H型平臺直驅伺服系統離散積分滑模平滑控制

方馨， 王麗梅， 張康

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

H型平臺直驅伺服系統的首要目標是實現高精度和高效率運動[1]。為保證機械結構在高速/加速度運動下的重復進給精度和提供更大的推力，平臺中橫梁與電機之間必須采用剛性連接。因此，H型平臺中永磁直線同步電機動力學模型與獨立PMLSM模型相比存在差別。一方面由于H型平臺直驅伺服系統沒有中間緩沖過程，負載擾動產生的不確定性將直接作用于直線電機工作臺中，影響系統抗干擾性。另一方面，雙軸驅動結構雖然可以消除由于單軸驅動的慣性產生振動的問題，但是由于驅動軸間物理連接件的強機械耦合產生的建模誤差嚴重影響系統的跟蹤精度[2-3]。因此，為提升系統的控制性能，有必要對系統進行更準確的建模，并在此基礎上采取有效的位置控制策略克服系統擾動的影響[4]。

在H型平臺系統中，通常采用位置控制器與軸間協同控制器相結合的控制方式[5]。其中，單軸高性能位置控制器是提高直驅H型平臺加工精度的前提和保證。文獻[6]為提高H型平臺中PMLSM伺服系統的動態響應性能，利用最優系統頻域因子分解求解位置控制器的參數。文獻[7]在單軸中采用模糊PID控制作為位置控制器，以保證單軸跟蹤精度。文獻[8]設計帶有約束條件的線性二次優化算法來尋找最合適的柔性剛度和控制器參數，進而提高位置跟蹤精度。文獻[9]在H型平臺中通過單邊激勵經系統辨識得到耦合系統輸入輸出的模型，并設計自適應魯棒控制器克服參數不確定性和建模誤差的影響。雖然上述控制策略在一定程度上提高了系統的同步性能和跟蹤性能，但在動力學模型中存在忽略了橫梁連接產生機械耦合的影響，辨識出的參數并無實際物理意義等問題，且對系統參數攝動和負載擾動很敏感，缺乏魯棒性，易導致位置偏離期望值，進而降低跟蹤精度，甚至影響系統的穩定性。

在工程實際應用中，計算機實時控制均為離散系統，為減小數字計算機系統的理論設計與實際應用之間的差距，對于離散控制器的應用研究越來越受到人們的青睞[10]。在此背景下，離散系統滑模控制器的設計也獲得了較多關注。目前，離散滑模控制策略應用于Buck變換器[11]、電流源逆變器[12]、高頻開關電源[13]、鋰電池荷電狀態估計[14]、永磁同步電機[15]等領域，并取得了良好的控制效果。文獻[16]采用歐拉離散化方法對直線電機運動學模型進行離散化，并提出了一種離散分數階終端滑模控制策略，用于直線電機的高精度跟蹤控制。與此類似，文獻[17]針對歐拉離散的永磁直線電機伺服系統，設計強魯棒性的離散快速終端滑模位置控制器，克服系統模型的不確定性，提高系統的控制性能。然而，歐拉離散化方法隨著離散化步長的增加，將不能構造準確的可調模型[18]。此外，滑模控制的強魯棒性來源于控制量的高頻切換，其產生的抖振現象嚴重影響伺服系統控制精度，而且符號函數不連續、采樣時間有限更是加重了抖振現象[19]。文獻[20]利用自適應區間二型模糊系統逼近滑模控制的等效控制部分以削弱抖振，但構建較為復雜，不利于工程實現。文獻[21]利用高階滑模的超螺旋算法設計滑模控制器，削弱抖振的同時提高系統魯棒性。文獻[22]提出用死區遲滯函數代替滑模趨近律中的死區函數，減少系統在滯后區域中的切換頻率，從而削弱系統的抖振程度。通過引入“邊界層”的概念，文獻[23-24]分別采用初等飽和函數和雙曲正切飽和函數代替符號函數克服抖振現象，提高控制精度，但系統軌跡在邊界層內的收斂速度較慢。

