分享的機(jī)會.教師使學(xué)生親身體驗(yàn)建立模型、求解模型的過程，使學(xué)生分析問題和解決問題的能力有所進(jìn)步，學(xué)生的思維能力得到了有效的提高.學(xué)生經(jīng)歷問題解決和模型的建立過程，結(jié)合所學(xué)的知識，分析出是哪一種數(shù)列，進(jìn)而求解.

7.模型分析

師：非常好！經(jīng)過大家的努力，我們已經(jīng)基本把兩種方案都解出來了，但是對于這對夫婦，他們該選擇哪一種方案呢？請你幫他們選擇最佳的方案，并說出理由.

生1：選方案一！因?yàn)榭傔€款數(shù)比方案一少，可以省下很多錢.

生2：選方案二！因?yàn)槊總€月還的錢數(shù)是固定的，而且月還款額較低，對于他們來說壓力不會太大.

師：你們講得都非常有道理.我們來列個表格對比下：

方案一方案二借款總額150萬元150萬元還款本息總額222.3萬元391萬元每月還款額1.225,1.2225,…0.6275萬元0.9734萬元

如表所示，方案一每月還款數(shù)額不同，起始幾個月還款數(shù)額較大，以后的每月逐次遞減，從1.225萬元遞減到 0.6275萬元，初期還款壓力較大，后期還款數(shù)額越來越小，減輕了還款壓力，方案一總還款額低于方案二，省了 168.7萬元；方案二每月還款金額較為固定，為0.9734萬元，每月還款金額對大多數(shù)家庭來說易于接受，但缺點(diǎn)是其總共還款金額過多，為391萬元.總的來說，兩種方案各有利弊，我們應(yīng)該根據(jù)家庭收入情況合理地選擇.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)和自主探究，認(rèn)真分析問題，步步深入，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動的全過程，進(jìn)而將還款問題歸結(jié)到我們學(xué)過的數(shù)列問題，進(jìn)行靈活運(yùn)用來解決問題.教師將建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題，學(xué)生能嘗試用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題，感悟數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際中的問題，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識.

8.課堂小結(jié)

師：同學(xué)們，通過這個問題的解決，再遇到類似情景，你知道如何選擇了嗎？這節(jié)課你還有什么收獲呢?

生1：我知道了貸款買房還款的方式有兩種，而且等額本金的總還款額最少.

生2：我懂得了利用我們所接觸的數(shù)列知識可以解決許多生活中看起來很復(fù)雜的問題，那些問題經(jīng)過數(shù)學(xué)工具的提煉和簡化就迎刃而解了.

生3：這節(jié)課我們交流討論，相互合作來解決問題，讓我體會到了團(tuán)結(jié)合作的力量，讓我更喜歡數(shù)學(xué)了.

師追問：通過本節(jié)課的探究，你能總結(jié)出數(shù)學(xué)建模的一般思路和方法嗎？

生4：提出問題——合理假設(shè)——分析問題——建立模型——求解模型——分析模型.

教師板書數(shù)學(xué)建模一般過程.

四、總 結(jié)

在上述教學(xué)案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過分析具體實(shí)例，利用其中數(shù)學(xué)的信息，抽象出數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行分析并求解，讓學(xué)生感受并參與數(shù)學(xué)建模的全過程，在自主探究的過程中提升應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力.

將數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)列的教學(xué)，使學(xué)生深刻理解數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，還能夠促進(jìn)學(xué)生思維的培養(yǎng).培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模能力不是一蹴而就的，教師需要在日常教學(xué)中逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，使其成為一種習(xí)慣和思考方法.教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)亻_展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，符合學(xué)生發(fā)展的需要，符合社會發(fā)展的需要，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究興趣，有利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.