帶有區間時變時滯的非線性擾動切換系統的指數鎮定

馮改紅,張志銀,蔡國梁

(鄭州升達經貿管理學院 應用數學研究所,河南 鄭州 451191)

切換系統具有離散和連續的動態屬性,是一類特殊的混雜系統。近年來,隨著社會經濟的發展和科學技術水平的提高,工業生產正面臨機械化、智能化以及網絡化的普及[1-3]。切換系統在日常生活中得到應用廣泛,如空調調節溫度、車輛變速箱檔位變化、開關調節電燈亮度、人工智能學習策略轉換和起重臂高度升降等。隨著研究的深入,一些優秀的研究成果不斷涌現[4-7]。時滯現象以及非線性擾動廣泛存在于實際系統中,其存在使得系統的穩定性以及部分性能遭到嚴重的破壞,導致系統不能正常的運行,進而影響工業生產和日常生活。所以,帶有時滯和擾動的系統在工程上有重要的應用。目前,針對切換系統的研究主要集中在系統穩定性、鎮定、能控性等方面。隨著眾多科研工作者的不斷參與,相應的研究結果已被提出[8-9]。然而,目前的研究僅僅考慮了常時滯和簡單的時變時滯。事實上,由于區間時滯可能具有很大的時滯邊界,相較于一般時滯,區間時滯對系統性能的影響最大。

筆者考慮了區間時變時滯以及非線性擾動對系統的影響,研究切換系統的指數鎮定問題。首先,通過構建L-K泛函,引入自由參數,在證明過程中利用詹森不等式、索爾普引理以及平均駐留時間技術,得到了以矩陣不等式形式為基礎的閉環系統指數鎮定的充分條件;然后,通過矩陣適當變形,給出了控制器增益設計方法;最后,通過Matlab進行仿真,系統的狀態軌線圖說明了方法的有效性。

1 問題描述

建構切換系統,其表達式為

(1)

式中:u(t)∈Rm為控制輸入;x(t)∈Rn為狀態;φ(s)∈Rn為初始條件;Ai,A1i,Bi(i∈L)為常矩陣;σ(t)為切換信號,且σ(t):[0,∞]→L={1,2,…,n}為分段連續的函數,n為子系統的個數;{(t0,σ(t0)),(t1,σ(t1)),…,(tk,σ(tk)),…}為切換序列;t0為系統初始切換時刻;tk為系統第k次切換時刻。區間時滯函數d(t)滿足

(2)

非線性擾動函數為f(t,x(t-d(t)))且滿足

‖f(t,x(t-d(t)))‖≤‖Vi(x(t-d(t)))‖

式中Vi為已知常數矩陣。

對于切換系統式(1),使用如下形式的狀態反饋控制,表達式為

u(t)=Kσ(t)x(t)

(3)

式中Ki(i∈L)為反饋增益矩陣。

(4)

定義1[10]記Nσ(t1,t2)為切換信號σ(t)在區間(t1,t2)上的切換次數,對于給定N0≥0,τa≥0,如果

Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τa

(5)

式中:τa為平均駐留時間;一般取N0=0。

定義2[11]閉環系統式(4)的平衡點x*=0在切換信號σ(·)和反饋控制u(t)=Kσ(t)x(t)下為指數鎮定的,如果閉環系統式(4)的解滿足如下條件:

2 結果與討論

以下給出閉環系統指數鎮定的充分條件并進行證明。

定理1對于給定的正常數α和β≥1,如果存在正標量ε以及對稱正定矩陣Pi,Qi,Ri,則對任意的i,j∈L(i≠j),成立矩陣不等式為

Pi≤βPj,Qi≤βQj,Ri≤βRj?i,j∈L

(6)

(7)

證明構建L-K泛函為

(8)

對系統軌線進行求導,可得

從而,可得

(9)

由于‖f(t,x(t-d(t)))‖≤‖Vi(x(t-d(t)))‖ε>0,則對ε>0有

(10)

根據引理2可得到

(11)

由式(9～11)可得

(12)

(13)

當t∈[tk,tk+1)時,對式(13)兩端進行從tk到t的積分,可得

V(t)=Vσ(t)(t)≤e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk)tk≤t

(14)

由式(14)以及k=Nσ(t,t0)≤(t-t0)/τa,可得

V(t)≤e-α(t-tk)βVσ(tk-)(tk-)≤…≤
e-α(t-t0)βkVσ(t0-)(t0-)≤
e-α-lnβ/τa(t-t0)Vσ(t0)(t0)

(15)

構建L-K泛函,可得

(16)

由式(15,16)可得

進一步簡化為

由定義2可得閉環系統式(4)為指數鎮定。

定理2對給定的正常數α和β≥1,如果存在正常數ε,矩陣Yi以及對稱正定矩陣Xi,Ti,Oi,滿足如下條件:

Xj≤μXi,Tj≤μTi,Oj≤μOi?i,j∈L,i≠j

(17)

(18)

(19)

證明由于Ti>0,Oi>0,可得

(20)

(21)

假設

(22)

由式(21)和引理1可以得到式(7)成立。根據定理1可知閉環系統式(4)是指數鎮定的。

3 數值仿真

通過Matlab數值仿真計算來驗證理論結果的正確性。針對系統式(1)考慮兩個子系統,各系統參數分別為

通過式(17,18),可得

另外,可通過式(19)求得K1=[0.957 2 0.086 1],K2=[0.785 0 0.647 2]。

現假設系統初態為x(0)=[0.5 -0.5]T,利用Matlab仿真,可得閉環系統狀態軌線,系統狀態響應如圖1所示。由圖1可知:閉環系統在區間[0,12]前半段并不穩定,隨著狀態反饋控制器的作用,閉環系統逐漸趨于鎮定,從而說明了該方法的有效性。

圖1 系統狀態響應Fig.1 State response of the system

4 結 論

首先,針對帶有區間時變時滯和非線性擾動項的切換系統,根據Lyapunov穩定性定理,通過構建L-K泛函,研究系統的指數鎮定問題;然后,針對區間時滯切換系統的鎮定及控制器的設計,引入自由參數矩陣,利用自由權技術和平均駐留時間方法給出切換規律,建立以矩陣不等式為基礎的非線性切換系統的指數鎮定的充分條件,通過矩陣有規則的變形設計出該切換系統的控制器;最后,通過Matlab進行仿真,得到的數據和系統的狀態軌線圖說明了理論結果的有效性。帶有區間時滯非線性切換系統的鎮定問題研究具有積極的現實意義和一定的應用價值,后續,筆者會將其作為研究主題進一步開展深入研究。