綜上所述，本文以H型平臺中PMLSM為研究對象，建立含有機械耦合特性的直驅伺服系統動力學模型并采用穩定的階躍響應變化法進行離散。在此基礎上設計離散滑模控制器(discrete-time sliding mode control，DSMC)，并在離散滑模面中引入積分環節，構造離散積分滑模控制器(discrete-time integral sliding mode control，DISMC)，以提高系統的穩態控制精度。為削弱抖振并提高系統的收斂速度，結合初等飽和函數和雙曲正切飽和函數的優點構造一種新型連續平滑飽和函數，并對比分析證明新型平滑飽和函數的快速收斂性。最后，通過仿真和實驗，驗證所提控制策略的可行性和有效性。

1 H型平臺系統描述

1.1 H型平臺結構

H型平臺結構如圖1所示，該平臺由一個X軸方向的PMLSM和兩個Y軸方向的PMLSM共同驅動，具有高剛度、大推力和高加速度的優點，本研究以圖1中Y軸PMLSM為研究對象。

圖1 直驅H型平臺示意圖

圖2為PMLSM的結構示意圖。PMLSM的工作臺安裝于動子上，動子和工作臺共同固定在滾珠導軌的滑塊上，而定子安裝有永磁體，為動子上的通電繞組提供勵磁，實現動子沿著直線方向運動。

圖2 永磁直線同步電機結構示意圖

1.2 H型平臺直驅伺服系統數學模型

理想情況下，PMLSM的電磁推力為

(1)

式中：id、iq為d-q軸電流；Ld、Lq為d-q軸電感；λPM為永磁體磁鏈；τ為極距。

電流環采用id=0控制策略，電磁推力表示為

(2)

式中Kf為電磁推力系數。

獨立PMLSM機械運動方程為

(3)

式中：d(t)、v(t)分別為動子位置和線速度；Bv為粘滯摩擦系數；M為動子質量；Fd為包括負載阻力、推力波動、摩擦力在內的集總干擾，且Fd是有界的。

雖然PMLSM的動子、橫梁和導軌的滑塊因剛性連接，整體可視為剛性結構，但直驅伺服系統仍受到滾珠導軌柔性支撐的影響，產生高頻振動[25]。因此橫梁與Y軸直線電機間的高剛度物理連接必然產生剛柔耦合動力學，無法從單獨的PMLSM動力學的角度來建模。因此如圖3所示，將滾珠和結合部簡化成“質量-彈簧-阻尼”元件，用動子質量M、耦合剛度K和耦合阻尼D描述，圖3(a)為耦合動力學模型，圖3(b)為等效模型。

圖3 耦合動力學特性示意圖

結合PMLSM運動方程式(3)，H型平臺直驅伺服系統運動學模型可以表示為

(4)

式中B=Bv+D為系統的總阻尼。

選取位置和速度為狀態變量，根據式(2)和式(4)獲得連續時間狀態下的標準狀態空間方程為

(5)

在連續時間狀態下式(5)的通解可表示為

F1(δ)]dδ。

(6)

采用階躍響應變化法得到離散化狀態方程，假設輸入變量u(t)及負載擾動在相鄰周期內維持不變，并令t0=kTs，t=(k+1)Ts，其中Ts為采樣時間，可得到離散狀態方程通解為

(7)

由式(7)可簡化得到包括擾動在內的H型平臺直驅伺服系統離散數學模型為：

(8)

式中：A≈1+TsA1為系統的狀態轉移矩陣；B≈TsB1；F≈TsF1；x(k)=[d(k)v(k)]T；C=[1 0]；y(k)為系統輸出的位置變量。

當H型平臺直驅伺服系統采用id=0控制策略時，其設計系統的框架如圖4所示。

圖4 直驅伺服系統控制框圖

2 控制器設計

2.1 離散型積分滑模面的設計

根據H型平臺直驅伺服系統離散數學模型，將離散跟蹤誤差定義為：

(9)

式中：r1(k)、r2(k)為系統期望位置和速度輸出；e1(k)、e2(k)為系統位置和速度跟蹤誤差。

根據式(9)，定義離散型積分滑模面為

s(k)=e2(k)+K1e1(k)+K2τ(k)。

(10)

式中K1、K2分別為切換函數的比例、積分增益。其中，τ(k)為系統跟蹤誤差的離散積分項，定義為

τ(k)=e1(k)+τ(k-1)。

(11)

積分項能夠有效減小系統穩態誤差，提高系統跟蹤精度。除此之外，積分項初值的選取會直接影響系統的初始控制性能，考慮到趨近運動過程中的魯棒性，可令s(0)=0，此時積分項初值為

(12)

即在原理上，系統軌跡一開始就位于滑模面上。若積分初始值任意選取，則系統軌跡將會在一定的初始趨近過程后到達滑模面附近鄰域。

2.2 滑模控制律設計

將式(10)向前遞推一步，可得k+1時刻的離散型積分滑模面為

s(k+1)=e2(k+1)+K1e1(k+1)+

K2τ(k+1)。

(13)

同理，將式(9)和式(11)向前遞推一步，并代入式(13)整理可得

s(k+1)=(K1+K2)[r1(k+1)-x1(k+1)]+

[r2(k+1)-x2(k+1)]+K2τ(k)。

(14)

定義K=[K1+K21]，r(k+1)=[r1(k+1)r2(k+1)]T，x(k+1)=[x1(k+1)x2(k+1)]T，式(14)可以重新表述為

s(k+1)=K[r(k+1)-x(k+1)]+K2τ(k)。

(15)

由于下一采樣時間的期望值r(k+1)未知，當采樣時間足夠小時假設增長率恒定，此時可采用簡單的線性外推法進行預測。

R1?r(k+1)=2r(k)-r(k-1)。

(16)

結合式(8)和式(16)，可得到包含控制變量u(k)的離散型積分滑模面，即

s(k+1)=K[R1-Ax(k)-Bu(k)-F(k)]+

K2τ(k)。

(17)

為了改善系統的動態品質，提高系統向滑模面的趨近速度，采用基于指數趨近律設計離散滑模控制律為

s(k+1)=s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(18)

式中：ε>0，q>0，1-qTs>0，聯立式(17)和式(18)，可得H型平臺伺服系統離散型積分滑模控制律為

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-KF(k)+

K2τ(k)-s(k)+qTss(k)+

εTssgn(s(k))]。

(19)

控制器中ε、q、K1、K2參數選擇準則為：

1)q為趨近速度增益，主要影響切換函數的動態過渡過程，當q接近1/Ts時趨近速度最快；

2)ε為飽和函數的增益參數，一般而言，抖振幅度與ε成正比。選擇的時候需權衡系統的魯棒性和削弱抖振性能；

3)K1主要影響調節時間，K2主要影響穩態誤差。參數過大會使控制量輸出過大，在實際控制中會引起系統抖振，因此選擇的時候應兼顧收斂速度和控制抖振。

2.3 穩定性分析

定義Lyapunov函數為

(20)

保證滑動運動和收斂到滑模面的充要條件為

|s(k+1)|<|s(k)|。

(21)

根據Lyapunov穩定性定理，當滿足式(21)時，將保證所有的狀態軌跡將進入并保持在滑模面附近鄰域。將上式分解為以下兩個不等式：

基于指數離散趨近律滿足

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

-qTs|s(k)|-εTs|s(k)|<0。

(22)

同時，當采樣時間Ts很小時，2-qTs?0，有

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=

(2-qTs)|s(k)|-εTs|s(k)|≥0。

(23)

其中s(k+1)由控制律式(19)代入式(17)獲得，即

s(k+1)=Kr(k+1)-KAx(k)-

KBu(k)-KF(k)+K2τ(k)=

Kr(k+1)-KAx(k)-KB(KB)-1·

[KR1-KAx(k)-KF(k)+K2τ(k)-

s(k)+qTss(k)+εTssgn(s(k))]-

KF(k)+K2τ(k)=

s(k)-qTss(k)-εTssgn(s(k))。

(24)

式(22)為滑動條件，保證了在滑模面的準滑動運動，但可能導致不穩定和發散。式(23)為收斂條件，保證了狀態軌跡在切換面上的收斂性。依據離散滑模穩定條件可知，控制系統是穩定的，即任意初始位置的狀態都會趨向于離散型積分滑模面s(k)。

為抑制因控制律式(18)中符號函數引起的抖振現象，設計一種平滑飽和函數代替符號函數。因此，式(19)重新表述為

u(k)=(KB)-1[KR1-KAx(k)-

KF(k)+K2τ(k)-s(k)+

qTss(k)+εTsssat(s(k))]。

(25)

式中ssat(s(k))為平滑飽和函數，由下一節設計。

2.4 平滑飽和函數

為了抑制符號函數中存在的抖振問題，常采用如式(26)線性飽和函數和式(27)雙曲正切型飽和函數設計滑模控制律。

線性飽和函數表達式為：

(26)

式中Ф為邊界層厚度。

對于式(26)，[-Ф,Ф]為其平滑區間，在此區間內，可得到平滑的控制律。但線性飽和函數在s=±Ф時不可微，而且在平滑區間內只能產生固定斜率的切換控制律。除此之外，在Ф趨近于0時，線性飽和函數的切換特性近似于符號函數。

雙曲正切飽和函數表達式為：

(27)

雙曲正切飽和函數與線性飽和函數相比是連續可微且單調遞增的平滑函數，但在相同切換增益和相同區間內，雙曲正切函數會損失更多切換控制律，使得切換控制律克服干擾的能力下降，另外，雙曲正切函數并不能完全達到[-1,1]。

為此，結合sat(s)和tsat(s)的優點構造一種新型平滑飽和函數，即：

(28)

對于平滑飽和函數ssat(s):1)當s=0時，ssat(0)=0，即當系統狀態在滑模面上時，切換控制律為0；2)當s=±Ф時，sin(πs/2Ф)=±1，表明平滑飽和函數能夠完全到達[-1,1]，即切換控制率能夠輸出最大范圍；3)當s=±Ф時，sin(πs/(2Ф))是連續可微的。綜上所述，ssat(s)能夠綜合前兩種函數的優點。平滑區間相同的不同飽和函數曲線如圖5所示。

圖5 相同平滑區間三種飽和函數曲線

下文將從收斂時間的角度，定量分析不同飽和函數的收斂速度。為便于數學分析，假設三種飽和函數切換增益均為λ，在滑模控制方法中，系統運動狀態分為趨近運動和滑模運動兩個階段，前者為從任意初始狀態經有限時間t到達邊界層；后者是在邊界層內的滑模狀態，該階段能夠有效削弱抖振現象。sat(s)函數趨近運動階段所用時間為

(29)

在滑模運動階段，線性飽和函數趨近律為

(30)

從邊界層到邊界層內任意一點所需時間為

(31)

當切換增益與邊界層厚度相同時，tsat(s)函數和ssat(s)函數趨近運動階段收斂時間與sat(s)函數相同，均可由式(29)表示，因此，不同飽和函數的動態性能主要取決于邊界層內的收斂時間。

采用tsat(s)函數和ssat(s)函數，邊界層內滑模趨近律分別為：

(32)

(33)

從邊界層到邊界層內任意一點滑模運動時間分別為：

(34)

(35)

由此可見，當切換增益、邊界層厚度、初始點狀態相同時，三種飽和函數對應的趨近運動時間相等，且趨近階段收斂時間t與切換增益λ成反比；在滑模階段，對應的收斂時間仍與切換增益成反比。綜上可知，適當增大切換增益可以有效減小系統總收斂時間，提高滑模控制器收斂速度。

為直觀表現三種類型飽和函數在邊界層內收斂時間的特點，繪制圖6所示收斂時間曲線。可以看出當切換增益相同時，三種類型飽和函數的收斂時間均隨邊界層厚度Φ的減小而變短，當邊界層厚度相同時，平滑飽和函數的收斂時間最小，且其在滑模面附近的斜率最大，對應滑模控制器的收斂速度最快。因此，應在削弱抖振的前提下，減小邊界層厚度，以提高系統收斂速度。

圖6 三種飽和函數收斂時間

需要說明的是，選用平滑飽和函數代替原本的符號函數后，為確保系統穩定，需保證邊界層外的狀態軌跡能夠于有限時間內到達邊界層。當|s|>Φ時，由式(28)可知，ssat(s)=sgn(s)，顯然，系統仍然滿足 Lyapunov 穩定性條件。

3 仿真分析

為驗證設計方法的正確性，采用MATLAB 2017a軟件建立直驅伺服系統離散模型，并搭建控制器對所采用的控制策略進行仿真。選擇電機參數：M=5.9 kg；Bv=0.51 N·s/m；D=0.9 N·s/m；K=18 N/μm；Kf=15.8 N/A；Fe=63 N；采樣周期為1 ms。

首先，為驗證ssat飽和函數抖振抑制能力和跟蹤性能，給定幅值為10 mm，頻率為0.5 Hz的平滑正弦位置指令。控制器參數取：Ф=0.01，K1=100，K2=0.7，ε=5，q=900。分別采用基于sgn、sat、tsat、ssat四種飽和函數的控制律設計DISMC控制系統，其對應的仿真結果如圖7。可見所采用的控制策略能保證系統穩定運行，且能夠準確地跟蹤平滑位置指令。由圖7(b)可知，sgn、sat、tsat、ssat的最大跟蹤誤差依次減小，分別為±10.1、±8.9、±8.6和±4.3 μm，其中ssat函數跟蹤誤差振動幅度最小，也最為平滑。圖7(c)為滑模面s(k)值的變化曲線，ssat函數的抖振幅度較其他切換函數小，ssat函數有較強的抑制抖振能力。

圖7 正弦輸入時離散積分滑模控制仿真結果

其次，為驗證系統在速度突變和突加負載擾動時的控制性能，給定位置指令為幅值10 mm，頻率0.5 Hz的三角波，在2 s時施加10 N的負載擾動。控制器參數取：Ф=0.01，K1=200，K2=0.5，ε=5.5，q=950。此時，基于ssat函數的DSMC和DISMC控制方法的仿真曲線如圖8所示。圖8(a)為位置跟蹤曲線，其中DSMC和DISMC的響應時間分別為0.05 s和0.01 s，這是由于積分初值的存在使得狀態軌跡從開始就在滑模面上，保證了系統具有全局魯棒性，同時提高了系統初始響應速度。DISMC方法的跟蹤軌跡比DSMC的跟蹤軌跡更接近期望位置指令，由局部放大圖可知，當速度突變時，存在一些超調，但DISMC控制方法的超調較小。圖8(b)為位置誤差曲線，當系統穩定后，在2 s突加負載阻力時，DSMC的最大位置誤差為0.142 mm，恢復時間為0.07 s，而DISMC的最大位置誤差為0.082 mm，恢復時間為0.05 s。可見，DISMC控制方法位置誤差收斂更快，并維持在0附近，能較好地完成系統的位置跟蹤，同時由于積分滑模控制的強魯棒性，使得負載突變時，恢復時間更快，有更好的動態響應。

圖8 三角波輸入時仿真結果

4 實驗驗證

為驗證所提控制方法的可行性及仿真分析的準確性，利用實驗平臺予以驗證，圖9為系統實物圖，系統主要由PMLSM(行程范圍360 mm)、運動控制卡、伺服驅動器、直線光柵尺(分辨率0.05 μm)等組成。控制算法通過上位機下載到運動控制卡，并在控制卡中完成閉環控制。伺服驅動器根據控制卡的輸出產生控制電壓驅動PMLSM運行。實驗數據通過上位機軟件采集，上位機軟件如圖10所示，并利用Origin繪圖軟件完成實驗數據的清晰顯示。實驗驗證中控制器參數的選取與仿真相同。

圖9 直驅 H型平臺實驗系統

圖10 上位機軟件

為驗證設計的DISMC-ssat控制器性能，分別考慮了空載、負載5 kg兩種情況，并與DSMC和DISMC方法對比。圖11、圖12分別為正弦輸入時空載和負載在三種控制器下的實驗結果。圖11(a)和圖12(a)為位置跟蹤曲線，由局部放大圖可知，無論在空載還是在負載條件下，DISMC-ssat控制方法的跟蹤軌跡更接近期望位置指令。圖11(b)為位置誤差曲線，可知DSMC控制方法的最大誤差為-7.74～7.99 μm、DISMC最大誤差為-6.34～6.74 μm、DISMC-ssat最大誤差為-3.84～4.22 μm。顯然，空載時DISMC-ssat控制方法跟蹤精度更高。圖12(b)中控制方法對應的最大位置誤差分別為-8.96～8.86 μm、-7.05～7.37 μm、-4.2～4.3 μm，其中DISMC-ssat控制方法誤差增量最小，魯棒性最強。圖11(c)和圖12(c)分別為空載和負載條件下控制輸入電流曲線，可知DISMC-ssat控制方法輸入電流信號最平滑，抖振幅度最小，通過平穩的輸入即可保證系統的跟蹤性能，能最大程度減小外加負載的影響。由此可見，DISMC-ssat方法在空載和負載時均能提供更好的控制精度。

圖11 正弦輸入空載時實驗結果

圖12 正弦輸入負載時實驗結果

為進一步研究伺服系統的動態性能，考慮空載與帶載兩種情況進行期望位置指令為三角波的跟蹤實驗。圖13(a)和圖14(a)是位置跟蹤曲線，可知，無論在空載還是在負載的情況下，三種控制方法均能較好地跟蹤期望指令。由圖13(b)可直觀看出，當系統速度突變時，三種控制方法的誤差激增，DSMC方法的最大位置誤差為-10.57～10.20 μm，DISMC最大誤差為-6.32～5.49 μm。這兩種方法對參考信號速度突變較敏感，但DISMC-ssat控制方法誤差為-2.74～2.72 μm影響較小，該方法能夠在速度突變時及時調整控制輸入，響應迅速。圖14(b)為負載時誤差曲線，相對于圖13(b)可知DISMC-ssat誤差增量最小，魯棒性最強。圖13(c)和圖14(c)為空載和負載時控制輸入電流，實驗結果表明，與DSMC和DISMC控制器相比DISMC-ssat控制器輸入電流抖振最小，能夠有效克服外界負載及速度突變，有較好的動態響應特性和抗干擾性。通過仿真與實驗得出一致結論：DISMC-ssat函數能有效削弱抖振現象，提高直驅伺服系統位置跟蹤精度與動態響應速度，增強系統帶載能力。

圖13 三角波輸入空載時實驗結果

圖14 三角波輸入負載時實驗結果

5 結 論

本文以H型平臺直驅伺服系統為對象，研究一種基于平滑飽和函數的離散積分滑模位置控制策略。在直驅伺服系統離散模型的基礎上，將積分環節與滑模控制相結合，該方法既保持了滑模控制動態性能強的特點，又減小了系統的穩態誤差，且積分項初值的恰當選取，使控制器具有全局魯棒性；另外，針對滑模控制方法抖振嚴重的問題，設計新型平滑飽和函數，利用數學方法定量計算其收斂時間，并定性分析了三種平滑飽和函數的收斂速度。最后進行仿真與實驗驗證，結果表明，本文采用的控制算法不僅能提高H型平臺直驅伺服系統跟蹤精度，削弱抖振現象，還具有較好的動態性能和抗擾能力。